四年级奥数讲义-第18讲 数数图形(二) 通用版
小学奥数教案-第18讲-重叠问题(教)
教师辅导讲义 学员编：年 级：四年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 教师： 授课主题第18讲-重叠问题 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：A B A B A B =+-，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类知识梳理1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．考点一：两量重叠问题例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ C BA【解析】如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小典例分析图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．A B【解析】如图，用长方形表示1~100的全部自然数，圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．÷⨯=由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？AC B【解析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．2、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？AC B【解析】因为403272>，所以必有人两项制作都完成了．+=，7255由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：全组人数4032=+-完成了两项制作的人数，即5572=-完成了两项制作的人数．所以，完成了两项制作的人数为：725517-=(人)．3、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参331，100610．根据包含排除法，能被中任一个整除的数有3320+、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于张板盖住的总面积是张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？5、四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】因423476+=，7663>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63=．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．（也可画图分析）1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315- 68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．(Summary-Embedded)——归纳总结容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
四年级奥数课后分层作业-第18讲 数数图形(二) 通用版
四年级奥数重点常考第十八讲数数图形（二）
分层作业
基础卷
1、数一数下图中有多少个正方形。
2、下图中有多少个长方形，其中有多少个正方形？
3、从北京到上海的某次列车中途要停靠10个站，北京站要为这次列车准备多少种不同的车票？有多少种不同的票价？
4、从大连到广州的航运线上，中途有8个停靠码头，若干艘客轮来回往返于大连与广州之间，航运公司共要为这条航运线准备多少种不同的船票？
5、求下图中所有线段长度的总和。
（单位：米）
6、一条线段上有10个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是5厘米，那么所有线段长度的总和是多少？
答案。
小学四年级奥数教学ppt：数数图形
练习2：：数一数下列各 图中分别有多少个正方形？ （每个小方格为边长是1的 小正方形）
【例题3】数一数下 图中有多少个正方形？ （其中每个小方格都 是边长为1个长度单位 的正方形）
练习3： 1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。
2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方 形？
【例题4】从广州到北京的某 次快车中途要停靠8个大站， 铁路局要为这次快车准备多少 种不同车的车票？这些车票中 有多少种不同的票价？
【思路导航】这道题是数线段的 方法在实际生活中的应用，连同 广州、北京在内，这条铁路上共 有10个站，共有1+2+3+…+9=45 条线段，因此要准备45种不同的 车票。由于这些车站之间的距离 各不相等，因此，有多少种不同 的车票，就有多少种不同的票价， 所以共有45种不同的票价。
【思路导航】要求图中的线 段长度总和，可以这样计算：
AB+AC+AD+AE+BC+BD+
BE+CD+CE+DE =1+（1+4）+（1+4+2）+（ 1+4+2+3）+4+（4+2）+（ 4+2+3）+2+（2+3）=352厘 米
从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中 长1厘米的基本线段（我们把不能再划分的线段称 为基本线段）出现了4次，长4厘米的线段出现了（ 3×2）次，长2厘米的线段出现了（2×3）次，长3 厘米的线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度 的总和还可以这样算：1×4+4×（3×2）+2×（2×3 ）+3×（1×4）
四年级奥数举一反三第十八周 数数图形(二)-名师推荐
第十八周数数图形（二）专题简析：在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。
例1：数一数下图中有多少个长方形？C D BA分析与解答：图中的AB 边上有线段1+2+3=6条，把AB 边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数练习一：数一数，下面各图中分别有几个长方形？(1)(2)(3)的正方形）分析与解答：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。
所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
练习二：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）(1)(2)(3)为1个长度单位的正方形）分析与解答：边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。
所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n ＋1)n练习三1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。
(1)(2)2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？(3)例4：从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？分析与解答：这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票。
(北师大版)四年级数学下册课件数图形的学问2
本节课我们来学习数图形中的学问， 同学们要开动脑筋，在数图形的过程 中总结规律，并且能够应用自己总结 的规律去解决新的问题。
先看上面 3＋2＋1＝6（个） 再看整个 3＋2＋1＝6（个） 6＋6＝12（个）
（3＋2＋1）×2＝12（个）
（3＋2＋1）×3＝18（个）
先看上面 3＋2＋1＝6（个） 再看下面 3＋2＋1＝6（个） 最后看整个 3＋2＋1＝6（个）
6＋6＋6＝18（个）
先看上面 3＋2＋1＝6（个）
再看左面 2＋1＝3（个） 6×3＝18（个）
上面基本长方形个数 乘
左侧基本长方形个数
多少条线段 4＋3＋2＋1＝10（个）
多少条线段 (4＋3＋2＋1)+(2+1)＝13（个）
本节课我们主要学习了数图形中的学 问，同学们掌握的怎么样？同学之间 互相讨论交流一下你找规律的方法， 看谁的方法最简单。
Hale Waihona Puke
小学数学奥数方法讲义之-图解法_通用版
