2015届高考数学(新课标)二轮复习课件 专题五第14讲 圆锥曲线的基本问题

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【解析】选A.
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，
双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为
e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝
2a2，平方得4a21
＝r
21＋r22
＋2r1r2，4a
【命题立意】本题考查双曲线的定义与几何性质，注意 利用基本量的关系进行求解．
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考题2(2014 福建)设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭
圆1x02＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是(
)
A．5 2 B. 46＋ 2 C．7＋ 2 D．6 2
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【命题立意】知识：考查了圆与椭圆的位置关系 的相关知识及待定系数法．能力：本题考查了学生综 合运用圆锥曲线知识分析问题、解决问题的能力，考 查学生数形结合的能力、转化与化归的能力．试题难 度：较大．
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考题3(2014 辽宁)已知点 A(－2，3)在抛物线 C：y2＝
2 2
＝r21
－2r1r2＋r22
.又由余
弦定理得4c2＝r21＋r22－r1r2，消去r1r2，得a21＋3a22＝4c2，
即
1 e12
＋
3 e22
＝4.所以由柯西不等式得
e11＋e12
2
＝
e11＋
1× 3
e232≤e121＋e3221＋13＝136.
所以e11＋e12≤4 3 3.
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义、性质及柯西
(1)已知离心率和抛物线的方程得到准线方程，进 而得到焦点坐标，得到c的值，从而借助于a，b，c关 系式得到椭圆的方程．
(2)联立直线与抛物线方程，那么可知方程的解， 进而得到围成的图形的面积的定积分，求解得到n的 值，解决问题．
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3．圆锥曲线几何性质及应用 例3已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称
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2．高考真题
考题1
(2014重庆)设F1，F2分别为双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞
0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋
|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为(
)
4 A.3
5 B.3
9 C.4
D．3
第14讲 圆锥曲线的基本问题
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1．考题展望 2013年新课标省市有关圆锥曲线模块的命题一般是 “一大一小”，以一道客观题(小题)考查圆锥曲线的定 义，离心率，标准方程以及几何性质，以一道解答题(大 题)的某小问在直线与圆锥曲线位置关系的情境中考查圆 锥曲线方程的求法．同时有关双曲线的考查大都是客观 题，而解答题一般涉及椭圆或抛物线．预测2015年新课 标命题省市仍将坚持这种命题和考查趋势．
由椭圆定义知C点在以C1，C2为焦点的椭圆上，且 2a＝6 2，2c＝6.
故所求轨迹方程为1x82 ＋y92＝1.
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(2)设P(x1, y1), Q(x2, y2), 则A→P＝x1，y1－92， A→Q＝x2，y2－92， 由A→P＝5A→Q得x1＝5x2，y1＝5y2－18， ∵P、Q在椭圆上， ∴12x185228＋x22＋y922＝（15.y2－9 18）2＝1， 得y2＝3，故 x1＝x2＝0, y1＝－3， 所以|PQ|＝6.
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2．圆锥曲线标准方程及应用 ①求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定位，后定 量”．所谓“定位”，是指确定类型，也就是确定焦点所在 的坐标轴，从而设出相应的标准方程的形式；“定量”就是 指利用待定系数法求出方程中的a2、b2、p的值，最后代入所 设的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程． ②根据圆锥曲线的方程求基本量时，必须先把方程化为 标准方程的形式再进行求解计算． ③椭圆的标准方程中a≠b，应特别注意这一条件，若a ＝b，则方程表示圆．
线方程为y＝±2x，
因为点A(2，0)到渐近线的距离d＝ 45>1， 所以双曲线上的点到点A的距离都超过1，
故满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上．
(2)由(1)可设双曲线的方程为：
x2 4b2
－
y2 b2
＝1(b>0)，则这
个双曲线上任一点P(x，y)到点A(2，0)的距离是|PA|＝
（x－2）2＋y2＝ 54x－852＋45－b2，
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1．圆锥曲线的定义是一个重要考点，在解答题中有 广泛的应用，对圆锥曲线定义的理解注意以下几点：
①定义中对常数2a是有范围要求的，椭圆中要求 2a>|F1F2|，而双曲线中则要求2a<|F1F2|.
②抛物线定义中，定点F不能在定直线l上． ③利用抛物线的定义解题是一种重要题型，其实质是 通过抛物线的定义实现一种转化，即抛物线上的点到焦点 的距离与到准线的距离之间的转化． ④用圆锥曲线的定义求轨迹方程是一种重要的方法．
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2．抛物线的标准方程和几何性质
y2＝
y2＝
标准方程
2px(p>0) －2px(p>0)
x2＝ 2py(p>0)
x2＝ －2py(p>0)
图形
范围 准线方程
焦点 对称轴
顶点 离心率
性质
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
x＝－p2
x＝p2
p2，0
－p2，0
关于x轴对称
y＝－p2
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二、双曲线 1．双曲线的定义
平面内的动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：
(1)到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常 数2a； (2)2a<|F1F2|.
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2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
xa22－by22＝1(a>0，
轴长 焦距
A1(－a，0)， A1(0，－a)，
A2(a，0)
A2(0，a)
B1(0，－b)， B1(－b，0)，
B2(0，b)
B2(b，0)
长轴 A1A2 的长为 2a；
短轴 B1B2 的长为 2b
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ac∈(0，1)
a，b，c 的关系
c2＝a2－b2(a＞b＞0，a＞c＞0)
不等式，要抓住“生成”曲线的特征问题．
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2．圆锥曲线标准方程及应用 例2 抛物线C1：x2＝my(m>0)的准线与y轴交于F1，焦点 为F2，若椭圆C2以F1、F2为焦点、且离心率为e＝12. (1)当m＝4时，求椭圆C2的方程； (2)若抛物线C1与直线l：y＝2x－m及x轴所围成的图形的 面积为130，求抛物线C1和直线l的方程．
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【解析】(1)当m＝4时，抛物线C1：x2＝4y的准线为y＝
－1，则F1(0，－1)，F2(0，1),
假设椭圆C2：
y2 a2
＋
x2 b2
＝1(a>b>0)，则c＝1，离心率e＝
c a
＝12， 故a＝2，b＝ 3，∴此时椭圆C2的方程为x32＋y42＝1.
