高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》知识点总复习有解析

【最新】《坐标系与参数方程》专题解析
一、13
1．设椭圆C ：22
11612
x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，
则122d d +的最小值（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
设()
4,23P cos sin θθ，02θπ≤<，由题意可得：
122242384d d sin cos θθ+=-+-，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结
论． 【详解】
解：设()
4,23P cos sin θθ，02θπ≤<， 由题意可得：
122242384164341681688
6d d sin cos sin cos sin πθθθθθ⎛
⎫+=-+-=--=-+≥-= ⎪⎝
⎭．
当且仅当816sin πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
时取等号． 122d d ∴+的最小值为8．
故选：D 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其
中¶AE ，¶EF ，·FG
，¶GH ，……的圆心依次按,,,B C D A 循环，则曲线AEFGH 的长是（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．5π
D ．6π
【答案】C 【解析】 【分析】
分别计算»AE ，»EF
，»FG ，¼GH 的大小，再求和得到答案. 【详解】
根据题意可知，»AE 的长度
2
π，»EF 的长度为π，»FG
的长度为32π，¼GH 的长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π. 【点睛】
本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.
3．已知直线2sin 301sin 30
x t y t ︒
︒
⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆22
8x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ）
A ．
B
C ．
D ．
2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】
曲线2sin 301sin 30
x t y t ︒
︒
⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入2
2
8x y +=，可得22270x x --=，
∴BC ==，故选B ． 【点睛】
本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
4．极坐标cos ρθ=和参数方程12x t
y t =--⎧⎨=+⎩
（t 为参数）所表示的图形分别是
A ．直线、直线
B ．直线、圆
C ．圆、圆
D ．圆、直线
【答案】D 【解析】
由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即12x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭ 2＋y 2＝14
. 它表示以1
,02骣琪琪桫
为圆心，以
1
2
为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．
5．如图，点A 、B 是函数1
y x
=
在第I 象限的图像上两点且满足OAB 90∠=o 且AO AB =，则OAB ∆的面积等于（ ）
A ．12
B ．22
C 3
D 5 【答案】D 【解析】 【分析】
设点B 的极坐标为(),ρθ，则04
π
θ<<
，由OAB ∆为等腰直角三角形可得出点A 的极坐
标2,24πρθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
，将函数1
y x =的解析式表示为极坐标方程，将A 、B 两点的极坐标代入曲线的极坐标方程，可计算出2
ρ的值，再利用三角形的面积公式可计算出OAB ∆的面积. 【详解】
设点B 的极坐标为(),ρθ，则04
π
θ<<
，
由题意知，OAB ∆为等腰直角三角形，且OAB 90∠=o ，则点A 的极坐标
2,24πρθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
，将函数1
y x =的解析式化为极坐标方程得1sin cos ρθρθ=，即2sin cos 1ρθθ=，
化简得2
sin 22ρθ=，将点B 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2
sin 22ρθ=，
将点A
的极坐标代入曲线的极坐标方程得2
sin 224πρθ⎫⎡⎤
⎛⎫+=⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭
， 化简得2
cos 24ρθ=，于是有22sin 22
cos 24
ρθρθ⎧=⎨=⎩，
()()2
4
2
222sin 2cos 22420ρρθρθ∴=+=+=
，得2ρ=，
因此，OAB ∆
的面积为
111sin 242224OAB S OA OB πρρ∆=
⋅=⨯⨯⨯=⨯=
故选D.
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，解题的关键就是将问题转化为极坐标方程求解，将代数问题转化为几何问题求解，考查转化与化归数学思想，属于中等题.
