第三章立体的投影

一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
12
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。
• 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
s
1 素线法
m 2 纬圆法
31
例 BAC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W投影
s'
a' d' (e')
b'(c')
c
e
sa
bd
s"
(a")
e"
d"
c"
b"
分析
BAC不通过锥顶， 故为曲线
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
32
圆球
O
球面
形成
圆绕其直径旋转 而成
O 轴线 圆球表面无直线！
作业
3-2（1）（2）
36
3.2.2 平面与曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
37
截交线的性质：
• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形。
38
二、求平面与曲面立体的截交线的一般步骤
线后再取局部。
19
20
例:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
5‫׳‬ 6‫׳‬
7‫׳‬
1‫ ׳‬2‫׳‬
3‫ ׳‬4‫׳‬
3‫״‬
1‫ ״‬2‫״‬
5‫״‬
7‫״‬
4‫״‬
作图方法:
1 求棱线与截平面 的共有点 6‫ ״‬2 连线
3 根据可见性处理轮廓线
5 7
6
3 1
2 4
21
22
例 补全俯视图和左视图的投影
1”、2”、3”。
3 1s
2
(3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。
(4) 补全棱线的投影。
平面与三棱锥相交
15
例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4)2 3
1
4 2 ●
●
●
● 3
4 ●
3
1
●
●
2●
★ 空间分析 ★几交★截求个线截左平棱截投的交视面面形交线图影与相状在上线分体交？俯的的析？形、 ★ 分析棱线状的？投影
Ⅰ
正垂线
Ⅲ
正平线
49
50
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线. 作图: 1 求特殊点。
最高点 最低点 2 求一般点。 3 连线。
51
52
㈢ 平面与球体相交
平面与圆球相交，截交线的形状都是 圆，但根据截平面与投影面的相对位置 不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆 或积聚成一条直线。
k'
(k")
b' c' a"(c") b"
c
s nk
b
10
截交线概念
截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一
部分。
• 截平面 —— 用以截切物体的平面。 • 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 • 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形
成的平面。 讨论的问题：截交线的分析和作图 。
11
3.1.2 平面与平面立体相交
b'
(c'')
b'' 故ADC为曲线
(c') d'
(d'')
作图
①找特殊点
c
②求H投影
③求W投影
d 外形轮廓线上的 ④光滑连接曲线
a
点是曲线投影的
b
虚、实分界点
28
圆锥体
S
锥顶 圆锥面
形成
方式一: 圆沿与其垂直的 直线拉伸形成。拉伸过程 中其直径均匀变化
方式二:直角三角形绕其 直角边旋转而成
轴线
底面
找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接 各点。
注意分析平面体的棱线和回转体轮廓 素线的投影。
59
⒊ 当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。
⒋ 求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。
圆球面的形成
33
圆球的投影
O
V
W
a'
c"
O
外形轮廓线投
b
影的对应关系
球面投影可见性判断
A---正平圆 B---水平圆 C---侧平圆 34
圆球表面取点取线(纬圆法)
例 圆球表面一点N，已知n′，求n ，n"
O N
n'
（m'）
(n" )
m"
O
点N在球面的 一水平纬圆上
（m）
n
M在左下后球表面上 35
43
例2、 补画被挖切后立体的投影 。
分 析： 该立体是在圆柱
筒的上部开出一个方槽后 形成的 。构成方槽的平 面为垂直于轴线的水平P 和两个平行于轴线的侧平 面Q 。它们与圆柱体和孔 的表面都有交线，平面P 与圆柱的交线为圆弧，平 面Q与圆柱的交线为直线， 平面Ｐ和Q彼此相交于直 线段。
平面与圆柱相交
确定截交线 的投影特性
14
例、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的
水平投影和侧面投影。
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
具体步骤如下：
(1) 求Pv与s’a’、s’b’、 s’c’的交点1’、2’、3’为 截平面与各棱线的交点
1’
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
1”
(2) 根据线上取点的
a’
b’ c’ c” a” b” 方法，求出1、2、3和
到主、俯之间?
H、W投影(俯视图、左视图) — 宽相等(宽相等)
链接
5
主视图
左视图
高
宽
长 宽
俯视图
能否将左视图画 到主、俯之间?
