高中数学人教A版必修4模块综合检测(二) Word版含解析

模块综合检测(二)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(北京高考)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则 2a －b ＝( )
A ．(5,7)
B ．(5,9)
C ．(3,7)
D ．(3,9)
解析：选A 因为a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，所以2a －b ＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)，故选A.
2．点M (2，tan 300°)位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D ∵tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－3，
∴M (2，－3)．故点M (2，tan 300°)位于第四象限．
3．已知OA ＝(2,3)，OB ＝(－3，y )，且OA ⊥OB ，则y 等于( )
A ．2
B ．－2 C.12 D ．－12
解析：选A ∵OA ⊥OB ，∴OA ·OB ＝－6＋3y ＝0，∴y ＝2. 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2
，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33
C ．－ 3 D. 3
解析：选D cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12
，所以tan φ＝ 3. 5.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α
等于( ) A ．tan α
B ．tan 2α
C ．1 D.12
解析：选B 2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α
＝tan 2α. 6．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，
tan α·tan β＝2，
则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
＝－3. 7．已知函数f (x )＝2sin x ，对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为
( )
A.π4
B.π2
C ．π
D ．2π
解析：选C ∵f (x )＝2sin x 的周期为2π，
∴|x 1－x 2|的最小值为π.
8．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )
A ．1
B ．－1 C. 3 D.22 解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知a ∥b .所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x .而x ∈(0，
π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4
，故tan x ＝1. 9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解析：选C 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10
个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图象；再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图象，所以所得函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 10．(山东高考)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )
A ．2－ 3
B ．0
C ．－1
D ．－1－ 3
解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6
， －32
≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 11．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD |＝1，则AC ·AD ＝( )
A ．2 3
B ．3 3 C.32 D. 3 解析：选D 建系如图．
设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，
BC ＝(x C －x B ，y C )，
BD ＝(－x B,1)．
∵BC ＝ 3 BD ，
∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)x B ，y C ＝ 3.
AC ＝((1－3)x B ，3)，AD ＝(0,1)，AC ·AD ＝ 3.
12．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )
A ．3
B ．－3
C ．0
D ．2
解析：选A 由原式可得⎩
⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6，y ＝3.所以x －y ＝3. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(重庆高考)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b|＝10，向量a 与b
的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12
＝10. 答案：10
14．(江西高考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13
，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.
解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3.
答案：3
15．(山东高考)函数y ＝
32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：y ＝
32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin2x ＋π6＋12，所以其最小正周期为2π2
＝π. 答案：π
16．化简：sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭
⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32
－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝
⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3
－sin 2α ＝1－cos 2α2－1－cos 2α2
＝12
. 答案：12
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设a ＝(1＋cos x,1＋sin x )，b ＝(1,0)，c ＝(1,2)．
(1)求证：(a －b )⊥(a －c )；
(2)求|a |的最大值，并求此时x 的值．
解：(1)证明：a －b ＝(cos x,1＋sin x )，
a －c ＝(cos x ，sin x －1)，
(a －b )·(a －c )＝(cos x,1＋sin x )·(cos x ，sin x －1)＝cos 2x ＋sin 2x －1＝0.
∴(a －b )⊥(a －c )．
(2)|a |＝ (1＋cos x )2＋(1＋sin x )2 ＝3＋2(sin x ＋cos x )
＝ 3＋22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤ 3＋22＝2＋1.
当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1，即x ＝π4
＋2k π(k ∈Z)时，|a |有最大值2＋1.
18．(本小题满分12分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；
(2)求f (x )的解析式．
解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，
得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α
＝3sin (α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
∴tan(α＋β)＝2tan α.
(2)由(1)得
tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α， 即x ＋y 1－xy
＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2
， 即f (x )＝
x 1＋2x 2. 19．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－45，sin β－α2＝513，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2
的值．
解：∵π2＜α＜π，0＜β＜π2
， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，β－α2∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π4. ∴sin ⎝⎛⎭
⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝35， cos ⎝⎛⎭⎫β－α2＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫β－α2＝1213
. ∵⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2＝α＋β2
， ∴cos α＋β2
＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫β－α2－sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭
⎫β－α2 ＝⎝⎛⎭⎫－45×1213－35×513＝－6365
. 20．(本小题满分12分)(湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变
化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12
t ，t ∈[0,24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差．
解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3
＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3
，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
21．(本小题满分12分)已知f (x )＝23cos 2x ＋sin 2x －3＋1(x ∈R)．
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )的递增区间；
(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，求f (x )的值域． 解：f (x )＝sin 2x ＋3(2cos 2x －1)＋1＝sin 2x ＋
3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2
， 得2k π－5π6≤2x ≤2k π＋π6， ∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12
(k ∈Z)． ∴函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)． (3)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1. ∴f (x )∈[0,3]．
22．(本小题满分12分)(陕西高考)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在⎣⎡⎦
⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝
⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12
cos 2x ＝32sin 2x －12
cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6
cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2
＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.
(2)∵0≤x ≤π2
， ∴－π6≤2x －π6≤5π6
. 由正弦函数的性质，
当2x －π6＝π2，即x ＝π3
时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12
， 当2x －π6＝5π6，即x ＝π2
时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝12， ∴f (x )的最小值为－12
. 因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12
.。