湖南省名校联考联合体2020-2021学年高一上学期大联考数学试题

湖南省名校联考联合体2020-2021学年高一上学期大联考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．计算()tan 330
-=（ ）
A ．
3 B ．-
C D ．2．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B B =，则实数a 值集合为（ ）
A ．{}1-
B ．{2}
C ．{1,2}-
D ．{1,0,2}-
3．若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则（ ） A ．c a b <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．c b a <<
4．已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞
B ．[2,)+∞
C ．(5,)+∞
D ．[5,)+∞
5．如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数
()h f t =的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===
（其中
0.8662
≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A ．
3
π B ．
4
π C ．
2
π D ．
23
π 7．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上为减函数的是（ ） A ．cos y x =
B ．2sin y x =
C ．cos 2
x y =
D ．tan y x =
8．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范， 亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模
型0.540sin()13,02
()3
90e
14,2x x x f x x π-⎧
+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n (n N *∈)小时才可以驾车，则n 的值为（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）（ ）
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、多选题
9．给出下面四个结论﹐其中正确的是（ ） A ．设正实数a ，b 满足1a b +=，则
11
a b
+有最大值4 B ．命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是“2,210x R x x ∃∈-+<” C ．方程3log 30x x +-=的零点所在区间是()2,3
D ．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足()(2)f x f x =-+，当(0,2)x ∈时，2
()2f x x =，
则()2019f 2=-
10．已知243f
x =-，则下列结论错误的是（ ）
A ．()11f =
B ．2()21f x x =-
C ．()f x 是偶函数
D ．()f x 有唯一零点
11．给出下面四个结论，其中正确的是（ ） A ．函数()tan 2f x x ππ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
是奇函数，且()f x 的最小正周期为2 B ．函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2，当且仅当,2
k k Z π
ϕπ=
+∈时
()f x 为偶函数
C ．函数()tan()f x x =-的单调增区间是,,22k k k Z ππππ⎛⎫
-
++∈ ⎪⎝⎭
D ．函数1()sin 2
3f x x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭，[]2,2x ππ∈-的单调减区间是5,33ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
12．给出下面四个结论，其中不正确的是（ ）
A ．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，则若n 次（2n ≥）购买同一物品，用第一种策略比较经济
B ．若二次函数2()2441(0)f x ax x a =+-≠在区间()1,1-内恰有一个零点﹐则实数a 的取值范围是1
5,00,
824⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则32b a +
的取值范围是
)
⎡+∞⎣
D ．设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把ABC 沿AC 向ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB x =，则ADP △的面积是关于x
的函数且最大值为108-
三、填空题
13．若幂函数()y f x =的图象经过函数()()1
log 34
a g x x =++（0a >且1a ≠）图象上的定点A ，则12f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
__________. 14．计算：3sin 2
cos
2
5212log 253log 6434π
ππ
-⎛⎫
-+⨯+= ⎪
⎝⎭
__________.
15
．已知函数10
()2,0
x f x x x -<<=≥⎪⎩，若实数a 满足()()1f a f a =-，则
(())f f a -=__________.
16．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报
告生成平均耗时()t n （单位：小时）
大致服从的关系为0
()n N t n n N <=≥（0t ，0
N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为__________小时.
四、解答题
17．已知(
)
{
}
2
:()ln ,p t A t f x x tx t x R ∈==++∈，{}
:211q t B t a t a ∈=-<<+. （1）求集合A ；
（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.
18．已知3sin()cos cos 22()3sin()cos(2)sin tan()
2f ππθπθθθππθπθθπθ⎛⎫⎛⎫
-+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=⎛⎫
---+-- ⎪⎝⎭
.
