08_数学(1)习作A_2-4 多项式函数的图形与多项式不等式[5页]

2-4多項式函數的圖形與多項式不等式
一、多項式函數及其圖形
1.常數函數及一次函數的圖形都是直線。

2.二次函數的圖形都是拋物線。

3.高次（三次或三次以上）函數的圖形都是連續曲線。

二、二次不等式
1.設α＜β，則二次不等式，
(1)（x－α）（x－β）＞0 的解為x＞β或x＜α。

(2)（x－α）（x－β）＜0 的解為α＜x＜β。

2.若二次函數f（x）＝ax2＋bx＋c的判別式D＝b2－4ac＜0，則：
(1) a＞0 ⇔f（x）之值恆為正。

(2) a＜0 ⇔f（x）之值恆為負。

三、高次多項式不等式
以不等式（x－1）（x－2）4（x－5）3（x－8）＞0 為例：
（Step1）x＝﹨1，2，5，8
（Step2）因為（x－2）4＞0，刪除此因式，得不等式
（x－1）（x－5）3（x－8）＞0；再者（x－5）3與（x－5）有相同正負，
故不等式可進一步化簡成（x－1）（x－5）（x－8）＞0
（Step3）將數線區分成（－∞﹐1），（1﹐5），（5﹐8），（8﹐∞）討論
（x－1）（x－5）（x－8）的正負值，可求得解為1＜x＜5 或x＞8，
且x＝﹨2
四、簡易分式不等式
若P（x）、Q（x）為多項式，則分式不等式
()
()
P x
Q x
≥0 的解與Q（x）＝﹨0
且P（x）Q（x）≥0 的解相同。

例如：()()
()
2
1
1
x x
x
+－
－
≥0 的解與（x＋1）（x－2）（x－1）≥0，（x－1）＝﹨0 的解相同，
所以，解同為－1≤x＜1 或x≥2。

基礎題
1.解下列不等式：
(1) x2＋5x－6＜0。

（4 分）(2) x2－2x－1≥0。

（4 分）解(1) x2＋5x－6＜0 ⇨（x－1）（x＋6）＜0 ⇨－6＜x＜1
(2) x2－2x－1＝0 之兩根為
()()()
2
224
2
11
±⋅⋅
－－－－－
＝1±2
故x2－2x－1≥0 ⇨（x－（1＋2））（x－（1－2））≥0
故x≤1－2或x≥1＋2
2.試解下列不等式：
(1) x2－6x＋9＞0。

（3 分）
(2) 4x2＋4x＋1≤0。

（3 分）
(3) －x2＋2x－5＞0。

（2 分）
解(1) 畫y＝x2－6x＋9＝（x－3）2的略圖
觀察圖形可知，x為任意數，但x＝﹨3
故不等式的解為所有實數，但x＝﹨3
(2)畫y＝4x2＋4x＋1＝（2x＋1）2的略圖
觀察圖形可知x＝－1
2
，故不等式的解為x＝－
1
2
(3)先將－x2＋2x－5＞0 化為x2－2x＋5＜0
畫y＝x2－2x＋5 的略圖如右
因為判別式D＝（－2）2－4．1．5＝－16＜0
且二次項係數1＞0，故圖形恆在x軸上方
因此，不等式－x2＋2x－5＞0 無解
3.若f（x）是二次函數且f（x）≤0 的解為「x≤1 或x≥9」，則f（x）可能是下列何者？（8 分）
(A) f（x）＝（x－1）（x－9）(B) f（x）＝2（x－1）（x－9）
(C) f（x）＝（1－x）（9－x）(D) f（x）＝（1－x）（x－9）
解(A)(B)(C)的解皆為（x－1）（x－9）≤0 ⇨ 1≤x≤9
(D)的解為－（x－1）（x－9）≤0 ⇨（x－1）（x－9）≥0 ⇨x≤1 或x≥9
故選(D)
4.解下列不等式：
(1)（2－x）（x＋3）（x＋4）＜0。

