苏科版九年级数学上册《认识一元二次方程》课件

常用于一元二次方程 来建模的问题有：
• 圆形的面积 • 增长(利润)率 • 行程问题 • 工程问题等
感悟新知
建立一元二次方程模型的一般步骤：
知4－讲
(1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之
间的关系；
(2)设出合适的未知数，一般设为x；
(3)确定等量关系；
(4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为
二次项 一次项
知2－讲
指出方程各项的 系数时要带上前
面的符号.
常数项
感悟新知
例2
将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一 知2－练
般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数
和常数项． 解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
二次项
3x2－8x－10＝0.
课堂小结
使方程两边 一
相等的未知
元 二
数的值
次 方
程
的
根
一元二次方程
1.整式 2.一个未知数 3.最高次数为2
一元二次方程的定义 一元二次方程
建立一元二次方程的模型
一 元
二 a x²+b x+ c =0
次 方 程 的 一 般 形 式
课堂小结
一元二次方程
判别一元二次方程的“两方法”： (1) 根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含
系数所以二次项系数为3，一次项系数为常－数8项， 常数项为－一1次0. 项系数
感悟新知
总结
知2－讲
(1) ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方程，
但b，c可以是0.
(2) 将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分
母、去括号、移项、合并同类项等步骤．
(3) 指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的
有( A )
A．1个 B. 2个 C．3个 D．4个 导引： ①含有两个未知数； ②不是整式方程；
③符合一元二次方程的“三要素”
④未知数的最高次数不是2
⑤整理后未知数的最高次数不是2
知1－练
感悟新知
总结
知1－讲
一元二次方程的识别方法：
整理前：①整式方程，②只含一个未知数；
感悟新知
1 方程x2＋x－12＝0的两个根为( D ) A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
知2－练
感悟新知
知识点 4 建立一元二次方程的模型
一元二次方程的模型：
知4－讲
一元二次方程是刻 画现实世界的一个有效 数学模型，它是把实际 问题中语言叙述的数量 关系通过设未知数用一 元二次方程来表达．
感悟新知
设切去的正方形的边长是x cm，则盒底的 长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.根据方
知1－讲
盒的底面积为3600cm2，得 (100－2x)(50－2x)＝3 600.
整理，得4x2－300x＋1400=0 化简，得x2－75x＋350=0
化简后的方程中 未知数的个数和
最高次数各是 多少？
赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛，所以全部比赛共 1 x x
2
列方程
1 x x 1 28 2
整理，得 1 x2 1 x 28
22
化简，得 x2
解上面方程即可得出参赛队数.
1 场.
x 56
感悟新知
知1－讲
思考：方程 x2 2x 4 0， x2－75x+350=0， x2 x 56 有什么共同点？
这就是本章要学习的主要内容．
感悟新知
知识点 1 一元二次方程的定义
知1－讲
问 题（一） 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个
角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就
能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是
3600 cm2，那么铁皮
各角应切去多大的正方形?
可以发现
1、只含有一个未知数 2、未知数的最高次数是2次 3、等号的两边都是整式
感悟新知
知1－讲
定义 等号两边都是整式， 只含有一个未知数( 一元 )， 并且未知数的最高次数是2(二次) 的方程，叫做 一元二次方程．
感悟新知
例1
下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋
1 x
＝2；
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
感悟新知
解：(1)移项，得5x2－4x－1＝0，其中二次项系数为 知2－练 5，一 次项系数为－4，常数项为－1. (2)移项，得4x2－81＝0，其中二次项系数为4，一次项 系数为0，常数项为－81. (3)去括号，得4x2＋8x＝25，移项，得4x2＋8x－25＝0， 其中二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为－25. (4)去括号，得3x2＋x－2＝8x－3，移项，合并同类项， 得3x2－7x＋1＝0，其中二次项系数为3，一次项系数 为－7，常数项为1.
第1章 一元二次方程
1.1
一元二次方程
第1课时 认识一元二次方程
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解(根) 建立一元二次方程的模型
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
回顾旧知
判断下列式子是否是一元一次方程：
x 9 6.5 2 0.3x 5
感悟新知
知识点 3 一元二次方程的解(根)
知2－讲
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一 元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二 次方程的根．
感悟新知
例 3 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
解析：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
有一个未知数；三是未知数的最高次数是2. (2) 根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2＋bx
＋c＝0的形式，且a一定不能为0，而b，c都可以 为0；二是判断是否为一元二次方程与其解的情 况无关．
如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC
A
应有如下关系：
AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.
C
设雕像下部高x m，可得方程x2＝2(2－x)，
整理得 x2＋2x－4＝0.
B
课时导入
这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其 中未知数x的最高次数是2. 如何解这类方程? 如何用这类方程解决一些实际问题?
指出某项系数时应连同它前面的符号一起.
感悟新知
知2－练
1 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，
c的值分别是( A )
A．1，－3，10
B．1，7，－10
C．1，－5，12
D．1，3，2
感悟新知
知2－练
2 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写 出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)5x2－1＝4x；(2)4x2＝81； (3)4x(x＋2)＝25； (4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
解上面方程即可得出所切正方形
的具体尺寸.
感悟新知
问 题（二）
知1－讲
要组织一次排球邀请赛， 参赛的每两个队之间都要 比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个 队参赛?
感悟新知
全部比赛场数为 4 7 28 . 知1－讲
设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他 (x－1) 个队各
40+2x
为x cm的边框，则整40个挂
图的面积．
图的长与宽各增加了多少？利用长方形的面积公
9式0+和2x油画面积与整个
挂图面积之间的关系 解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
列方程
感悟新知
总结
知4－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时， 既 要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目 中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、 利润公式等)进行列方程．
一般形式．
感悟新知
知4－练
例4 小雨在一幅长90 cm， 宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽 度相同的边框， 制成一幅挂图并使油画画面的面积是整个 挂图面积 的54%，设边框的宽度为x cm，根据题意，列出 方程．
感悟新知
知4－练
x 在油画四周外围镶上宽度 90
本题涉及两个基本量： 油画的面积与整个挂
2 如果方程(m－3)xm2－7－x ＋3＝0是关于x一元二次
方程，那么m的值为( C )
A． ±3
B． 3
C． －3
D．以上都不对
感悟新知
知识点 2 一元二次方程的一般形式
知2－讲
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经
过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0 (a≠0)这
种形式叫做一元二次方程的一般形式 .
知2－练
感悟新知
总结
知2－讲
判断一个数是不是一元二次方程的根的方法： 可将这个数代入方程中，如果该数使方程左右两
边相等，那么这个数就是方程的根；反之，如果该数 不能使方程左右两边相等，那么这个数就不是方程的 根.
感悟新知
总结
知2－讲
特别提醒 如果一个数是一元二次方程的根，那么这个数一定能 使方程左右两边的值相等，由此可求待定字母的值.
为什么规定a≠0，b， c可以为0吗？
感悟新知
知2－讲
特别提醒 a ≠ 0是方程ax2+bx+c=0 是关于x 的一元二次方
程的前提；反之，如果方程ax2+bx+c=0 是关于x 的 一元二次方程，则必隐含a≠0这一条件.
感悟新知
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
a≠0
一次项系 数
a x²+b x+ c =0
整理后：未知数的最高次数是2. 警示误区
最高次数是2 的项的系数的取值范围不明确的方程不一定 是一元二次方程，如：（m-2）x2+3x-8=0 不一定是一元 二次方程.
感悟新知
知1－练
1 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
A．ax2＋bx＋c＝0 C．x2＋ 1 ＝2
x
B．x2＋1－x2＝0 D．x2－x－2＝0
11
2பைடு நூலகம்
2
x
复习提问 引出问题
一元一次方程
1、只有一个未知数 2、未知数的指数是一次 3、方程的两边都是整式
课时导入
导入新知
在设计人体雕像时， 使雕像的上部 (腰以上)与下部(腰以下) 的高
度比， 等于下部与全部(全身)的高度比， 可以增加视觉美感．按
此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?