八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题专项训练学能测试试题

八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题专项训练学能测试试题
一、选择题
1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接CD ，过E 作EF ∥DC 交BC 的延长线于F ，若四边形DCFE 的周长为18cm ，AC 的长6cm ，则AD 的长为（ ）
A ．13cm
B ．12cm
C ．5cm
D ．8cm
2．如图，90MON ∠=︒边长为2的等边三角形ABC 的顶点A B 、分别在边OM ，ON 上当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）
A ．2.4
B ．5
C ．31+
D ．52
3．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为( )
A ．3
B ．32
C ．2或3
D ．3或32
4．如图，边长为1的正方形EFGH 在边长为4的正方形ABCD 所在平面上移动，始终保持EF//AB ，CK=1．线段KG 的中点为M ，DH 的中点为N ，则线段MN 的长为 ( ).
A ．26
B ．17
C ．172
D ．262
5．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分∠DCH ；③线段BF 的取值范围为3≤BF ≤4；④当点H 与点A 重合时，EF=25．其中正确的结论是（）
A ．①②③④
B ．①④
C ．①②④
D ．①③④
6．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠后点D 与B 重合.若原矩形的长宽之比为3:1,则AE BF
的值为（ ）
A ．12
B ．13
C ．
34
D ．45 7．如图，在平行四边形ABCD 中，272BC AB B C
E AB =∠=︒⊥，，于E
F ，为AD 的中点，则AEF ∠的大小是( )
A ．54︒
B ．60︒
C ．66︒
D ．72︒
8．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，2BD AD =，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点，下列结论：
①BE AC ⊥；②EG GF =；③EFG GBE ∆∆≌；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形．
其中正确的是( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②⑤
D ．②③⑤
9．如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE ＝AD ，DF ＝BD ，连接BF 分别交CD ，CE 于H ，G 下列结论：①EC≠2HG ；②∠GDH ＝∠GHD ；③图中有8个等腰三角形；④CDG DHF S S △△＝．其中正确的结论有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，正方形ABCD 的边长为2，Q 为CD 边上（异于C ，D ） 的一个动点，AQ 交BD 于点M ．过M 作MN ⊥AQ 交BC 于点N ，作NP ⊥BD 于点P ，连接NQ ，下面结论：①AM=MN ；②MP=2；③△CNQ 的周长为3；④BD+2BP=2BM ，其中一定成立的是（ ）
A ．①②③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．①④
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC = ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
12．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是_____．
14．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；
②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_____．
15．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AD、BC上．将该纸片沿EF折叠，使点A的对应点G落在边DC上，折痕EF与AG交于点Q，点K为GH的中点，则随着折痕EF位置的变化，△GQK周长的最小值为____．
16．菱形ABCD的周长为24，∠ABC=60°，以AB为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE，连结AC，CE，则△ACE的面积为___________.
17．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．
18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的延长线上一点，且DE＝DC，点P为边AD上一动点，且PC⊥PG，PG＝PC，点F为EG的中点．当点P从D点运动到A点时，则CF的最小值为___________
19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12
AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．
20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F
（1）求证：四边形ADCF 是菱形
（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积
22．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？
（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
23．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．
（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；
（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；
（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．
24．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ． （1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由．
（2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长．
25．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：
如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：
（动手操作，归纳发现）
（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想
（推理探索，尝试证明）
为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：
（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G
则90CGB ∠=
90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，