（4 分）(2)（x＋2）（x＋3）（x＋4）2＜0。

（4 分）解(1)（2－x）（x＋3）（x＋4）＜0 ⇨（x－2）（x＋3）（x＋4）＞0
故得－4＜x＜－3 或x＞2
(2)（x＋4）2恆正，故原式⇨（x＋2）（x＋3）＜0
故－3＜x＜－2
5.試問不等式（x2＋x＋2）（x－5）（2x－25）≤0 有多少個整數解？（8 分）
解x2＋x＋2 的判別式D＝12－4．1．2＜0
故x2＋x＋2 恆正
故原不等式⇨（x－5）（2x－25）≤0
得5≤x≤25 2
故整數解為5，6，7，8，9，10，11，12，共8 個
6.若已知一實係數方程式f（x）＝x3－ax2＋bx－30＝0 之一複數根為1－3i，試求：(1) 數對（a﹐b）。

（4 分）(2) 滿足f（x）＜0 的解。

（4 分）
解(1) 由虛根成對知f（x）＝（x－（1－3i））（x－（1＋3i））（x＋c）
＝（x2－2x＋10）（x＋c）
比較係數得－a＝c－2，b＝－2c＋10，－30＝10c
因此，c＝－3，a＝5，b＝16
故數對（a﹐b）＝（5﹐16）
(2) f（x）＝（x2－2x＋10）（x－3）＜0
⇨x－3＜0（由D＝（－2）2－4．1．10＜0 得知x2－2x＋10 恆正）
⇨x＜3
7.解下列分式不等式： (1)()()21x x x +－＞0。

（4 分） (2)1x －12
x +＜0。

（4 分） 解 (1)()()
21x x x +－＞0 與 x （x ＋1）（x －2）＞0 有相同解 故 －1＜x ＜0 或 x ＞2
(2) 通分得()()22x x x x ++－＜0，故()22
x x +＜0 即 x （x ＋2）＜0
故－2＜x ＜0
8.試求不等式2271223
x x x x ++－－ ≥ 1 的解。

（8 分） 解 移項通分得
()()2227122323x x x x x x －＋－－＋－＋ ≥ 0 ⇨25923
x x x ++－－ ≥ 0 ⇨（－5x ＋9）（x 2－2x ＋3） ≥ 0
⇨－5x ＋9 ≥ 0（由 D ＝（－2）2－4．1．3＜0 得知 x 2－2x ＋3 恆正）
⇨ 5x －9 ≤ 0
故 x ≤
95
進階題
9.若不等式 ax 2－x ＋b ＞0 的解為－23＜x ＜12
，試求實數數對（a ﹐b ）。

（9 分） 解 －23＜x ＜12
對應的二次不等式為23x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＜0 即 x 2＋16x －13
＜0 ⇨－x 2－16x ＋13
＞0 ⇨－6x 2－x ＋2＞0
比較原不等式係數可得 a ＝－6，b ＝2
故實數數對（a ﹐b ）＝（－6﹐2）
10.已知不等式（x2－3x－10）（x2＋ax＋b）≤0 的解為－2≤x≤－1 或3≤x≤5，
試求a＋b的值。

（9 分）
解解為－2≤x≤－1 或3≤x≤5
對應不等式（（x＋2）（x＋1））（（x－3）（x－5））≤0
因為x2－3x－10＝（x＋2）（x－5）
故比較x2＋ax＋b與（x＋1）（x－3）的係數
可得a＝－2，b＝－3
故a＋b＝－5
11.設f（x）為二次函數，且不等式f（x）＞0 之解為－2＜x＜4，試求f（3x）＜0 之解。

（9
分）
解〔解法一〕
f（x）＝a（x＋2）（x－4），a＜0
故f（3x）＜0 ⇨a（3x＋2）（3x－4）＜0
⇨（3x＋2）（3x－4）＞0
解得x＜－2
3
或x＞
4
3
〔解法二〕
令t＝3x
f（3x）＜0，即f（t）＜0，故t＜－2 或t＞4
得3x＜－2 或3x＞4，即x＜－2
3
或x＞
4
3
12.若對所有的實數x，3x2＋2ax－a≥0 均成立，試求a的範圍。

（9 分）
解判別式D＝（2a）2－4．3．（－a）≤0
故4a2＋12a≤0
⇨a2＋3a≤0
⇨a（a＋3）≤0
得－3≤a≤0。