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【解析】选B.
不妨设P为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有
|PF1|－|PF2|＝2a，联立|PF1|＋|PF2|＝3b，平方相减得
|PF1|·|PF2|＝
9bห้องสมุดไป่ตู้－4a2 4
，则由题设条件，得
9b2－4a2 4
＝
9 4
ab，
整理得ba＝43，∴e＝ac＝ 1＋ba2＝ 1＋432＝53.
ay22－xb22＝1(a>0，
b>0)
b>0)
图形
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性质
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称轴：x 轴、y 轴 对称轴：x 轴、y 轴 对称性
对称中心：(0，0) 对称中心：(0，0)
顶点
渐近线 离心率 实虚轴 a、b、c
顶点坐标 A1(－a，0)， 顶点坐标 A1(0，－a)，
0，解得m＝－
1 2
(舍)或者m＝2，这时B点的坐标为(8，8)，而焦
点F的坐标为(2，0)，故直线BF的斜率kBF＝88－－02＝43. 【命题立意】知识：考查抛物线的几何性质及直线的方
程．能力：结合方程组的应用，考查运算求解能力和应用意
识．试题难度：较大．
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一、椭圆 1．椭圆的定义 平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件： (1)到两个定点F1、F2的距离和等于常数2a； (2)2a>|F1F2|.
【解析】选D.
设圆心为点C，则圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为C(0，6)，半
径r＝
2
.设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则
1x020 ＋y
2 0
＝1，即
x20＝10－10y20，
∴|CQ|＝ 10－10y20＋（y0－6）2 ＝ －9y02－12y0＋46 ＝
－9y0＋232＋50， 当y0＝－23时，|CQ|有最大值5 2， 则P，Q两点间的最大距离为5 2＋r＝6 2.
A2(a，0)
A2(0，a)
xa±by＝0
xb±ay＝0
e＝ac，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2
实轴长|A1A2|＝2a；虚轴长|B1B2|＝2b
的
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
关系
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三、抛物线
1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距 离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦 点，直线l叫做抛物线的准线．
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〔备选题〕 例4 动圆C与定圆C1：(x＋3)2＋y2＝32 内切，与定圆C2：(x－3)2＋y2＝8外切．点A0，92.
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程； (2)若圆心C的轨迹上的两点P、Q满足 A→P ＝5 A→Q ， 求|PQ|的值．
【解析】(1)动圆C的半径为r (r>0)，则|CC1|＋ |CC2|＝6 2>6.
y＝p2
0，p2
0，－p2
关于y轴对称
(0，0)
e＝1
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1．圆锥曲线的定义及应用
例1 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的 π
一个公共点，且∠F1PF2＝ 3 ，则椭圆和双曲线的离心率的
倒数之和的最大值为( )
A.4 3 3
B.2 3 3
C．3 D．2
2px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，
记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为( )
1
2
3
4
A.2
B.3
C.4
D.3
【解析】选D.
因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－
p 2
，且点A(－2，3)在
准线上，所以p＝4.设直线AB的方程为x＋2＝m(y－3)，与抛物
线方程y2＝8x联立得到y2－8my＋24m＋16＝0，由题易知Δ＝
第二十三页，编辑于星期五：十点 二十三分。
其中x∈(－∞，－2b]∪[2b，＋∞)． 若2b≤85，则当x＝85时，|PA|有最小值． 由|PA|min＝ 45－b2＝1解得b2＝－15(舍去)． 若2b>85，则当x＝2b时，|PA|有最小值． 由|PA|min＝2b－1＝1解得b＝32，b＝12(舍去)． 故此双曲线的方程为x92－49y2＝1. 【点评】熟记圆锥曲线的基础理论是本例准确迅速 求解的前提；要掌握有关圆锥曲线上动点的最值问题的 求解方法有函数模型和几何法两种，同时研究时必须考 虑动点坐标的取值范围．
轴，离心率为
5 2
，且双曲线上动点P到点A(2，0)的
最近距离为1.
(1)证明：满足条件的双曲线的焦点不可能在y
轴上；
(2)求此双曲线的方程．
第二十二页，编辑于星期五：十点 二十三分。
【解析】(1)用反证法证明如下： 设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 则由ac＝ 25，得a2＋a2b2＝54，即有ba＝12. 假设存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线，则其渐近
(2)由xy＝2＝2mx－y m消 y 得：x2－2mx＋m2＝0，解得 x＝m， 故所围成的图形的面积 S＝0mm1 x2－（2x－m）dx＝
解得：m2＝10，又 m>0，∴m＝ 10， 所以：抛物线方程为 x2＝ 10y，直线方程为 y＝2x－ 10.
第二十页，编辑于星期五：十点 二十三分。
【点评】本题主要是考查了抛物线的性质和椭圆 的方程的求解以及直线与抛物线的位置关系的综合运 用．
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2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方 程
xa22＋by22＝ 1(a>b>0)
ay22＋xb22＝ 1(a>b>0)
图形
范围 对称性
－a≤x≤a －b≤x≤b －b≤y≤b －a≤y≤a
对称轴：x轴及y轴； 对称中心：原点
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