AB BC =，90ABC ∠=
则90CBG ABO ∠+∠=
GCB ABO ∴∠=∠
在CBE ∆与ABE ∆中，
（类比探究，拓展延伸）
（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．
26．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．
（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；
（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；
（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）
27．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．
（1）求证：四边形BFEP 为菱形；
（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动．
①当点Q 与点C 重合时， （如图2），求菱形BFEP 的边长；
②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．
28．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．
（1）证明：AG BE =；
（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于53吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．
29．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．
（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD +=．
30．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．
（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；
（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；
（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由三角形中位线定理推知ED ∥FC ，2DE=BC ，然后结合已知条件“EF ∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE 为平行四边形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC ，即可得出四边形DCFE 的周长=AB+BC ，故BC=18-AB ，然后根据勾股定理即可求得．
【详解】
∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，
∴ED 是Rt △ABC 的中位线，
∴ED ∥FC ．BC ＝2DE ，
又 EF ∥DC ，
∴四边形CDEF 是平行四边形；
∴DC ＝EF ，
∵DC 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，
∴AB ＝2DC ，
∴四边形DCFE 的周长＝AB +BC ，
∵四边形DCFE 的周长为18cm ，AC 的长6cm ，
∴BC ＝18﹣AB ，
∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，
∴AB 2＝BC 2+AC 2，即AB 2＝（18﹣AB ）2+62，
解得：AB ＝10cm ，
∴AD ＝5cm ，
故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
如图，取AB 的中点D ．连接CD ．根据三角形的边角关系得到OC 小于等于OD+DC ，只有当O 、D 及C 共线时，OC 取得最大值，最大值为OD+CD ，由等边三角形的边长为2，根据D 为AB 中点，得到BD 为1，根据三线合一得到CD 垂直于AB ，在直角三角形BCD 中，根据勾股定理求出CD 的长，在直角三角形AOB 中，OD 为斜边AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD 等于AB 的一半，由AB 的长求出OD 的长，进而求出DC+OD ，即为OC 的最大值．
【详解】
解：如图，取AB 的中点D ，连接CD ．
∵△ABC 是等边三角形，且边长是2，∴BC=AB=2，
∵点D 是AB 边中点，
∴BD=12
AB=1， ∴22BC BD -2221-33
连接OD ，OC ，有OC≤OD+DC ，
当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD+CD ，
由（1）得，CD=3，
又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=1
2
AB=1，
∴OD+CD=1+3，即OC的最大值为1+3．
故选：C．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴22
43
，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得x=3
2
，
∴BE=3
2
；
②当点B′落在AD边上时，如图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为3
2
或3．
故选D．
【点睛】
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，重新画出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED于O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在Rt△MON中利用勾股定理可求出MN．
【详解】
如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，
∴EO=OD=5
2
，MO=1
2
（EF+CD）=
5
2
，
∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN=ND=2，
∴ON=OD-ND=5
2
-2=
1
2
，
在Rt△MON中，MN2=MO2+ON2，
即MN=
22
5126 22
⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
故选D．
【点睛】
本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识，属于综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，一定要将位置特殊化，这样不影响结果且解题过程简单，要学会在以后的解题中利用这种思想．
5．D
解析：D
【分析】
①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，即可判断出②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，即可判断出
③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，即可判断出④正确．
【详解】
①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
②∵四边形CFHE是菱形，
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，故②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；
