9.5第3课时-直线和椭圆课件-2025届高三数学一轮复习

则Δ=0,即-576m2+14 400=0,解得m=±5,所以当m=±5时,直线和椭圆有且仅有一个公
共点.
(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.
③有两个公共点.
【解析】③要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144有两个公共点,
则Δ>0,即-576m2+14 400>0,解得-5<m<5,
解题技法
1.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的
点,则
①|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= (1 + 2 )[(1 + 2 )2 − 41 2 ];
9 4
交点个数是(
)
A.至多为1
B.2
C.1
D.0
【解析】选B.由题意知
4
2 +
2 + 2 <2,
>2,即

2
2 2
所以点P(m,n)在椭圆 + =1的内部,
9 4
故所求交点个数是2.
【加练备选】
2 2
已知直线l:kx+y+1=0,椭圆C: + =1,则直线l与椭圆C的位置关系是(
16 4

> > 0 的离心率为
6
,且过点
3
3,1 .
(1)求椭圆G的方程;
【解析】(1)由题意,

6
= =

3
9
1
+ 2=1
2

2
2
2
= +
2 = 12
2 2

,解得 2
,故椭圆G的方程为 + =1.
12 4
=4
2 2
已知椭圆G: 2+ 2 =1

> > 0 的离心率为
)
(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.
①无公共点;
=+
【解析】①依题意,联立
,
2
2
9 + 16 = 144
消去y,得25x2+32mx+16m2-144=0,
所以Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=-576m2+14 400,
(1 +
2 )2 −41 2 =3
|−3−2+2| 3 2
2,又P(-3,2)到AB的距离d=
= ,
2
2
谢谢观赏！！
6
,且过点
3
3,1 .
(2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△ABP
的面积.
【解析】(2)令AB为y=x+n,则AB中垂线方程为y=-(x+3)+2=-x-1,
联立AB与椭圆方程得,x2+3(x+n)2=12,整理得4x2+6nx+3n2-12=0,

即 + = . 因为kAB=kMN,所以 1 2 =
=- .
1 −2 −0
1
2
将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程,
得
12
6
22
6
+
+
12
3
22
3
= 1,
= 1,
(1 +2 )(1 −2 ) (1 +2 )(1 −2 )
相减得
+
=0,
6
3
1 +2 1 −2 1

2
x=c被椭圆截得的弦长等于2.
(1)求椭圆C的标准方程;
【解析】(1)由题意可得

3
=

2
22
=2

2 = 2 +
2 2
所以椭圆C的标准方程为 + =1;
16 4
=4
,解得
,
=2
2
2 2
3
[例2]已知椭圆C: 2+ 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0),离心率是 ,直线x=c
3
32 −12

若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- ,x1x2=
,所以y1+y2=x1+x2+2n= ,
2
4
2
1 +2 1 +2
3

又(
,
)在AB中垂线上,所以 -1= ,可得n=2,即x1+x2=-3,x1x2=0,
2
2
4
4
所以|AB|= 1 +
1
2
2·
9
2
所以S△PAB= |AB|·d= .

【解析】方法一:设直线l的方程为 + =1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).

设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,
所以
1 +2
+0
=
,2Leabharlann 21 +2
0+
=
,
2
2
1 + 2 = ,
− 0−
横轴,斜率倒数作参数”.
提醒:联立直线与曲线方程后得到一元二次方程,一定要考虑判别式Δ.
角度2 中点弦问题
2 2
[例3](一题多法)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A,B两点,
6 3
x+ 2y-2 2=0
l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2 3,则l的方程为______________.
第九章
直线与圆、圆锥曲线
第3课时
直线和椭圆
核心考点·分类突破
核心考点·分类突破
考点一 直线与椭圆位置关系的判断
2 2
[例1](1)(2024·长沙模拟)椭圆 + =1与直线y=k(x-1)的位置关系是(
8 2
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
【解析】选B.直线过定点M(1,0)在椭圆内,故直线与椭圆相交.
12
+
2
22
+
2
=1
=1
(1 +2 )(1 −2 ) (1 +2 )(1 −2 )
,两式相减可得
+
=0,
4
2
1 −2 2·(1 +2 ) 1
1
可得
==- ,即直线AB的斜率为k=- ,
1 −2 4·(1 +2 ) 2
2
1
1 3
所以弦AB的直线方程为y+1=- (x+1),即y=- x- ,