小学数学奥数方法讲义之-图解法_通用版第十八讲图解法图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。
在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。
图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。
有时，作出了图形，答案便在图形中。
（一）示意图示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。
小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。
例1 妈妈给兄弟二人每人10个苹果，哥哥吃了8个，弟弟吃了5个。
谁剩下的苹果多？多几个？（适于四年级程度）解：作图18-1。
哥哥吃了8个后，剩下苹果：10-8=2（个）弟弟吃了5个后，剩下苹果：10-5=5（个）弟弟剩下的苹果比哥哥的多：5-2=3（个）答：弟弟剩下的苹果多，比哥哥的多3个。
例2 一桶煤油，倒出40％，还剩18升。
这桶煤油原来是多少升？（适于六年级程度）解：作图18-2。
从图中可看出，倒出40％后，还剩：1-40％=60％这60％是18升所对应的百分率，所以这桶油原来的升数是：18÷60％=30（升）例2 托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年82岁。
他在19世纪中度过的时间比在20世纪中度过的时间多62年。
问托尔斯泰生于哪一年？去世于哪一年？（适于四年级程度）解：作图18-5。
从图18-5可看出，他在20世纪度过的时间是：（82-62）÷2＝20÷2=10（年）由此看出，他死于1910年。
他出生的时间是：1910-82=1828（年）答略。
解：作图18-6。
综合算式：答略。
（三）思路图小学数学中的许多应用题，需要用综合法或分析法分析解答。
如果把思维的过程用文字图形表示出来，就有助于正确选择已知数量，提出中间问题，理清数量关系，从而顺利解题。
这种表示思维过程的图形就是思路图。
例题参见前面的分析法和综合法。
（四）正方形图借助正方形图解应用题，就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量，使应用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来，从而达到便于解题的目的。
四年级奥数-数数图形
数数图形1一、知识要点我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
二、精讲精练【例题1】数出下面图中有多少条线段。
【思路导航】要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。
从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。
因此，图中共有3+2+1=6条线段。
练习1：：数出下列图中有多少条线段。
（2）（3）【例题2】数一数下图中有多少个锐角。
【思路导航】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10（个）.练习2：：下列各图中各有多少个锐角？【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。
【思路导航】图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6个三角形。
练习3：：数一数下面图中各有多少个三角形。
【例题4】数一数下图中共有多少个三角形。
【思路导航】与前一个例子相比，图中多了一条线段EF，因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。
显然，以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个，所以图中共有6×2=12个三角形。
练习4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。
【例题5】数一数下图中有多少个长方形。
【思路导航】数长方形与数线段的方法类似。
四年级奥数题第18讲 方阵问题
第18讲方阵问题一、知识概要1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
2、方阵de基本特点是：方阵中,里一层总比外一层de一边少2个物体,里一层物体de个数一定比上一层物体总个数少8个。
3、实心方阵中,物体个数=最外层de一边个数×最外层一边de个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数4、空心方阵中物体de个数=（最外层一边个数—层数）×层数×45、去掉一行、一列de总人数=去掉de每边人数×2-1二、典型例题1、有一个正方形de稻田,四个角上都放1个稻草人,如果每边放5个,四边共放多少个稻草人？2、有一个正方形池塘,四个角上都栽1棵树,一共栽了28棵树,那么每边栽多少棵？3、同学们排成一个两层空心方阵,外层每边8人,这个方阵一共有多少人？4、把若干个棋子摆成一个三层de空心方阵,最外层每边12个棋子,求这个方阵共有多少个棋子？5、同学们在军训时排成了一个由204人组成de三层空心方阵,求最外面一层每边有多少人？6、某小学举行运动会,同学们排成正方形队列参加团体操表演。
如果在这个正方形队列中减少一行一列,则要减少15人,问参加团体操表演de有多少同学？7、在儿童公园de一次菊花展上,用120盆菊花摆成一个三层空心方阵,这个方阵最外层每边有多少盆花？8、一个中空方阵de队列,最外层每边18人,最内层每边10人。
这个队列共有多少人？9、用64枚棋子摆成一个两层中空方阵,如果想在外面再增加一层,问需要增加多少枚棋子？10、学校组织一次团体操表演,把男生排列成一个实心方阵,又在这个实心方阵四周站一排女生。
女生有72人参加表演,男生有多少人？三、针对练习1、在正方形de广场四周装彩灯,四个角上都装一盏,每边装25盏,问这个广场一共需装彩灯多少盏？2、小强用棋子排成了一个每边11枚de中空方阵,共2层,求这个方阵共用多少枚棋子？3、小刚在用棋子摆好de实心阵上又填了17枚棋子,使它de横竖各增加一排,成了大一点de实心方阵,求原来实心方阵有多少枚棋子？4、解放军进行排队表演,组成一个外层有48人,内层有16人de多层中空方阵,这个方阵有几层？一共有多少人？5、有一个用圆片摆成de两层中空方阵,外层每边有16个圆片,如果把内层de 圆片取出来,在外层再摆一层,变成一个新de中空方阵,应再增加多少圆片？6、用棋子摆成方阵,恰好每边24粒de实心方阵,若改为3层de空心方阵,它de 最外层每边应改放多少粒?7、有学生若干名,排成中实de方阵则多2人,若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人,问有学生多少人？8、仪仗队员组成两个实心方阵,甲方阵每边12人,后来两队合在一起排成一个中空方阵de丙方阵,丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多4人,又原来甲方阵de人正好填满丙方阵空心。
四年级奥数举一反三第十八周 数数图形(二)-名校密卷
第十八周数数图形（二）专题简析：在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。
例1：数一数下图中有多少个长方形？C D BA分析与解答：图中的AB 边上有线段1+2+3=6条，把AB 边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数练习一：数一数，下面各图中分别有几个长方形？(1)(2)(3)的正方形）分析与解答：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。
所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
练习二：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）(1)(2)(3)为1个长度单位的正方形）分析与解答：边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。
所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n ＋1)n练习三1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。
