陕西省黄陵中学2018届高三(普通班)下学期第一次大检测数学(文)试题

高三普通班班2018年第一次质量大检测
文数试题
考试说明：试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。

1.已 知 集 合 A ＝ {0 , 1 , 3 }, B ＝ {}
13x x -≤p .则A ∩ B ＝ A. {0 , 2 } B. {0 , 1 } C . {0 , 1 ,2, 3 } D .
Φ
2.如果复数21m i
mi
++是 纯虚数 , 那么实数 m 等于
A.1
B.0
C.0 或 1
D.0 或-1
3．已知命题 p ：“ ∀ x ∈(0,)+∞， 2x ＞1 0” ，命 题 q ：“ ∃ x 0 ∈R ，sinx 0=cosx 0,则下列命题中的真 命 题为 A ．p ∧ q B ．﹁p C ． ﹁p ∧q D ．﹁p ∨﹁q 4. 我 国 古 代 数 学 算 经 十 书 之 一 的 《 九 章 算 术 》 有 一 衰 分 问 题 ： 今 有 北 乡 八千 一 百 人 ， 西 乡 七 千 四 百 八 十 八 人 ， 南 乡 六 千 九 百 一 十 二 人 ， 凡 三 乡 ， 发 役 三 百 人 ， 则 北 乡 遣 A . 10 4 人 B . 10 8 人 C . 11 2 人 D . 12 0 人
5.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，设向量()
()sin sin ,3,sin ,m B A a c n C a b =-+=+u r r
，且
//m n u r r
，则B 的大小是（ ）
A ．
6π B ．56π C ．3π D ．23
π 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A ．202162π+
B ．202164π+
C ．242164π+
D ．242162π+
7.为比较甲、乙两地某月10时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天,10时的气温数据(单位：C
︒ )制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
①甲地该月10时的平均气温低于乙地该月10时的平均气温；
②甲地该月10时的平均气温高于乙地该月10时的平均气温；
③甲地该月10时的平均气温的标准差小于乙地该月10时的气温的标准差；
④甲地该月10时的平均气温的标准差大于乙地该月10时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
8.已知不等式组
2
1
y x
y kx
y
≤-+
⎧
⎪
≤+
⎨
⎪≥
⎩
所表示的平面区域为面积等于
9
4
的三角形，则实数k的值为（）A．1 B．2
- C．1或2
- D．
2
9
-
9．已知ABC
∆的三个内角C
B
A,
,的对边分别为c
b
a,
,，若A
B2
=，0
cos
cos
cos>
C
B
A，
则
b
A
a sin
的取值范围是
A．
33
⎝⎭
B．⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
2
3
,
4
3
C．
13
2
⎛
⎝⎭
D．
31
2
⎫
⎪⎪
⎝⎭10．已知三棱锥ABC
S-的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，ABC
∆是边长为4的等边三角形，三棱锥ABC
S-的体积为
3
8
，则此三棱锥的外接球的表面积为
A．
3
68π
B．
3
16π
C．
3
64π
D．
3
80π
11．函数
1
1
+
=
x
y的图像与函数)2
4
(
sin
3≤
≤
-
=x
x
yπ的图像所有交点的横坐标之和等于
A ．4-
B ．2-
C ．8-
D ．6-
12．已知S 为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上的任意一点，过S 分别引其渐近线的
平行线，分别交x 轴于点N M ,，交y 轴于点Q P ,，若()4
11≥+⋅⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+OQ OP ON OM
恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为 A ．(]2,1
B ．[)+∞,2
C ．
]2,1（ D ．),2[+∞
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330
x x y x y ≤⎧⎪
-+≥⎨⎪
++≥⎩表示的平面区
域内，则面积最大的圆C 的标准方程为．
14．设函数31
()2
320x e x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩
，，(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是．
15．在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC BD ⋅u u u r u u u r
的值为．
16．已知a 为常数，函数22
()1f x a x x =
---的最小值为2
3
-
，则a 的所有值为． 13．22(1)4x y -+=14．()1+∞，15．10 16．144
，
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17]已知
的内角，，满足：
．
（1）求角； （2）若
的外接圆半径为1，求
的面积的最大值．
18. 某海产品经销商调查发现，该海产品每售出1吨可获利0.4万元，每积压1吨则亏损0.3
万元．根据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．
（1）请补齐上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数；
（2）今年该经销商欲进货100吨，以（单位：吨，
）表示今年的年需求量，以（单
位：万元）表示今年销售的利润，试将表示为的函数解析式；并求今年的年利润不少于万元的概率．
19、（本小题满分12分）
在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点.
（1）求证：//EF 平面PCD ； （2）若2
=12
AD AP PB AB ===，求三棱锥P DEF -的体积.
20．（本小题满分12分）
已知点)1,0(-A 、)1,0(B ，P 为椭圆C :12
22
=+y x 上异于点B A ,的任意一点． （Ⅰ）求证：直线PA 、PB 的斜率之积为2
1-
； （Ⅱ）是否存在过点)0,2(-Q 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，使得
||||BN BM =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
21. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
12n n
S =-
，数列{}n b 为等差数列，且()2211121,2
a b a b +==
.
（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第
一题记分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数）ααα
(sin 2cos 22⎩
⎨⎧=+=y x ．以平面
直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为
3sin =θρ．
(1) 求曲线1C 的极坐标方程；
(2) 设1C 和2C 交点的交点为A ，B ，求AOB ∆的面积. 23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)
已知0>a ，0>b ，0>c ，函数()c b x a x x f +-++=2的最小值为4. (1) 求c b a ++2的值 ； (2) 证明：13
8
49222≥++c b a .
