坐标系与参数方程、不等式选讲-每日一题2018年高考数学(理)二轮复习

坐标系与参数方程、不等式选讲高考频度：★★★★★难易程度：★★★☆☆
（2017新课标III理）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为
2+,
,
x t
y kt
=
⎧
⎨
=
⎩
（t为参数），直线l2的参数方
程为
2,
,
x
m
m
m
y
k
=-+
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
（为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设()
3
:cos sin20
lρθθ
+-=，M为l3与C的交点，求M的极径.
【参考答案】（1）()
2240
x y y
-=≠；（2）5.
（2）C的极坐标方程为()()
222
cos sin402π,π
ρθθθθ
-=<<≠.
联立
()
()
222
cos sin4,
cos sin20
ρθθ
ρθθ
⎧-=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
得()
cos sin2cos sin
θθθθ
-=+.
故
1
tan
3
θ=-，从而22
91
cos,sin
1010
θθ
==.
代入()
222
cos sin4
ρθθ
-=得25
ρ=，所以交点M5
【解题必备】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
1．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线l 过定点(1,0)P -，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 与曲线C ：22111cos 2θρ=-相交于A 、B 两点． （1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若32||2
AB =，求直线l 的方程. 2．选修4-5：不等式选讲
已知不等式|9||34|20x x +--+>的解集为7{|}2b x x a -
<<. （1）求,a b 的值；
（2）若2||||3
a x ax c
b ++≥恒成立，求
c 的取值范围.
1．【答案】（1）2
212
x y +=；（2）210x -+=或210x ++=. 【解析】（1）由222222221
1111cos cos 11222x y x θρρθρ=-⇒-=⇒+-=， 得2212x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为2
212
x y +=. （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩
（t 为参数）①， 将参数方程①代入椭圆的方程2
212
x y +=中，得22(1sin )2cos 10t t αα+--=， ∴224cos 4(1sin )0∆αα=++>，∴方程有两相异实数根1t 、2t （∵122101sin t t α
=-<+），
又1222cos 1sin t t αα+=+，12211sin t t α
=-+. ∴21222222cos 1832||||()41sin 1sin (1sin )2AB t t αααα-=-=-⨯==+++， 解得21sin 3
α=，即32sin tan 32αα=±⇒=±， 从而求出直线l 的方程为210x y -+=或210x y ++=．
（2）由2||||3
a x ax c
b ++≥恒成立，得4|||4|10x x
c ++≥恒成立， 又4|||4||4||4||44|||x x c x x c x x c c ++=-++≥-++=.
所以若4|||4|10x x c ++≥恒成立，则||1010c c ≥⇒≥或10c ≤-， 故c 的取值范围为[10,)(,10]+∞-∞-.。