（1）化简()f
θ；
（2）若()3f πθ-=-，求
3sin 2cos 5cos 2sin θθ
θθ-+的值；
（3）解关于θ
的不等式：2
f πθ⎛⎫
≥
⎪⎝⎭
19．已知函数()sin f x x =，()cos g x x =；用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()m x ={}min (),()f x g x . （1）求23y f x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
在区间,44ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭的值域； （2）若()f
θ，()g θ是关于x 的方程20()x ax a a R -+=∈的两个根，求a 的值；
（3）若[]0,2x π∈，且方程()m x b =有两个实根，求实数b 的取值范围. 20．已知函数1
2
1()log 1ax
f x x -=-的图象过点(3,1)A -. （1）当(1,)x ∈+∞时，
12
()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；
（2）若关于x 的方程
12
()log ()f x x k =+在[]2,3上有解，求k 的取值范围.
21．新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x （万元）在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时
具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x m
f x x
=-+（其中m 为参数）作为补助款发放方案.
（1）当使用参数13m =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①②的参数m 的取值范围.
22．已知函数3()()31
x x a
f x a R -=∈+.
（1）若函数()f x 为奇函数，求a 的值，并求此时函数()f x 的值域； （2）若存在120x x <<，使()()120f x f x +=，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．A 【分析】
利用正切的诱导公式即可求解. 【详解】
()()3tan 330tan 330360tan 30-=-+==
， 故选：A. 2．D 【分析】
A B B ⋂=,可以得到B A ⊆，求出集合A 的子集，这样就可以求出实数a 值集合.
【详解】
A B B B A ⋂=⇒⊆,{}
2,1A =-的子集有{}{}{},2,1,2,1φ--， 当B φ=时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=⇒=-；
当{}1B =时，122a a ⋅=⇒=；当{}2,1B =-，不存在a ，符合题意，实数a 值集合为
{}1,0,2-，故本题选D.
【点睛】
本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论. 3．A 【分析】
把对数写成指数25b =，根据指数函数的单调性可判断,,1a b 的大小，再根据指数函数的单调性得到1c <，从而可得三者的大小关系. 【详解】 因为2log 5b =， 则25b =， 故222b a >>， 故1b a >>；
又323c =<， 故1c <.
综上，b a c >>， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了指数对数互化，以及利用指数函数的单调性比较大小的问题.属于较易题. 4．D 【分析】
首先求出()f x 的定义域，然后求出2
()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.
【详解】
由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为2
45y x x =--在(5,)+∞上单调递增
所以2
()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增
所以5a ≥ 故选：D 【点睛】
在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 5．B 【分析】
根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】
函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，
则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键． 6．A 【分析】
由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196
sin 0.8667
θ==．于是可得θ，进而得出结论． 【详解】
解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=．
则 5.196sin 0.86662
θ=
=≈
． 3
π
θ∴=
，223
π
θ=
． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α． 则2αθπ+=，
3
π
α∴=
．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．B 【分析】
利用正弦、余弦函数、正切函数的周期公式求出周期可排除选项A 、D ，利用单调性可排除选项C ，进而可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：由于cos y x =的周期为2π，故选项A 不正确； 对于选项B ：由于2sin y x =以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上为减函数，故选项B 不正确；
对于选项C ：故由于cos 2
x
y =的周期为2412
π
π=，故选项C 不正确；
对于选项D ：由于tan y x =在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上为增函数，故选项D 不正确. 故选：B 8．B 【分析】
可结合分段函数建立不等式0.5901420x e -+<，利用指数不等式的求解即可 【详解】
由题意可知当酒精阈值低于20mg/100mL 时，才可以开车，则可结合分段函数建立不等式0.5901420x e -+<，即0.5115x
e -<
，两边取自然对数可得0.51ln ln 15
x
e -<，即0.5ln15x -<-，
则ln15 2.71
5.420.50.5
x >
≈=，取整数可得为6h 故选：B 【点睛】
关键点睛：利用指数函数的性质求解不等式即可，属于基础题 9．BCD 【分析】
A.根据1a b +=，利用“1”的代换转化为
112b a a b
a
b +=++，再利用基本不等式求解判断；B.利用含有一个量词的命题的否定的定义求解判断；C.设 ()3log 3f x x x =+-，利用零点存在定理判断；D. 由()(2)f x f x =-+，得到函数的周期为4，再结合()f x 在R 上是奇函数求解判断. 【详解】
A.因为1a b +=，所以
(
)1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭, 当且仅当1
a b b a a b
+=⎧⎪
⎨=⎪⎩,即11,22a b ==时取等号，所以有最小值4，故错误；
B.命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是“2,210x R x x ∃∈-+<”，故正确；
C. 设()3log 3f x x x =+-，因为()()332log 210,3log 30f f =-<=>，所以函数的零
点所在区间是()2,3，故正确；
D. 因为()(2)f x f x =-+，即(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数的周期为4，又
()f x 在R 上是奇函数，所以(2019)(20163)(3)(1)(1)2f f f f f =+==-=-=-，故正
确； 故选：BCD 10．BC 【分析】
利用换元法求得函数的解析式，再一一判断选项即可. 【详解】
t =，则2
()21(0)f t t t =-≥. 所以()11f =，即A 正确； 由2
()21(0)f x x x =-≥，即B 错；
因为定义域为()0,∞+不关于原点对称，故不是偶函数，C 错； 由()2()210,0f x x x =-=≥
得2
x =
，即D 正确 故选：BC 11．ABD 【分析】
()tan tan 22f x x x πππ⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭，可判断A 正确，利用正弦函数的知识可判断B 正确，
()tan()tan f x x x =-=-，该函数无单调增区间，可判断C 错误，
11()sin sin 232
3f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解出不等式1222232k x k πππ
ππ-≤-≤+，可判
断D 正确. 【详解】
因为()tan tan 22f x x x πππ⎛
⎫
=+=
⎪⎝
⎭
，所以其是奇函数，最小正周期为22
π
π=
故A 正确
函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2， 当且仅当,2
k k Z π
ϕπ=+∈时()2cos 2f x x =±为偶函数
故B 正确
()tan()tan f x x x =-=-，其单调递减区间为,,22k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
，无单调增区间
故C 错误
11()sin sin 232
3f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1222232k x k πππ
ππ-≤-≤+
解得5443
3k x k π
π
ππ-≤≤+
，与[]2,2x ππ∈-的公共部分为5,33ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
故D 正确 故选：ABD 12．BCD 【分析】
利用基本不等式可判断AD 的正误，对于B ，利用参变分离可得参数a 的取值范围，从而可判断B 的正误，利用对勾函数的性质可判断C 的正误. 【详解】
对于A ，设两次购买此种商品的单价分别为1p ，2p （都大于0）， 第二种方案每次购买这种物品数量为0x >； 第一种方案每次购买这种物品的钱数为0y >.可得： 第二种方案的平均价格为：
1212
22xp xp p p x ++=；
第一种方案的平均价格为1212
121
2
222p p p p y y
y p p p p +=
≤=≤
++
.
当且仅当12p p =时取等号，故A 正确.
对于B ，因为2
()2441(0)f x ax x a =+-≠在区间()1,1-内恰有一个零点，
所以224410ax x +-=在()1,1-内恰有一个根，且此根不为零， 故21424x
a x -=
在
()1,1-内恰有一个根，令()()1,11,t x
=∈-∞-⋃+∞， 故2244a t t =-在()(),11,-∞-+∞内恰有一个根，
24y t t =-的图象如图所示：
故()()
{}243,00,54a ∈--即a 的取值范围是151,00,8246⎛⎫⎛⎫⎧⎫
--⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭
，
故B 错误.
对于C ，由()lg f x x =，0a b <<，()() f a f b =知1ab =，且01a <<， 所以3232a b a a
+=+
， 又01a <<，函数3
()2g a a a
=+在()0,1上是减函数， ∴3
2(1)5a g a
+
>=，325b a +>，故C 错误. 对于D ，由题意可知，矩形()ABCD AB CD >的周长为24，AB x =，即12AD x =-， 因为0AB AD >>，故612x <<.
设PC a =，则DP x a =-，AP a =，而ADP △为直角三角形， ∴222(12)()x x a a -+-=， ∴7212a x x =+-，∴72
12DP x =-，其中612x <<， ∴1172(12)1222ADP
S
AD DP x x ⎛
⎫=
⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝
⎭
4321086108x x =-
-≤-
108=-
当且仅当
432
6x x
=，即x =时取等号，
即x =ADP △取最大面积为108-. 故选：BCD. 【点睛】 易错点睛：
（1）利用基本不等式求最值时，注意检验等号成立的条件；
（2）对于含参数的二次方程有解问题，利用参变分离求参数的取值范围，注意换元时变量范围的相应的变化. 13．4 【分析】
令31+=x 求出函数()g x 的图象所过定点A 的坐标，设()a
f x x =，将点A 的坐标代入函
数()f x 的解析式，求出a 的值，进而可求得12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值. 【详解】
令31+=x ，可得2x =-，则()112log 144a g -=+=，所以，点12,4A ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
设()a
f x x =，则()()1224
a
f -=-=
，解得2a =-，()2
f x x -∴=， 因此，2
11422f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故答案为：4. 14．1- 【分析】
利用指数、对数的运算性质以及特殊角的的三角函数值即可求解. 【详解】
3sin
sin sin 1222ππππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，cos 02π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
， 所以3sin 2
cos
2
5212log 253log 6434π
ππ
-⎛⎫-+⨯+ ⎪
⎝⎭
2
1
6
05212log 53log 234π-⎛⎫
=-+⨯+ ⎪⎝⎭
5222log 536log 2341=⨯-⨯+⨯+
2236341=⨯-⨯+⨯+1=-
故答案为：1-. 15
【分析】
根据函数定义，求出a 值后再计算函数值． 【详解】
根据题意，10()2,0
x f x x x -<<=≥⎪⎩，其定义域为(1,)-+∞，
则函数()f x 在(1,0)-和区间[)0,+∞上都是增函数， 当1a ≥时，有22(1)a a =-，无解； 当10a -<<时，无解； 若实数a 满足()()1f a f a =-， 必有110a -<-<且10a >>
，且有2a =
解得1
4
a =
，所以(())f f a -=
【点睛】
思路点睛：本题考查分段函数求函数值，解题时需根据自变量范围确定选用的函数解析式． 16．
64
7
【分析】
根据第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，求得()t n ，然后将49n =代入求解. 【详解】
由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，016N >，
16=，解得064t =.
8=，解得064N =，
所以64()8,64n t n n <=≥⎩
， 所以当49n =
时，64
(49)7
t =
=. 故答案为：
647
17．（1）{}
04t t <<；（2）1
2
a ≥
.
【分析】
（1）由题意，对于2
,0x x tx t ∀∈++>R 恒成立，利用判别式列出不等式，解出t 的取值
范围可得集合A ；
（2）由p 是q 的必要不充分条件，可得B A ，分B φ=和B φ≠两种情况，列出不等式解
出a 的取值范围． 【详解】
（1）由2
,0x x tx t ∀∈++>R 恒成立，
240t t ∆=-<，得到04t <<，
{}04A t t =<<，
（2）因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，
当B φ=，即211a a -≥+，所以2a ≥； 当B φ≠，即211a a -<+，所以2a <， 由210a -≥，得12
a ≥
， 由14a +≤得3a ≤，
所以
1
22
a ≤<， 综上所述：1
2
a ≥.
18．（1）tan θ-；（2）3-；（3）212,2,3k k k Z ⎛
⎤
-+-+∈ ⎥⎝⎦
. 【分析】
（1）运用诱导公式和同角三角函数关系进行化简，即可得到化简结果；（2）结合（1）得到的结果，将问题转化为齐次式进行求解，即可计算出结果；（3）结合（1）得到的结果，将其转化为不等式即可求出结果. 【详解】
（1）因为sin()sin θπθ-=-，cos(
)sin 2
π
θθ+=-，
3cos(
)sin 2
π
θθ-=-，sin()sin πθθ-=，
cos(2)cos()cos πθθθ--=-=，3sin()cos 2
π
θθ+=-， tan()tan()tan πθθθ--=-=-，
22(sin )(sin )(sin )sin ()tan sin sin cos (cos )(tan )cos cos f θθθθ
θθ
θθθθθθθ
---∴==-=---⋅
. （2）由（1）可知()tan ,f θθ=-
()()tan tan 3f πθπθθ∴-=--==-，
3sin 2cos 3tan 25cos 2sin 52tan θθθθθθ--∴
=
++3(3)2
52(3)
⨯--=+⨯-=11 （3）因为()tan f θθ=-，
(
)2
f πθ
∴≥
tan(
)2
πθ
-≥
整理可得tan()2πθ
≤ 则()2
2
3
k k k Z π
πθπ
ππ-
+<
≤-
+∈，
解得2
122()3
k k k Z θ-+<≤-
+∈， 故不等式的解集为212,2()3k k k Z ⎛
⎤
-+-+∈ ⎥⎝
⎦
. 【点睛】
关键点点睛：解答第一问时关键是需要熟练掌握诱导公式，对其进行化简，并能结合同角三角函数关系计算结果，解答第二问时可以将其转化为齐次式，即可计算出结果.
19．（1）11,2⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭；（2
）1-（3
）{}2,00,122⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【分析】 （1）根据,44x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭，得到52,366x πππ⎛⎫-∈-
⎪⎝
⎭，再利用正弦函数的性质求解. （2）由题意得到sin cos sin cos a
a
θθθθ+=⎧⎨⋅=⎩，再利用平方关系得到212a a +=求解.
（3）由最小函数得到()5sin ,0,,2445cos ,,44x x m x x x πππππ⎧⎡⎤⎡⎤∈⋃⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦
=⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩
，然后画出其图象，根据方程
()m x b =有两个实根，利用数形结合法求解.
【详解】 （1）因为,44x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
， 所以52,366x π
ππ⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭
， 所以1sin 2[1,)32x π⎛
⎫-∈- ⎪
⎝
⎭， 即23y f x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的值域是1[1,)2
-.
（2）因为()f
θ，()g θ是关于x 的方程20()x ax a a R -+=∈的两个根，
所以sin cos sin cos a
a
θθθθ+=⎧⎨
⋅=⎩，且240a a ->，
所以222sin 2sin cos co s a θθθθ+⋅+=， 即212a a +=，
解得1a =
1a =+.
（3）由题意得：()5sin ,0,,2445cos ,,44x x m x x x πππππ⎧⎡⎤⎡⎤∈⋃⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦
=⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩
，其图象如图所示：
因为方程()m x b =有两个实根， 由图象知：实数b
的取值范围是{}20,122⎛⎫
⎛⎫
-
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【点睛】
方法点睛：函数零点或方程根的个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用． 20．（1）1m ≥-；（2）11k -≤≤. 【分析】
（1）代入即可求出函数()f x ，化简不等式，即可求出结果. （2）由1
21()log 1
x f x x +=-在[]2,3上是增函数，
12
()log ()g x x k =+在[]2,3上是减函数，
结合函数图象，列不等式组即可得到结果. 【详解】
（1）由题可知1
2
13(3)log 131a
f -==--， 所以
1322
a
-=，1a =-， 所以1
2
1()log 1x
f x x +=-.
当()1,x ∈+∞时，
12
()log (1)f x x m +-<恒成立，
即1122
1log log (1)1x x m x ++-<-， ∴12log (1)x m +<在(1,)+∞恒成立，
当(1,)x ∈+∞时，1122
log (1)log 21=+<=-y x ∴1m ≥-，即实数m 的取值范围是1m ≥-.