参考答案
1-4.BDAB 5-8.BDBA 9-12.DAAD
17.【答案】(1)；(2)．
【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将角的关系转化为边的关系，再根据余弦定理求A,（2）由余弦定理以及基本不等式求最大值，再根据三角形面积公式得面积的最大值.
试题解析：（1）设内角，，所对的边分别为，，．
根据，
可得，
所以，
又因为，所以．
（2），
所以，
所以（时取等号）．
18.【答案】（1）；（2）今年获利不少于万元的概率为．
【解析】试题分析：（1）根据各小矩形面积和为，可确定所缺矩形的纵坐标，从而可补全直方图，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可估计年需求量的平均数；（2）根据销售收入减成本可将表示为的函数解析式，由解析式可求出今年获利不少于万元的的范围是，结合直方图可得
.
试题解析：（1）
解：设年需求量平均数为，
则，（2）设今年的年需求量为吨、年获利为万元，
当时，，
当时，，
故，
，
则，
，
，
，
，
.
所以今年获利不少于万元的概率为.
19.
GF GC.
（I）证明：取PD中点G，连接,
在△PAD中，有
,G F分别为PD、AP中点
∴ 1
//
2GF AD 在矩形ABCD 中，E 为BC 中点
∴ 1
//
2
CE AD ∴ //GF EC
∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴ //GC EF
而GC ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD
∴ //EF 平面PCD ………………………………………………6分
（II ）解：Q 四边形ABCD 是矩形
∴ AD AB ⊥，//AD BC
Q 平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB I 平面ABCD =AB ，AD ⊂平面PAB ∴ AD ⊥平面PAB
∴ 平面PAD ⊥平面PAB ， //BC 平面PAD
Q =
12
AD AP PB AB ===
∴ AB 222AP PB AB += ∴ AP PB ⊥
∴ BP ⊥平面PAD Q //BC 平面PAD
∴ 点E 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离.
而 111112224PDF S PF AD =
⨯⨯=⨯⨯=V ∴ 1111
133412
P DEF PDF V S BP -==⨯⨯=V g
∴ 三棱锥P DEF -的体积为1
12
. …………………………………12分
20.解：（I ）设点),(y x P ，)0(≠x ，则
1222=+y x ，即22
12
x y =-
∴ 11PA PB
y y k k x x -+⋅=g 2
21y x -=22
112x x
⎛⎫-- ⎪⎝⎭=1
2=- 故得证． ………………………………5分
（II ）假设存在直线l 满足题意．
显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交． ①当直线l 的斜率0≠k 时，设直线l 为：)2(+=x k y
联立⎪⎩
⎪⎨⎧+==+)2(1222
x k y y x ，化简得：0288)21(2
222=-+++k x k x k
由0)28)(21(4)8(2
2
2
2>-+-=∆k k k
，解得022
k k -<<≠（） 设点),(11y x M ，),(22y x N ，则
2
1222
12
28128212k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
∴ 2
22212121442184)(k
k
k k k k k x x k y y +=++-=++=+ 取MN 的中点H ，则1212,2
2x x y y H ++⎛⎫
⎪⎝⎭，则12
12212
1-=⋅+-+k x x y y 即 2
22
21121412k
k k k k -+=--+g ，化简得01222=++k k ，无实数解，故舍去．
②当0=k 时，,M N 为椭圆C 的左右顶点，显然满足||||BN BM =，此时直线l 的方程为0y =．
综上可知，存在直线l 满足题意，此时直线l 的方程为0y =． ……………12分 21. （本题满分12分）
（1）1111122
a S ==-
=， 2n ≥时，111111*********n n n n n n n n a S S ---⎛
⎫⎛⎫=-=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，适合112a =，
∴1
2n n a =
， 由1112a b =得11b =，由()2221a b +=得()21
214
b +=，∴22b =，∴1d =，
∴()111n b n n =+-⋅=；
（2）由231232222
n n n
T =
++++L ， 得234111*********
n n n n n T +-=+++++L ， 相减，得23n 111
111
111112222-112222222212
n n n n n n n n T +++-⋅
+=++++=-=--L ， ∴2
22
n n n +=-．
22解：
（I ）曲线1C 的参数方程为为参数）
αα
α
(sin 2cos 22⎩⎨⎧=+=y x 消去参数的1C 的直角坐标方程为：042
2
=+-y x x 所
以
1
C 的极坐标方程为
θρcos 4=
5ΛΛ分
（II ）解方程组⎩⎨⎧==3
sin cos 4θρθ
ρ 有3cos sin 4=θθ
得 232sin =θ ∴ )(62Z k k ∈+=ππθ或)(3
2Z k k ∈+=π
πθ 当)(6
2Z k k ∈+
=π
πθ时，32=ρ，当)(3
2Z k k ∈+
=π
πθ时，2=ρ
∴
1C 和2C 交点的极坐标))(3
22()6
232(Z k k B k A ∈+
+
π
ππ
π，、，
8ΛΛ分
∴ 36
sin 23221sin 21=⋅⋅=∠=
∆π
AOB BO AO S AOB 故AOB ∆的面积3. 10ΛΛ分
11 23解: （I ）Θ0,0,0>>>c b a ，()c b x a x x f +-++=2
()()()c b a c b x a x c b x a x x f ++=+--+≥+-++=∴222 4ΛΛ分 ()x f Θ的最小值为4
42=++∴c b a 5ΛΛ分
(II)()()222
222222421243349143=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++c b a c b a c b a Θ 13
849222≥++∴c b a 10ΛΛ分。