6．已知曲线T
的参数方程1x k
y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（k 为参数），则其普通方程是（）
A ．221x y +=
B ．()22
10x y x +=≠ C
．00
x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩
D
．y =0x ≠)
【答案】C 【解析】 【分析】 由已知1x k =得1
k x
=代入另一个式子即可消去参数k ，要注意分类讨论。

【详解】
由题意1x k =Q 1k x ∴=
代入y =
y =
y ∴=①当0x >
时y ∴=②当0x <
时y ∴=
综上0
x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩
故选：C 【点睛】
本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想，是基础题．
7．在参数方程cos sin x a t y b t θθ
=+⎧⎨=+⎩，
(0θπ<…，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对
应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．12
2
t t - B ．12
2
t t + C ．
12
2t t - D ．
12
2
t t + 【答案】D 【解析】 【分析】
根据参数的几何意义求解即可。

【详解】 如图：
由直线参数方程的参数t 的几何意义可知，
1PB t =，2PC t =，因为M 是BC 的中点，所以12
2
t t PM +=
. 选D. 【点睛】
本题考查直线参数方程的参数t 的几何意义。

8．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移
动（包含端点A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设BP mBC nBA
=+u u u v u u u v u u u v
（,m n ∈R ），则m n +的取值范围是（ ）
A ．[21,221]-+
B ．[422,422]-+
C ．22[1,2]22
-+ D ．22[1,2]44
-
+ 【答案】D
【解析】 【分析】
建立如图所示平面直角坐标系，可得,BA BC u u u r u u u r 的坐标，进而可得BP u u u r
的坐标．分类讨论，当
动圆Q 的圆心在CD 上运动或在AD 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点P 坐标，再利用三角函数求m n +的最值． 【详解】
解：建立如图所示平面直角坐标系，可得，
(0,4),(4,0)BA BC ==u u u r u u u r ，可得(4,0)(0,4)(4,4)BP m n m n =+=u u u r
，
当点Q 在CD 上运动时，设(4,),
[0,4]Q t t ∈，
则点P 在圆Q ：22
(4)()1x y t -+-=上及内部，
故可设(4cos ,sin ),
(,01)P r t r R r θθθ++∈≤≤，
则(4cos ,sin )BP r t r θθ=++u u u r
，
44cos 4sin m r n t r θθ=+⎧∴⎨=+⎩
， 444(sin cos )42sin 4m n t r t r πθθθ⎛
⎫∴+=+++=+++ ⎪⎝
⎭，
04,01,t r R θ≤≤≤≤∈Q ，
当50,1,4t r πθ===时，m n +1-；
当4,
1,4
t r π
θ===
时，m n +2+
m n ∴+的取值范围是1244⎡-
+⎢⎣
⎦
； 当点Q 在AD 上运动时，设(,4),[0,4]Q s s ∈，
则点P 在圆Q ：22
()(4)1x s y -+-=上及其内部，
故可设(cos ,4sin ),
(,01)P s r r R r θθθ++∈≤≤，
则(cos ,4sin )BP s r r θθ=++u u u r
，
4cos 44sin m s r n r θθ
=+⎧∴⎨=+⎩，
444(sin cos )4sin 4m n s r s πθθθ⎛
⎫∴+=+++=+++ ⎪⎝⎭，
04,01,s r R θ≤≤≤≤∈Q ，
当50,1,4s r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14
-；
当4,
1,4
s r π
θ===
时，m n +，即2+
m n ∴+的取值范围是1244⎡-
+⎢⎣
⎦
； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．曲线2cos sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到原点的距离的最大值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据点到直线的距离求最值. 【详解】
曲线2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）上的点到原点的距离为：
2=，
当且仅当cos 1θ=±时取得等号 故选C. 【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用.
10．曲线1C :1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C
:12
112x t y t
⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
(t 为参数)上的点
的最短距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
分别将圆1C 和直线2C 转化为直角坐标方程，然后利用圆上的点到直线的距离与圆心到直线距离的关系从而求出最短距离． 【详解】
将1C 转化为直角坐标方程为()2
211x y -+=， 所以曲线1C 是以()1,0为圆心，1为半径的圆． 将2C
转化为直角坐标方程为10x y ++=，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为2d =
=，
所以圆上的点到直线的最小距离为211d r -=-=， 故选A ． 【点睛】
本题考查圆上的点到直线的距离，若圆心距为d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d r +，最小值为d r -．
11．过椭圆C
：2cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，
MF m =，NF n =，则
11
m n
+的值为（）
A ．
23
B ．
43
C ．83
D ．不能确定
【答案】B 【解析】 【分析】
消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11
m n
+的值. 【详解】
消去参数得到椭圆的普通方程为22
143
x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为
1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()22
3sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故121222
6cos 9
,03sin 3sin t t t t ααα
+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=
12
12
t t t t -===
⋅4
3
.故选B. 【点睛】
本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．若点P 的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（ ） A ．52,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．42,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．72,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D ．112,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭ 【答案】A 【解析】 【分析】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<
，则2
ρ==
，tan 1
θ=
=. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选：A. 【点睛】
本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.