2
被椭圆截得的弦长等于2.
(2)若直线l:x+2y-2=0与椭圆相交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.
【解析】(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
+ 2 − 2 = 0
2
16
+
2
4
=1
,消元整理可得x2-2x-6=0,显然Δ>0,故x1+x2=2,x1x2=-6,
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
02 (−1)2 1
【解析】选A.因为 +
= <1,所以
9
4
4
因为y=2x-1恒过点 0, −1
)
0, −1 在椭圆内,
2 2
,所以直线y=2x-1与椭圆 + =1相交.
9 4
2 2

2.若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆 + =1的
所以当-5<m<5时,直线和椭圆有两个公共点.
解题技法
判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆公共
点个数.
对点训练
2 2
1.直线y=2x-1与椭圆 + =1的位置关系是(
9 4

方法二:设直线l的方程为 + =1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).

由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,

0−

设为Q,则Q( , ),则kAB=
=- ,kOQ=
2 2
−0

2

2

= .

2 1
由椭圆中点弦的性质知,kAB·kOQ=- 2 =- ,

2
1
即(- )· =- ,以下同方法一.
2
解题技法
处理中点弦问题常用的求解方法
对点训练
2 2
1.已知直线l交椭圆C: + =1于A,B两点,若点M(1,2)为A,B两点的中点,则直线l的斜率为
9 4
(
2
A.
9
)
2
B.9
9
C.
8
9
D.8
2 2
【解析】选D.椭圆C: + =1,依题意可知直线l的斜率存在,
9 4
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
12
9
22
9
12
+
4
22
+
4
=1
=1
9 1 +2 1 −2
,两式相减并化简得- =
·
,
4 1 +2 1 −2
9 4 1 −2 1 −2 9
9
即- = ·
,
=- ,所以直线l的斜率为- .
4 2 1 −2 1 −2 8
8
2 2
2.若椭圆 + =1的弦AB的中点为(-1,-1),则弦AB的长为(
4 2
A.
30
3
2 6
B.
3
C.
10
3
D.
)
15
3
【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为弦AB的中点为(-1,-1),
可得x1+x2=-2,y1+y2=-2,又因为A,B在椭圆上,
可得
12
4
22
4
2
2 2
联立
1
3
=− −
2
2
2
2
+ =1
4
2
1
2
,整理得3x +6x+1=0,可得x1+x2=-2,x1x2= ,
3
由弦长公式,
可得|AB|= 1 +
1 2
(− ) ·
2
(1 + 2
)2
− 41 2 =
5
·
4
(−2)2
−4×
1 30
= .
3 3
【加练备选】
2 2
已知椭圆G: 2 + 2 =1
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
【解析】选C.由直线l:kx+y+1=0,得直线l过定点(0,-1),
0 1
2 2
因为 + <1,所以该点在椭圆C: + =1的内部.
16 4
16 4
所以直线l与椭圆C相交.
)
考点二 直线与椭圆相交的有关问题
角度1 弦长问题
2 2
3
[例2]已知椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0),离心率是 ,直线
1
4
所以|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= 1 + 2 · (1 + 2 )2 −41 2 = 1 + · 22 + 4 × 6= 35,又由于原点
到直线l的距离为d=
2
1+22
=
2
1
1 2
,所以S△OAB= ·d·|AB|= × ×
5
2
2
5
35= 7,所以△OAB的面积为 7.
②|AB|= 1 +
1
|y1-y2|=
2

1
1
+ 2

[(1 + 2 )2 − 41 2 ].(k≠0)
2.弦长公式的运用技巧
在利用曲线方程和直线方程联立时,设直线方程也很讲究.
(1)若直线经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式方程y=kx+b便于运算,即“定点落
在纵轴上,斜截式帮大忙”;
(2)若直线经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a可以减小运算量,即“直线定点落


1
由题意知x1+x2≠0,x1≠x2,所以
·
=- ,即 ·(- )=- ,整理得m2=2n2.①
1 +2 1 −2 2

2
又|MN|=2 3,所以由勾股定理,得m2+n2=12,②


=
2
2,
由①②并结合m>0,n>0,得
所以直线l的方程为 + =1,
2 2 2
= 2,
即x+ 2y-2 2=0.
要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144无公共点,
则Δ<0,即-576m2+14 400<0,解得m<-5或m>5,
所以当m<-5或m>5时,直线和椭圆无公共点.
(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.
②有且仅有一个公共点;
【解析】②要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144有且仅有一个公共点,