(1)(2)2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？(3)例4：从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？分析与解答：这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票。
小学奥数举一反三(四年级)全
（4）61－16
（5）95－59
2．找规律计算。
（1） 62+26=
（2） 87+78=
（3） 54+45=
【例题5】计算（1）26×11（2）38×11
【思路导航】一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积。（1） 26×11=2（2+6）6=286（2） 38×11=3（3+8）8=418
二、精讲精练
【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19
【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□）
（7）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21）
（8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□）
第2讲找规律（二）
一、知识要点
对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：
1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；
【例题2】一头象的重量等于4头牛的重量，一头牛的重量等于3匹小马的重量，一匹小马的重量等于3头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪的重量？
【思路导航】根据“一头象的重量等于4头牛的重量”与“一头牛的重量等于3匹小马的重量”可推出：“一头象的重量等于12匹小马的重量”，而“一匹小马的重量等于3头小猪的重量”，因此，一头象的重量等于36头小猪的重量。
四年级奥数举一反三第十八周 数数图形(二)-精华版
第十八周数数图形（二）专题简析：在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。
例1：数一数下图中有多少个长方形？C D BA分析与解答：图中的AB 边上有线段1+2+3=6条，把AB 边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数练习一：数一数，下面各图中分别有几个长方形？(1)(2)(3)的正方形）分析与解答：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。
所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
练习二：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）(1)(2)(3)为1个长度单位的正方形）分析与解答：边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。
所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n ＋1)n练习三1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。
(1)(2)2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？(3)例4：从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？分析与解答：这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票。
小学奥数：第18讲四年级数学图形的周长和面积教案 ;;
1、上节学习了几何计数问题，利用上节课学到的知识和技能解答下面题目：（1）数一数下图中，各有多少条线段？各有多少个三角形？（2）如下图数一数图中长方形的个数。
一、专题导入同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。
长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。
如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。
二、专题精讲【例1】有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
分析解答：根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。
因此，所求周长是18×4=72厘米。
【例2 】一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？分析解答：思路导航把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。
把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。
176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=88（厘米）。
【例3 】已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？分析解答：从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。
三条横着的线段和是（a＋b）×2，三条竖着的线段和是b×2。
所以，整个图形的周长是（a＋b）×2＋b×2，即2a＋4b。
【例4 】下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。
小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全
小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10讲变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算第二十一周速算与巧算（二）第二十二周平均数问题第二十三周定义新运算第二十四周差倍问题第二十五周和差问题第二十六周巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题第三十一周还原问题第三十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周应用题（四）第三十九周盈亏问题第四十周数学开放题第1讲找规律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
18数数图形二,四年级奥数,举一反三
【例题5】 求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）
可以这样计算：AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）
=52厘米
发基长如基现本4果本厘规线设线米律段线段的，）线段分算出段上 别式现出的 为中了现长4点a了次11数、（，厘为米3a×2的n、2，基）…本次a线，(n段长－2（厘1把)米。不的能线再段划出现分了的（线2×段3称）次为， 长以3上厘各米线的线段段长出度现的了总（和1×为4）L，次，所以，各线段长度的总和： 1那×么4+L4=×a（13××(2n）－+12)××（12+×a32）×+(3n×－（21)××42）+ =1×（5－1）+4×a（3×5－(n2）－×3)2×+23×+（…5+－a3(）n－×13+)3××1（×5－(n4）－×14)
=52厘米
分析发现，一般情况下，如果一个长方形的长被 分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都 是相等的）那么正方形的总数为：
mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.
练习3： 1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。
2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？
【例题4】
分析发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几 列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋ 2×2＋…＋n×n。