④如图，过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，2225
MF ME
+=
综上所述，结论正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点是解题关键．
6．D
解析：D
【分析】
根据折叠的性质得到ED′＝BE，∠D′EF＝∠BEF，根据平行线的性质得到∠D′EF＝
∠EFB，求得BE＝BF，设AD′＝BC′＝3x，AB＝x，根据勾股定理得到BE＝5
3
x，于是得
到结论．
【详解】
如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合，∴ED′＝BE，∠D′EF＝∠BEF，
∵AD′∥BC′，
∴∠D′EF＝∠EFB，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
∵原矩形的长宽之比为3：1，
∴设AD′＝BC′＝3x，AB＝x，
∴AE＝3x−ED′＝3x−BE，
∵AE2＋AB2＝BE2，
∴（3x−BE）2＋x2＝BE2，
解得：BE＝5
3 x，
∴BF＝BE＝5
3
x，AE＝
3x−BE=
4
3
x
∴
AE
BF
＝
4
3
3
5
x
x
=
4
5
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
过F作AB的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC＝2EG＝2FG，即△GEF、△
BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG＝∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的度数，由此得解．
【详解】
解：过F作FG∥AB交BC于G，连接EG，
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴FG∥AB∥CD，
∵FG∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AF＝BG，
又∵F为AD中点
∴G是BC的中点；
∵BC＝2AB，F为AD的中点，
∴BG＝AB＝FG＝AF，
∵在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
∴BG＝GE＝FG＝1
2 BC；
∴∠BEG＝∠B＝72°，
∴∠AEG＝∠AEF＋∠FEG＝180°﹣∠BEG＝108°，∵AE∥FG，
∴∠EFG＝∠AEF，
∵GE＝FG，
∴∠EFG＝∠FEG，
∴∠AEF＝∠FEG＝1
2
∠AEG＝54°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出辅助线是解决问题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
由平行四边形的性质可得OB＝BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由∠BAC≠30°可判断⑤错误．【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO＝DO＝1
2
BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，
又∵BD＝2AD，
∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E 是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF＝1
2 CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE＝1
2
AB＝AG＝BG
∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，故②错误，∵BG＝EF，AB∥CD∥EF
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正确
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正确，若四边形BEFG是菱形
∴BE＝BG＝1
2 AB，
∴∠BAC＝30°
与题意不符合，故⑤错误
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
关键结合图形证明△CHG≌△EGD，即可逐项判断求解
【详解】
解：∵DF=BD，
∴∠DFB=∠DBF，
∵AD∥BC，DE=BC，
∴四边形DBCE是平行四边形，∠DFB=∠GBC，
∴∠DEC=∠DBC=45°，
∴∠DEC=2∠EFB，
∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，
∴CG=BC=DE，
∵DE=DC，
∴∠DEG=∠DCE，
∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，
∠DGE=180°-（∠BGD+∠EGF），
=180°-（∠BGD+∠BGC），
=180°-（180°-∠DCG）÷2，
=180°-（180°-45°）÷2，
=112.5°，
∴∠GHC=∠DGE，
∴△CHG≌△EGD，
∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，
∴∠GDH=90°-∠EDG，
∠GHD=∠BHC=90°-∠CGB ，
∴∠GDH=∠GHD
故②正确；
∴∠GDH=∠GHD
又∠EFB=22.5°,
∴∠DHG=∠GDH=67.5°
∴∠GDF=90°-∠GDH=22.5°=∠EFB,
∴DG=GF,
∴HG=DG=GF
∴HF=2HG,
显然CE≠HF=2HG,
故①正确；
∵△CHG ≌△EGD ，
∴CHG EGD S S ∆∆=
∴CHG DHG EGD DHG S S S S ∆∆∆∆+=+，
即CDG DHGE S S △四边形＝
而=EFG DHGE DHF S S S ∆+四边形△，
故CDG DHF S S ≠△△
故④不正确；
结合前面条件易知等腰三角形有△ABD ，△CDB ，△BDF ，△CDE ，△BCG ，△DGH ，△EGF ，△CDG ，△DGF 共9个，∴③错误；
故正确的有①②，有2个，
故选：B
【点睛】
本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
连接AC 交BD 于O ，作ME ⊥AB 于E ，MF ⊥BC 于F ，延长CB 到H ，使得BH=DQ ． ①正确．只要证明△AME ≌△NMF 即可；
②正确．只要证明△AOM ≌△MPN 即可；
③错误．只要证明∠ADQ ≌△ABH ，由此推出△ANQ ≌△ANH 即可；
④正确．只要证明△AME ≌△NMF ，证得四边形EMFB 是正方形即可解决问题；
【详解】
连接AC 交BD 于O ，作ME ⊥AB 于E ，MF ⊥BC 于F ，延长CB 到H ，使得BH=DQ ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，222，∠DBA=∠DBC=45°，∴ME=MF，
∵∠MEB=∠MFB=∠EBF=90°，
∴四边形EMFB是矩形，
∵ME=MF，
∴四边形EMFB是正方形，
∴∠EMF=∠AMN=90°，
∴∠AME=∠NMF，
∵∠AEM=∠MFN=90°，
∴△AME≌△NMF（ASA），
∴AM=MN，故①正确；
∵∠OAM+∠AMO=90°，∠AMO+∠NMP=90°，
∴∠AMO=∠MNP，
∵∠AOM=∠NPM=90°，
∴△AOM≌△MPN（AAS），
∴2，故②正确；
∵DQ=BH，AD=AB，∠ADQ=∠ABH=90°，
∴∠ADQ≌△ABH（SAS），