13．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，则其圆心坐标为（ ） A ．2,
4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
B ．32,
4
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭ C ．2,4π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．()2,0
【答案】B 【解析】 【分析】
把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】
由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，即ρθθ=-，
即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，
所以圆心坐标为(， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩
，可得圆心的极坐标为3(2,
)4π
，故选B. 【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
14．已知P 为曲线3cos 4sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ剟
）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为
4
π
，则P 点的坐标是（ ）
A ．(3,4)
B ．2⎛ ⎝
C ．(-3,-4)
D ．1212,55⎛⎫
⎪⎝
⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】
根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】
设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ.
由题意知3cos 4sin θθ=， ∴3tan 4θ=
，又0θπ剟， ∴3sin 5θ=，4cos 5
θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯
=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选D.
【点睛】
本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.
15．参数方程22sin { 12x y cos θθ
=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( ) A ．240x y -+= B ．240x y +-=
C ．[]240,2,3x y x -+=∈
D ．[]240,2,3x y x +-=∈
【答案】D
【解析】试题分析： 2cos212sin θθ=-Q , 22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-
,代入22sin x θ=+可得22y x =-,整理可得240x y +-=.[]2sin 0,1θ∈Q ,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.
所以此参数方程化为普通方程为[]
240,2,3x y x +-=∈.故D 正确.
考点：参数方程与普通方程间的互化.
【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.
16．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为
A ．1ρ=
B ．cos ρθ=
C ．2cos ρθ=
D ．2sin ρθ= 【答案】C
【解析】
由题意知圆的极坐标方程为221rcos cos ρθθ==⨯⨯，即2cos ρθ=．故选C ．
17．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩
：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为
原来的4
，得到的曲线2C 为 A ．221241x y += B ．2
2
4413y x += C ．2
213
y x += D ．22344x y +=
【答案】B
【解析】 根据题意，曲线C 2：
12θ x cos y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（为参数）， 消去参数，化为直角坐标方程是2
2
4413
y x += 故选B ． 点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：
22221cos sin 1,1tan cos θθθθ
+=+=.不要忘了参数的范围.
18．椭圆2242x y +=上的点到直线280x y --=的距离的最小值为( )
A
B
C ．3
D ．6
【答案】A
【解析】
【分析】
设P （
cosθ
sinθ），0≤θ＜2π，求出P 到直线2x ﹣y ﹣8＝0 的距离d ，由此能求出点P 到直线的距离的最小值．
【详解】
∵椭圆4x 2+y 2＝2，P 为椭圆上一点，
∴设P （
2
cosθ
sinθ），0≤θ＜2π， ∴P 到直线2x ﹣y ﹣8＝0 的距离：
d 5==≥，
当且仅当cos （4π
θ+）＝1时取得最小值．
∴点P 到直线2x ﹣y ﹣8＝0的距离的最小值为d min 5
=
． 故选：A ．
【点睛】 本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．
19．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（ ）
A ．一个圆
B ．两个圆
C ．两条直线
D ．一个圆和一条直线
【答案】D
【解析】
分析：2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=，然后化为直角坐标方程即可得结论.
详解：2
cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=， 因为cos 10ρθ+=表示一条直线1x =-
30ρ-=表示圆229x y +=，
所以，极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=
表示的曲线是一个圆和一条直线，故选D.
点睛：本题主要考查极坐标方程的应用，属于中档题. 极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
20．能化为普通方程210x y +-=的参数方程为（ ）
A ．2sin ,cos x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）
B ．2tan ,1tan x y ϕϕ
=⎧⎨=-⎩（ϕ为参数）
C ．x y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数） D ．2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数） 【答案】B
【解析】 A:21,[1,1]y x x =-∈- ;B 21,y x x =-∈R ;C:21,[0,)y x x =-∈+∞ ;D:
21,[1,1]y x x =-∈-，所以选B.
点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：
22221cos sin 1,1tan cos θθθθ
+=+=.不要忘了参数的范围.。