2016-2017学年高中数学选修4-1学业分层测评 1.2.1 圆周角定理 含解析

学业分层测评（四)
§2。

圆与直线
2。

1 圆周角定理
(建议用时：45分钟）
［学业达标]
一、选择题
1。

如图1。

2。

14，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠A的大小为（)
图1。

2。

14
A。

25°B。

50°
C.75°D。

100°
【解析】由圆周角定理得∠A＝错误!∠BOC＝25°.
【答案】A
2。

如图1。

2.15，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D,∠A＝50°，则∠OCD的度数是( ）
A。

40° B。

25°
C。

50°D。

60°
【解析】连接OB。

因为∠A＝50°，所以弦BC所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝错误!∠BOC＝50°,∠OCD＝90°－∠COD＝40°.
【答案】A
3。

Rt△ABC中,∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2错误!，则此三角形外接圆半径为（）
A.错误!
B.2
C.2错误!D。

4
【解析】由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB ＝错误!＝4，故外接圆半径r＝错误!AB＝2.
【答案】B
4。

如图1。

2.16，已知AB是半圆O的直径,弦AD，BC相交于P，若CD＝3，AB＝4，则tan∠BPD等于( )
A.错误!B。

错误!
C.错误!D。

错误!
【解析】连接BD，则∠BDP＝90°.∵△CPD∽△APB，∴错误!＝错误!＝错误!.
在Rt△BPD中，cos∠BPD＝PD
PB＝错误!,
∴tan∠BPD＝错误!.
【答案】D
5。

如图1。

2。

17所示，圆O上一点C在直线AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于（）
图1。

2。

17
A.6
B.8
C。

4 D.5
【解析】∵AB为直径,∴∠ACB＝90°。

又∵CD⊥AB,
∴由射影定理可知，CD2＝AD·BD.
∴42＝8AD,∴AD＝2。

∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10。

∴圆O的半径为5.
【答案】D
二、填空题
6。

如图1­2。

18所示，AB是⊙O的直径，D是错误!的中点，∠ABD ＝20°,则∠BCE＝________（答案用数值表示）。

【导学号：96990017】
图1。

2。

18
【解析】连接AD，DE,
∵∠ABD＝20°，
∴∠AED＝20°,
又D是错误!的中点，
∴∠DAC＝∠DEA＝20°.
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DCA＝70°，
∴∠BCE＝70°.
【答案】70°
7.如图1。

2.19，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APD＝__________。

图1。

2。

19
【解析】由于AB为⊙O的直径，则∠ADP＝90°,
所以△APD是直角三角形。

则sin∠APD＝错误!，cos∠APD＝错误!，
由题意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝BAP，
所以△PCD∽△PBA.
所以错误!＝错误!，又AB＝3，CD＝1，则错误!＝错误!。

∴cos∠APD＝错误!。

又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1,
∴sin∠APD＝错误!.
【答案】错误!
8.如图1。

2。

20所示，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，
AC＝3，则△ABC的周长是__________。

图1。

2­20
【解析】由圆周角定理，
得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°。

∴AB＝BC.
∴△ABC为等边三角形。

∴周长等于9。

【答案】9
三、解答题
9.如图1.2。

21,△ABC中,∠C＝90°，AB＝10,AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，求BP长.
图1.2.21
【解】连接CP，∵AC为圆的直径，
∴∠CPA＝90°,即CP⊥AB。

又∵∠ACB＝90°,
∴由射影定理可知AC2＝AP·AB.
∴AP＝错误!＝错误!＝3。

6。

∴BP＝AB－AP＝10－3。

6＝6。

4.
10。

如图1.2。

22，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
图1­2­22
(1）证明:△ABE∽△ADC；
（2)若△ABC的面积S＝错误!AD·AE，求∠BAC的大小.
【解】（1）证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD。

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB＝∠ACD。

故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，
所以错误!＝错误!,即AB·AC＝AD·AE.
又S△ABC＝错误!AB·AC·sin∠BAC，
且S△ABC＝错误!AD·AE,
所以AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE。

则sin∠BAC＝1.
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC＝90°.
［能力提升］
1。

在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是( ) A。

42° B.138°
C。

84°D。

42°或138°
【解析】借助圆形和圆周角定理可知，弦AB所对的圆周角有两种情况，即为42°或138°.
【答案】D
2。

如图1­2.23,AC是⊙O的直径，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，如果∠BAC＝32°,那么∠AOD＝（)
图1。

2。

23
A。

16° B.32°
C.48°D。

64°
【解析】∵AB∥CD，∴错误!＝错误!.
又∵∠BAC＝32°，
∴错误!的度数为64°。

∴∠AOD＝64°.
【答案】D
3.如图1。

2.24，在等腰三角形ABC中,以腰AC为直径作半圆交AB于点E,交BC于点F,若∠BAC＝50°，则错误!的度数为__________.
【导学号：96990018】
图1。

2。

24
【解析】连接AF。

∵AC为⊙O的直径，
∴∠AFC＝90°，
∴AF⊥BC，∵AB＝AC，
∴∠BAF＝错误!∠BAC＝25°。

∴错误!的度数为50°.
【答案】50°
4。

如图1。

2.25所示,已知△ABC内接于圆，D为错误!中点，连接AD交BC于E.
图1。

2。

25
求证：(1)错误!＝错误!；
（2）AB·AC＝AE2＋EB·EC。

【证明】（1）连接CD。

∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，
∴△ABE∽△CDE，
∴错误!＝错误!。

(2)连接BD.
∵错误!＝错误!，
∴AE·ED＝BE·EC，
∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE
＝AE（AE＋DE）＝AE·AD ①
在△ABD与△AEC中,
∵D为错误!的中点,
∴∠1＝∠2，
学必求其心得，业必贵于专精
又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴△ABD∽△AEC，
∴错误!＝错误!，
即AB·AC＝AD·AE ②
由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC。