河北省石家庄市中考数学总复习第四章三角形第五节相似三角形同步训练

第五节相似三角形
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2021·石家庄裕华区一模)李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你
能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是( )
：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC.
求证：△ADE∽△DBF.
证明：①又∵DF∥AC，
②∵DE∥BC，
③∴∠A＝∠BDF，
④∴∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△DBF.
A．③②④① B ．②④①③
C．③①④② D ．②③④①
2．(2021·邢台宁晋质检)如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是( )
AOAB
B．AO·CO＝BO·DO
A.＝
DOCD
C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C
3．(2021·保定一模)如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，假设△ABC 的
面积与△A′B′C′的面积
比是16∶9，那么OA∶OA′为()
1
A．4∶3B．3∶4C
．9∶16D．16∶9
BD 4．(2021·随州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两局部，那么的值为()
AD
A．1 B.
2
2－1D.2＋1 C.
2
5．(2021·廊坊安次区二模)如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E.如果AE3AC ＝，那么等EC5AB
于()
3583
A.5
B.3
C.5
D.2
6．(2021·保定三模)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深
几何〞这是我国古代数学?九章算术?中的“井深几何〞问题，它的题意可由图中获得(单位：尺)，那么井
深为()
A．尺B．尺C．尺D．尺
7．(2021·临沂)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．标杆BE高m，测得AB＝m，BC＝
m，那么建筑物CD的高是()
A．m B．m C．m D．14m 8．(2021·原创)将一副三角尺按如下图的方式叠放在一起，那么△AEB与△CED的面积比为________．
2
9．(2021·易错)如图，E是矩形ABCD的CD边上一点，BF⊥AE于F，求证：△ABF∽△EAD.
(2021·原创)如图，在△ABC中，AC＝4，D为BC边上的一点，CD＝2，且△ADC与△ABD的面积比为1∶3.
(1)求证：△ADC∽△BAC；
当AB＝8时，求AD的长度．
(1)11．(2021·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
(2)求证：△BDE∽△CAD；
假设AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
3
1．(2021·哈尔滨)
如图，△ABC
中，点D 在BC 边上，连接 AD ，点G 在线段AD 上，GE ∥BD 且交AB 于点
E ，G
F ∥AC 且交CD 于点F ，那么以下结论一定正确的选项是 (
)
AB AG DF DG
A.AE ＝AD
B.
CF ＝AD
FG EG AE CF C.AC ＝
BD D. BE ＝DF
2．(2021·保定莲池区模拟 )如图，等边△ABC 中，AB ＝2，AD ⊥BC ，以AD 、CD 为邻边作矩形 ADCE ，将△ADC
绕点D 顺时针旋转一定的角度得到△ A ′DC ′，使点 A ′落在CE 上，连接AA ′，CC ′.
求AD 的长；
求证：△ADA ′∽△CDC ′；
求CC ′2
的值．
(1) 3．(2021·宁波)假设一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (2) △ABC 是比例三角形，AB ＝2，BC ＝3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；
(3) 如图①，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 平分∠ABC ，∠BAC ＝∠ADC.求证：△ABC 是比例三角形；
如图②，在(2)的条件下，当∠ADC ＝90°时，求
BD
的值．AC
4
参考答案
【根底训练】
1．∶3
9．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，
∴∠DAE＋∠BAF＝90°，
BF⊥AE，
∴∠BFA＝∠D＝90°，∠ABF＋∠BAF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
∴△ABF∽△EAD.
10．(1)证明：∵CD＝2，且△ADC与△ABD的面积比为 1∶3.
∴BD＝3DC＝6，
5
∴BC＝BD＋CD＝8，
∴在△ABC与△ACD中，BC∶AC＝AC∶CD＝2，∠BCA＝∠ACD.
∴△ADC∽△BAC.
解：∵△ADC∽△BAC，
AD DC
∴＝，
BA AC
又∵AB＝8，AC＝4，CD＝2，
2×8
∴AD＝4＝4.
11．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC.
∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠ADC＝90°.
∴△BDE∽△CAD.
解：∵BC＝10，AD为BC边上的中线，∴BD＝CD＝5，
∵AC＝AB＝13，∴由勾股定理可知AD＝
22
AC－CD＝12.
由(1)中△BDE∽△CAD可知：DE BD DE5＝，得＝，AD CA1213
60
故DE＝13.
【拔高训练】
1．D
2．解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1，∠B＝60°，
∴AD＝3BD＝ 3.
∵△A′DC′是由△ADC绕点D旋转得到的，
∴AD＝A′D，CD＝C′D，∠ADC＝∠A′DC′＝90°，
AD A′D
∴∠ADA′＝∠CDC′，＝，
CD C′D
∴△ADA′∽△CDC′.
∵△ADA′∽△CDC′，
AA′
＝AD
∴＝3.
CC′CD
212
即CC′＝AA′.
3
在Rt△A′DC中，A′D＝AD＝3，CD＝1，
6
∴A′C＝2.
∴A′E＝CE－A′C＝3－2，
在Rt△AEA′中，由勾股定理得
2222
＋(3－
2
6，AA′＝AE＋A′E＝12)＝6－2
26∴CC′＝2－3.
4 9
3．(1)解：3或2或 6.
证明：∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD.
又∵∠BAC＝∠ADC，
∴△ABC∽△DCA，
BC CA2
∴＝，即CA＝BC·AD.
CA AD
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴CA2＝BC·AB，
∴△ABC是比例三角形．
解：如解图，过点A作AH⊥BD于点H.
∵AB＝AD，
1
BH＝2BD.
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝90°.
∴∠BHA＝∠BCD＝90°.
又∵∠ABH＝∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
AB BH
∴＝，
DB BC
∴AB·BC＝DB·BH，
12
∴AB·BC＝2BD.
7
2
又∵AB·BC＝AC，
1
2 2
2BD＝AC，
BD
＝2.
AC
8。