第1节 椭圆及其标准方程1

第1节椭圆及其标准方程
撰写：刘一博审核：冬焱
三点剖析：
一、教学大纲及考试大纲要求：
1. 理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念
2. 熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程
3. 能由椭圆定义推导椭圆的方程
4. 能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；
5. 学会用待定系数法与定义法求曲线的方程
6. 掌握转移法（代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与解决椭圆有关问题
二、重点与难点
1．重点是椭圆的定义和标准方程；用待定系数法与定义法求曲线的方程运用中间变量法求动点的轨迹
2．椭圆标准方程的推导; 待定系数法运用中间变量法求动点的轨迹
三、本节知识理解
1.学法点拨
1．认真理解和掌握好有关平行、垂直、夹角、距离等基础知识、基本方法及基本问题．2．认真掌握有关对称的四种基本类型问题的解法．即：1°点关于点的对称问题；2°直线关于点的对称问题；3°点关于直线的对称问题；4°直线关于直线的对称问题．
3．在由两直线的位置关系确定有关字母的值或讨论直线Ax+By+C=0中各系数间的关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想．
4．平面解析几何的核心是坐标法。

它需要运用运动变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此解析几何问题无论从知识上还是研究方法上都要注意与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系，本部分内容在这方面体现的也很明显．
5．两条直线的位置关系是解析几何的基础。

同时本部分内容所涉及的“数形结合”对称”化归”等方法也是解析几何的重要思想方法．因此对于本部分内容要切实学好、学透、用活．6．在历年的高考试题中，本部分内容也是常考问题的热点之一。

多以选择题、填空题形式出现，也与圆锥曲线内容及代数有关知识结合在一起命题，成为试卷中的中等题和难题
3.要点诠释
精题精讲
例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离
之和等于10；
(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).
(4)与椭圆22
6x5y120
+=有相同焦点，且过点（
2
3
-,
2
5
）
解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
)0
(>
>b
a
9
4
5
4
,5
8
2,
10
2
2
2
2
2
2=
-
=
-
=
∴
=
=
∴
=
=
c
a
b
c
a
c
a
所以所求椭圆标准方程为1
9
25
2
2
=
+
y
x
选题意图：该题训练焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，考查c
b
a,
,关系掌握情况. 解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：
)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
∵10
)3
5(
)3
5(
22
2=
+
-
+
+
+
=
a，2c=6.
∴3
,5=
=c
a
∴16
3
52
2
2
2
2=
-
=
-
=c
a
b
∴所求椭圆的方程为：1
16
25
2
2
=
+
y
x
.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
x
a
y
.
∴.
144
2
2
2=
-
=c
a
b
∴所求椭圆方程为：1
144
169
2
2
=
+
x
y
⑵因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
122
22=+b
x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，
22)225()23(2++-=a ＋22)22
5
()23(-+-
102
11023+=
102= 10=∴a 又2=c
6410222=-=-=∴c a b
所以所求标准方程为
16
102
2=+x y 另法：∵ 42
2
2
2
-=-=a c a b
∴可设所求方程14
2
2
22=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程
点评：题（１）根据定义求若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；
题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程
例2求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).
(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.
(3)已知椭圆经过两点（)5,3()2
5
,23与-
，求椭圆的标准方程 选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.
解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为：
)0(122
22>>=+b a b
y a x ∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)
∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14a 11010
22
22
2222b b a b a 故所求椭圆的标准方程为14
22
=+y x （２）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为：
)0(12
2
22>>=+b a b x a y ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴362
2
2
=-=c a b .
∴所求椭圆的标准方程是
136
1002
2=+x y . (3)解：设椭圆的标准方程),0,0(12
2n m n m n
y m x ≠>>=+ 则有 ⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1)25()23(2
222
n m
n
m ，解得 10,6==n m 所以，所求椭圆的标准方程为
110
62
2=+y x 说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点 横坐标(或纵坐标)实际即为a 与b 的值.
(2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远 或最近.
例3已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的 周长等于16，求顶点A 的轨迹方程
坐标
解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角
系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10 再根据椭圆定义得4,3,5===b c a 所以顶点A 的轨迹方程为
116
252
2=+y x （y ≠0）
（特别强调检验) 因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件
例4如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ˊ，求线段PP ˊ的中点M 的轨迹（若M 分 PP ˊ之比为
2
1
，求点M 的轨迹） ),(y x ，
解：（1）当M 是线段PP ˊ的中点时，设动点M 的坐标为则P 的坐标为)2,(y x
因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 4)2(2
2
=+y x ，即 14
22
=+y x 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是14
22
=+y x （2）当M 分 PP ˊ之比为
21时，设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)2
3
,(y x 因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 4)23(22
=+y x ，即
116
942
2=+y x 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是116
942
2=+y x 例5已知x 轴上的一定点A （1,0），Q 为椭圆
14
22
=+y x
上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程 解：设动点M 的坐标为),(y x ，则Q 的坐标为)2,12(y x -
因为点Q 为椭圆14
22
=+y x 上的点， 所以有
1)2(4
)12(22
=+-y x ，即14)21(22=+-y x 所以点M 的轨迹方程是14)2
1(2
2=+-y x
例6长度为5的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM 2=，求点M 的轨迹方程
解：设动点M 的坐标为),(y x ，则A 的坐标为)0,35(x B 的坐标为)2
5
,0(y
因为2||=AB ， 所以有 4)25()35(22=+y x ，即
44
259252
2=+y x 所以点M 的轨迹方程是44
259252
2=+y x
例7（1）已知定圆05562=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程
（2）已知两圆22212C x 4y 169C y 9:()-+=+=2
和：(x+4)，
动圆在圆1C 的内部且和圆1C 内切，和圆2C 相外切，求动圆圆心的轨迹方程。

分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，用数学符号表示此结论：
MP MQ -=8
上式可以变形为8=+MP MQ ，又因为
86<=PQ ，所以圆心M 的轨迹是以P ，Q 为焦
点的椭
圆
解 已知圆可化为：()64322
=+-y x
圆心Q(3，0)，8=r ，所以P 在定圆内设动圆圆心为),(y x M ，则MP 为半径又圆M 和圆Q 内切，所以MP MQ -=8，
即 8=+MP MQ ，故M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆，且PQ 中点为原点，所以82=a ，
72=b ，故动圆圆心M 的轨迹方程是：17
162
2=+y x
例8.点P 是椭圆9
252
2y x +=1上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积等于8，求点P 的坐标.
【解】 设点P 的坐标为(x ,y ), ∵c 2=a 2－b 2=25－9=16,∴2c =8.
∵S 2
1F F P ∆=8,∴
2
1
³8³|y |=8,∴y =±2，
把y =±2代入方程：9252
2y x +=1， 并解出x 得：x =±535
.
∴点P 的坐标为(535，2)、(535，－2)、(－535，2)、(－53
5
，－2).
例9.已知椭圆的焦点是F 1（－1，0）、F 2（1，0），P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜
的等差中项.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2.
【解】 (1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜
∴2a ＝４，又2c =2,∴b ＝3
∴椭圆的方程为3
42
2y x +＝1. （2）设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ
由正弦定理得：
)
60sin(120sin sin 1221θθ-︒=
︒
=
PF PF F F
由等比定理得：)
60sin(120sin sin 2
121θθ
-︒+︒+=
PF PF F F ∴
)60sin(2
3
4sin 2θθ
-︒+=,整理得：5sin θ＝3（1＋cos θ）
∴53cos 1sin =+θθ故532tan =θ,tan F 1PF 2＝tan θ＝
113525
3153
2=-⋅
. 例10.若一个动点P (x ,y )到两个定点A （－1，0），A ′（1，0）的距离的和为定值m ，试求P 点的轨迹方程.
【解】 ∵｜P A ｜+｜P A ′｜=m ,｜AA ′｜=2,｜P A ｜+｜P A ′｜≥｜AA ′｜， ∴m ≥2.
（1）当m =2时，P 点的轨迹就是线段AA ′. ∴其方程为y =0(－1≤x ≤1).
(2)当m ＞2时，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以A 、A ′为焦点的椭圆. ∵2c =2,2a =m ,
∴a =2
m ,c =1,b 2=a 2－c 2=42
m －1
∴点P 的轨迹方程为422
m x +1
4
22-m
y =1.
基础达标
1.椭圆2x 2+3y 2=12的两焦点之间的距离是（ ） A.210
B.10
C.2
D.22
【解析】 把椭圆的方程写成标准形式4
62
2y x +=1,则c 2=6－4=2,∴2c =22. 【答案】 D
2.椭圆4
2
2y m x +=1的焦距等于2，则m 的值为（ ） A.5或3 B.8 C.5 D.16
【解析】 当焦点在x 轴上时，c 2=m －4，即1=m －4,∴m =5.当焦点在y 轴上时，c 2=4－m ，即1=4－m ,∴m =3.
【答案】 A
3.若△ABC 的两个顶点坐标A （－4，0）、B （4，0），△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹
方程为（ ）
A.9
252
2y x +=1
B.9
252
2x y +=1(y ≠0)
C. 9162
2y x +=1(y ≠0) D. 9
2522y y +=1(y ≠0) 【解析】 ∵｜AB ｜=8,∴｜CA ｜+｜CB ｜=10,∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆去掉与焦点所在直线的交点（∵C 与A 、B 不共线），并且2a =10,2c =8,∴b =3.∴顶点C 的轨迹方程为9
252
2y x +=1(y ≠0). 【答案】 D
4.过点（－3，2）且与4
92
2y x +=1有相同焦点的椭圆的方程是（ ） A.101522y x +=1 B.10022522y x +=1 C.151022y x +=1 D.225
10022
y x +=1 【解析】 ∵c 2
=9－4=5,∴设椭圆的方程为5
2222-+a y a x =1,
∵点（－3,2）在椭圆上，∴54
922-+a a =1,a 2=15,
∴所求椭圆的方程为：10
1522y x +=1. 【答案】 A
5.若α∈(0,2
π
)，方程x 2sin α+y 2
cos α=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是（ ） A.(0,
4
π
)
B.(0,
4
π
) C.(
4π,
2
π
) D.［
4π,
2
π
)
【解析】 ∵椭圆的焦点在y 轴上，∴sin α＞cos α, ∵α∈(0,
2
π
),∴
4
π
＜α＜
2
π
.
【答案】 C
6.若方程ax 2＋by 2＝c （ab ≠0，c ＞0）表示焦点在x 轴上的椭圆，则（ ） A.a ＞b ＞0
B.a ＞0,b ＞0
C.b ＞a ＞0
D.
c
a
＞c b 【解析】 将原方程整理成标准形式b
c y a c x 2
2+
=1 则应满足a
c
＞b c ＞0，又c ＞0，
∴b ＞a ＞0. 【答案】 C
7.已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是（ ）
A.4x 2+y 2
=1
B.x 2
+4
12
y =1
C.4
2x +y 2=1
D.x 2
+4
2
y =1
【解析】 设点M 的坐标为(x ,y )，点P 的坐标为(x 0,y 0)，则x =2
x ,y =y 0. ∵P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴x 02+y 02=1. ①
将x 0=2x ,y 0=y 代入方程①得：4x 2
+y 2
=1,即4
12x +y 2
=1.
∴点M 的轨迹是一个椭圆４x 2＋y 2＝1. 【答案】 A
8.△ABC 两个顶点的坐标分别是B （6，0）和C （－6，0），另两边AB 、AC 的斜率的积是－9
4
，则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A.812x +362
y =1(y ≠±6) B.812y +162x =1(y ≠±6) C.162x +36
2y =1(x ≠±6)
D.362x +16
2y =1(x ≠±6) 【解析】 设顶点A （x ,y ),则
9466-=+⋅-x y x y , ∴顶点A 的轨迹方程为362x +16
2
y =1(x ≠±6).
【答案】 D 9.已知A （0，－1）、B （0，1）两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是（ ）
A.4
2x +32y =1(x ≠±2)
B.42y +32x =1(y ≠±2)
C.4
2x +32y =1(x ≠0)
D.42y +3
2x =1(y ≠0)
【解析】 ∵2a +2c =6,c =1,∴a =2,b 2=3.
∵C 点不在y 轴上，∴C 点的轨迹方程为42y +3
2
x =1(y ≠±2).
【答案】 B
10.若圆x 2+y 2=9上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的
4
1
，则所得曲线的方程是（ ） A.92x +162y =1
B.92x +1442
y =1 C.92x +9
16y 2=1
D.9
2x +92y =1
【解析】 圆横坐标不变，纵坐标缩短为原来的41后，所得曲线为椭圆，且a =3,b =4
3
,焦点在x
轴上，∴所得曲线的方程为92x +9
16y 2
=1.
【答案】 C 11.已知椭圆124
492
2=+y x 上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2连线的夹角为直角，则
|PF 1|²|PF 2|= .
【解析】两焦点的坐标分别为F 1（-5，0）、F 2（5，0），由PF 1⊥PF 2得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=100.而|PF 1|+|PF 2|=14，∴(|PF 1|+|PF 2|)2=196，100+2|PF 1|²|PF 2|=196，|PF 1|²|PF 2|=48.
【答案】48
12.若线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，|AB|=60，点M 是AB 上一点，且|AM|=36，则点M 的轨迹方程是 .
【解析】设A （x 0，0）、B （0，y 0）、M （x ，y ），则x 02
+y 02
=3600，x 0=
25x ，y 0=3
5y. ∴425x 2+925y 2=3600，即
1576
12962
2=+x y . 【答案】
1576
12962
2=+x y 13.已知动圆C 和定圆C 1：x 2+(y-4)2=64内切而和定圆C 2：x 2+(y+4)2=4外切，设C （x ，y ），则25x 2+9y 2= .
【解析】∵圆C 与圆C 1内切，圆C 与圆C 2外切，∴|CC 1|=8-r ，|CC 2|=2+r. ∴|CC 1|+|CC 2|=10(>|C 1C 2|=8).∴动点C 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆. ∵C 1（0，4）、C 2（0，-4），a=5，∴b 2=25-16=9.
∴动圆圆心C （x ，y ）满足
125
92
2=+y x .∴25x 2+9y 2=225. 【答案】225
14.已知F 1、F 2是平面α内的定点，并且｜F 1F 2｜=2c （c ＞0）,M 是α内的动点，且｜MF 1｜+｜MF 2｜=2a ，判断动点M 的轨迹.
【解】 ①当2a ＞2c ，即a ＞c 时，动点M 到两定点的距离之和大于两定点之间的距离，由椭圆的定义知动点M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆.
②当2a =2c 即a =c 时，动点M 到两定点F 1、F 2的距离之和等于线段F 1F 2的长，所以点M 是线段F 1F 2上的点，所以动点M 的轨迹是线段F 1F 2.
综上所述，当a>c 时，动点的轨迹是椭圆，当a=c 时，动点的轨迹是线段.
15.设椭圆16
252
2y x +=1与坐标轴的交点分别为A 、B 、C 、D ，求四边形ABCD 的面积. 【解】 在方程16
252
2y x +=1中分别令x =0,y =0, 得椭圆与坐标轴的交点分别是(5,0)、(－5,0)、（0，4）、（0，－4）.
∴四边形ABCD 的面积为：4³
2
1
³5³4=40. 16.已知圆A ：x 2+(y+6)2=400，圆A 内一定点B （0，6），圆C 过B 点且与圆A 内切，求圆心C 的轨迹方程.
【解】设|CB|=r.∵圆C 与圆A 内切，圆A 的半径为20，∴两圆的圆心距|CA|=20-r ，|CA|+|CB|=20.∴点C 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆，2a=20，2c=|AB|=12.∴a=10，c=6.∴b=8.∵A\B 两点的
坐标分别为A （0，-6）、B （0，6），∴C 点的轨迹方程为
164
1002
2=+x y . 综合发展。