∴AQ=AH，∠QAD=∠BAH，
∴∠BAH+∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=90°，
∵AM=MN，∠AMN=90°，
∴∠MAN=45°，
∴∠NAQ=∠NAH=45°，
∴△ANQ≌△ANH（SAS），
∴NQ=NH=BN+BH=BN+DQ，
∴△CNQ的周长=CN+CQ+BN+DQ=4，故③错误；
∵BD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP，
∴BD+2BP=2BM，故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题
11．12或20
【分析】
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
CE AC AE，
(25)42
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
=-=-=,
BE AB AE543
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
(25)42
CE AC AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
-=-,
BE AB AE543
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．
12．25
【详解】
由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．连接DE，交AC于点P，连接BD．
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵AB=4，E是BC的中点，
∴CE=2，
在Rt△CDE中， DE=25．
考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．
13．(-10，3)
【解析】
试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得222
+=-，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）. x x
4(8)
故答案为：（-10，3）
14．①②③④
【分析】
①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE2
=，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；
②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和
△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE﹣AH=BC﹣CD，BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=2HE，判断出④正确；
⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．
【详解】
∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，
∴
AE =
． ∵
AD =，∴AE =AD ．
在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），
∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12
=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；
∵∠AHB 12
=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．
∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；
∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．
在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，
HE =DF ，故③正确；
由上述①、②、③可得CD =BE 、DF =EH =CE ，CF =CD ﹣DF ，∴BC ﹣CF =（CD +HE ）﹣（CD ﹣HE ）=2HE ，所以④正确；
∵AB =AH ，∠BAE =45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；
综上所述：结论正确的是①②③④．
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
15．
【分析】
取AB 的中点M ，连接DQ ，QM ，DM ．证明QM ＝QK ，QG ＝DQ ，求出DQ ＋QM 的最小值即可解决问题．
【详解】
取AB 的中点M ，连接DQ ，QM ，DM ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝6，∠DAM＝∠ADG＝90°，
∵AM＝BM＝3，
∴DM2222
63
AB AM
+=+5，
∵GK＝HK，AB，GH关于EF对称，
∴QM＝QK，
∵∠ADG＝90°，AQ＝QG，
∴DQ＝AQ＝QG，
∵△QGK的周长＝GK+QG+QJ＝3+DQ+QM．
又∵DQ+QM≥DM，
∴DQ+QM≥5
∴△QGK的周长的最小值为5，
故答案为5
【点睛】
本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中点M，确定QG＋QK＝QD＋QM，属于中考常考题型．
16．9或31)．
【分析】
分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．
【详解】
解：①如图1，延长EA交DC于点F，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
当EA⊥BA时，△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，
∴∠FAC=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠AFC=90°，
∴CF=1
2
AC=3，
则△ACE的面积为：1
2
AE×CF=
1
2
×6×3=9；
②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，
由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，
∴AF=1
2
AE，AF=CF=
2
2
AC=32
∵AB=BE=6，
∴AE=2
∴2236
AE AF
-=
∴EC=EF+FC=3632
则△ACE的面积为：1
2
EC×AF=
1
(3632)329(31)
2
⨯⨯=．
故答案为：9或31)．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
17．65
【分析】
先由正方形的性质得到∠ABF的角度，从而得到∠AEB的大小，再证△AEB≌△AED，得到∠AED的大小
【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD
∵∠FBC=20°，∴ABF=70°
∴在△ABE中，∠AEB=65°
在△ABE与△ADE中
45AB AD BAE EAD AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ABE≌△ADE
∴∠AED=∠AEB=65°
故答案为：65°
【点睛】
本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB 的大小.