错 误
6
在棱柱表面取点
例：棱柱表面上一点A，已知a′，求a、a"
A
a'
a"
基本方法
(b')
(b")
面内取点方法
(b)
(a)
注意分析点所在表面的位置
7
棱锥
锥顶
侧棱面
棱线
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
39
㈠ 平面与圆柱相交
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截 平面与圆柱轴线的相对位置
PV
PV PV
P
垂直 圆
P
P
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
40
例1、如图所示，圆柱被5”
4’
6” 4”
具体步骤由如于下平：面与圆柱的 轴线斜交，因此截交线为一
Ⅲ Ⅷ ⅠⅡ
41
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45° 平面与圆柱相交
=45°
42
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立 体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只 要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面 之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
16
棱线我法们采！用的是
哪种解题方法？
17
有多个截平面截同一个立体时截 交线的求法:
1 分别求出截平面截立体所得的截交线; 2 求出截平面相互之间的交线; 3 补全立体未被截切的能廓线。
18
例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2 1
2●
1●
注意： 要逐三个面截共平点面：分析和 绘制Ⅰ截、交Ⅱ线两。点当分平面别体只 有局同部时被位截于切三时个，先面假想 为整上体。被截切，求出截交
13
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
⒉ 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析
☆ 截平面与体的相对位置
确定截交 线的形状
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交 线，并连接成多边形。
底面 底边
棱锥的棱线相交于锥顶
8
棱锥的投影
s'
s"
VS W
a'
b' c' a"(c") b"
A
Ca
c
B
H
s
b
9
在棱锥表面取点取线
例 棱锥表面的折线MNK(mnk)求另二投影
S
s'
s"
n'
n"
N
M
m'
m"
A
C
BK
a'
分析 M连线SA
am
注意分N析 S点B、直线 如所何在在表K平面面的SB上可C取见点性？
60
例 : 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P 4≡5
2≡3≡6≡7
1≡8
8
7
5 6
3 4
1
2
5 7
8
6 3
4
Ⅴ
Ⅳ
2
Ⅶ Ⅵ
1 Ⅷ
Ⅲ Ⅱ
Ⅰ
截截特分投求检线交交性析影线截查的线？棱的交的截投线形投线交影的状影？
1’ 2’(3’)
4’(5’) 6’(7’)
1”
3”
2”
5”
4”
6”
7”
6 7
23
作业
3-1（1）（2）
24
3.2 圆柱体
O
曲面立体（回转体）
底面 圆柱面
形成
1 圆沿与其垂直 的直线拉伸形成
2 矩形绕其边旋
转形成
轴线
L
轴线
O
母线
素线
圆柱面的形成
25
圆柱体的投影
O
V
W
O
H
对V面的外 对W面的外 形轮廓线 形轮廓线
3’
7”
(7)’
椭（（圆2134））。再先将补截作这全交出些侧线适截点面的当交的投正数线投影面量上影中投的影重 3” 影的特依为一殊次转一般点光向直点。滑轮线。的廓，连线水接。平起投来影。与圆
2’
8” 2”
柱面的投影重影为圆。侧面
1’
1”
投影可根据圆柱表面取点的
方法求出。
8 76
ⅥⅤ
1
5
Ⅶ
Ⅳ
2
4
3 平面与圆柱相交
外形轮廓线投 影的对应关系
圆柱面投影 可见性判断
26
圆柱体表面取点取线
例 圆柱体表面一点M ，已知m′求m ，m"
O
V
W
m'
M
(n‘)
( m" )
(n“)
O
H
（n）
(m)
27
例 ADC位于圆柱体表面，已知a ′ c ′ d′，求acd、a ″ c
″ d″
分析
a'
a''
a ′ c ′ d′不平行轴线
第三章 立体的投影
1
1. 基本概念
单一的几何体称为基本体。如：棱 柱、棱锥、圆柱、圆锥、球、环等。
基本体是构成形体的基本单元， 在几何造型中又称为基本体素。
2
基本体的分类
表面仅由平面围成的 基本体 平面体
表面包含曲面的 基本体 曲面体
基本体的投影
构成基本体的所有表面以及形成该 形体的特征线（轴线）投影的总和
规定 ：可见轮廓画成粗实线，不可见轮廓画成虚线，
轴线画成单点划线，粗实线与虚线重合时画成粗实线3
3.1 棱柱
平面立体
底边 上底面
棱线
侧棱面
下底面
棱柱的棱线相互平行
4
棱柱的投影
V W
主视图
左视图
高
长
宽
宽
H
俯视图
H、V投影(俯视图、主视图) — 长相等(长对正)
能否将左视图画
V、W投影(主视图、左视图) — 高相等(高平齐)
53
平面与球相交
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
水两平个面侧截平圆面球截的圆截球交的线 截的交投线影的，投在影俯，视在图侧上视为 图部上分为圆部弧分，圆在弧侧，视在图俯上 视积图聚上为积直聚线为。直线。
54
55
作业
3.3(1，2,3)
56
习题课
57
小结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。 求截交线的方法：棱线法 棱面法
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
Ⅰ
正垂线
正平线
平面与圆柱相交
48
具体步骤如下：
2’
5’6’
6”
3’4’
4”
7’8’
1’
8”
8 46
1
2
7 35
平面与圆锥相交
2” 5” 3”
7”
1”
（1）先作出截交线上的特殊点。 （2）再作一般点。 （3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影。 （4）补全侧面转向轮廓线。
Ⅱ Ⅳ
过圆锥面上任一点可作 一条直线通过锥顶、亦 可在圆锥面上作一圆
L
圆锥面的形成
29
圆锥体的投影
s'
s"
S
V
W
H
对V面的外 对W面的外 形轮廓线 形轮廓线
外形轮廓线投
s
影的对应关系
圆锥面投影 可见性判断
30
圆锥体表面取点取线
例 圆锥体表面一点M，已知m，求m′，m"
S
s'
s"
V
W
M
m'
( m")
H 如何在曲面内取点？ 辅助线如何作？
θ PV α
α
θ= 90° 过锥顶
圆
两相交直线
θ＞α 椭圆
θ=α θ= 0°＜α
抛物线
双曲线
47
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的 另外两个投影。
此种截交线为一 椭圆。由于圆锥前后对称， 故椭圆也前后对称。椭圆的 长轴为截平面与圆锥前后对 称面的交线——正平线，椭 圆的短轴是垂直与长轴的正 垂线。
44
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
平面与圆柱相交