（2）令12111x u x x +=
=+--，在[]2,3上单调递减， 又1log 2
y u =单调递减. 所以1
21()log 1x f x x +=-在[]2,3上是增函数， 12
()log ()g x x k =+在[]2,3上是减函数，
∴只需要(2)(2)(3)(3)f g f g ≤⎧⎨≥⎩
， 即可保证关于x 的方程
12()log ()f x x k =+在[]2,3上有解，下解此不等式组. 代入函数解析式得11221
12
2log 3log (2)log 2log (3)k k ≤+⎧⎪⎨≥+⎪⎩，解得11k -≤≤， 即当11k -≤≤时关于x 的方程
12
()log ()f x x k =+在[]2,3上有解. 【点睛】
方法点睛：方程在区间上有解问题，结合函数图象列不等式组求解，是常用的方法.本题考查了计算能力和数形结合思想，属于一般题目.
21．（1）不满足条件；答案见解析；（2）[]4,12-.
【分析】
（1）当13m =，求得()'0f x >，得到()f x 在[]4,8x ∈为增函数，又由(4)2f <，即可得到答案； （2）求得22
4'()4x m f x x +=，分类讨论求得函数的单调性，得到4m ≥-，再由不等式
44x m x
+≤在[]4,8上恒成立，求得12m ≤，即可求解. 【详解】
（1）当13m =，函数()1344x f x x
=-+，可得()211304'f x x =+>， 所以()f x 在[]4,8x ∈为增函数满足条件①； 又因为71(4)2442
f =<=⨯，所以当13m =时不满足条件②. 综上可得，当使用参数13m =时不满足条件；
（2）由函数()44x m f x x =-+，可得22214'()44m x m f x x x
+=+=， 所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件①，
当0m <时，由()'0f x =，可得x =
当)
x ⎡∈+∞⎣时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，
所以4≤，解得40m -≤<，
综上可得，4m ≥-， 由条件②可知，()2
x f x ≥，即不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立， 等价于22114(8)1644
m x x x ≤-+=--+. 当4x =时，21(8)164y x =--+取最小值12，所以12m ≤， 综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.
【点睛】
本题主要考查函数的实际应用，以及导数在函数的中的应用，其中解答中正确理解题意，结合导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
22．（1）1a =，(1,1)-；（2）
133
a <<. 【分析】
（1）利用(0)0f =可求1a =，分离常数后可求函数的值域.
（2）由题设可得故()f x 在()0,∞+上的取值集合与()f x -在(),0-∞的取值集合有交集，考虑它们无公共元素时实数a 的取值范围，该范围在实数集上的补集即为所求的取值范围.
【详解】
（1）因为3()31
x x a f x -=+为奇函数，所以1(0)02a f -==，所以1a =， 又当1a =时，31()31x x f x -=+，此时()3131()3131
x x x x f x f x -----==-=-++， 满足奇函数的定义，故1a =符合. 此时312()13131
x x x f x -==-++， 又2231102()1(1,1)3131
x x x f x +>⇒<<⇒=-∈-++， 故函数()f x 的值域为(1,1)-.
（2）3111()13131
x x x a a f x +--+==-++. ①当10a +≤时，()1f a ≥，故不成立；
②当10a +>即1a ≥-时，
因为存在120x x <<，使()()120f x f x +=，
故()f x 在()0,∞+上的取值集合与()f x -在(),0-∞的取值集合有交集，
因为()f x 在R 上为增函数，故()f x 在()0,∞+上的取值区间为1,12a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ()f x 在(),0-∞上的取值区间为1,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 故()f x -在(),0-∞上的取值区间为1,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 若区间1,2a a -⎛⎫
⎪⎝⎭与1,12a -⎛⎫ ⎪⎝⎭无公共元素， 则12a a -≤或112a -≥，也就是13
a ≤或3a ≥， 故区间1,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,12
a -⎛⎫ ⎪⎝⎭有公共元素时，必有133a <<.
综上，1
3 3
a
<<.
【点睛】
方法点睛：
（1）含参数的奇函数或偶函数，利用赋值法求出参数值后应加以检验；
（2）多元方程解的存在性问题，一般转化为不同函数在对应范围中的值域的关系，注意合理转化.。