18．22
【分析】
由正方形ABCD 的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42，当P 与D 重合时，PC=ED=PA ，即G 与A 重合，则EG 的中点为D ，即F 与D 重合，当点P 从D 点运动到A 点时，则点F 运动的路径为DF ，由D 是AE 的中点，F 是EG 的中点，得出DF 是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F 为正方形ABCD 的对角线的交点，CF ⊥DF ，此时CF 最小，此时CF=
12
AG=22． 【详解】
解：连接FD
∵正方形ABCD 的边长为4，
∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=2，
当P 与D 重合时，PC=ED=PA ，即G 与A 重合，
∴EG 的中点为D ，即F 与D 重合，
当点P 从D 点运动到A 点时，则点F 运动的轨迹为DF ，
∵D 是AE 的中点，F 是EG 的中点，
∴DF 是△EAG 的中位线，
∴DF ∥AG ，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F 为正方形ABCD 的对角线的交点，CF ⊥DF ，
此时CF 最小，
此时CF=12AG=
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
19．13
【分析】
根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ＝13
，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝
13
，再根据BE ＝2OB EC ． 【详解】
设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．
在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，
由勾股定理得：BC
∵点D 是BC 的中点，
∴AD ＝DC ＝DB ， ∵12•BC •AH ＝12
•AB •AC ，
∴AH ＝13
， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，
∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分线段BE ， ∵12AD •BO ＝12
BD •AH ，
∴OB ＝13
，
∴BE ＝2OB ， ∵DE ＝DB=CD ，
∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，
∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)(
)13-=51313． 故答案为：51313
． 【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．
202
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．
【详解】
由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，
∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，
∵四边形EFCB 为矩形，
∴FC=BE=1，
∵AB ∥FC ，
∴∠GFC=∠DAF=45°，
∴GC=FC=1，
∴22112FG GC FC =+=+=
2．
【点睛】
本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析（2）10
【分析】
（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平
行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到1
2AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。

（2）连接DF ，证明四边形ABDF 是平行四边形，得到5DF AB ==，利用菱形的求面积公式即可求解。

【详解】 （1）证明： ∵//BC AF ，∴AFE DBE ∠=∠，
∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴,AE DE BD CD ==，
在AFE ∆和DBE ∆中，
AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()AFE DBE AAS ∆≅∆，∴AF DB =．
∵DB DC =，∴AF CD =．
∵//BC AF ，∴四边形ADCF 是平行四边形，
∵090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，
∴12
AD DC BC ==
，∴四边形ADCF 是菱形； （2）如图，连接DF ，
∵//,AF BD AF BD =，
∴四边形ABDF 是平行四边形，∴5DF AB ==，
∵四边形ADCF 是菱形，∴11451022ADCF S AC DF =
=⨯⨯=菱形． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的应用，菱形的判定定理以及菱形的性质，熟练掌握菱形的的判定定理和性质是解此题的关键。

22．（1）
112；（2）112
或4；（3）四边形PBQD 不能成为菱形 【分析】
（1）由∠B=90°，AP ∥BQ ，由矩形的判定可知当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形； （2）由（1）可求得点P 、Q 与点A 、B 为顶点的四边形为平行四边形；然后由当PD=CQ 时，CDPQ 是平行四边形，求得t 的值；
（3）由PD ∥BQ ，当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形，先由PD=BQ 求出运动时间t 的值，再代入求BP ，发现BP≠PD ，判断此时四边形PBQD 不能成为菱形；设Q 点的速度改变为vcm/s 时，四边形PBQD 在时刻t 为菱形，根据PD=BQ=BP 列出关于v 、t 的方程组，解方程组即可求出点Q 的速度．
【详解】
（1）如图1，∵∠B=90°，AP ∥BQ ，
∴当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，
此时有t=22﹣3t ，解得t=
112． ∴当t=112
时，四边形ABQP 成为矩形； 故答案为
112； （2）如图1，当t=
112
时，四边形ABQP 成为矩形， 如图2，当PD=CQ 时，四边形CDPQ 是平行四边形，
则16﹣t=3t ，
解得：t=4， ∴当t=
112
或4时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形； 故答案为112
或4； （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：
∵PD ∥BQ ，
∴当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．
由PD=BQ ，得16﹣t=22﹣3t ，
解得：t=3，
当t=3时，PD=BQ=13，
，
∴四边形PBQD 不能成为菱形；
如果Q 点的速度改变为vcm/s 时，能够使四边形PBQD 在时刻ts 为菱形，
由题意，得162216t vt
t -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩62t v =⎧⎨=⎩． 故点Q 的速度为2cm/s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．
【点睛】
此题属于四边形的综合题．考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．
23．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出
BC∥FG，BC＝1
2
FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝1
2 FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝1
2 FG，。