第10章 杆件稳定性

(F )
a
II (大 挠 度 理 论) II (小 挠 度 理 论)
Fcr
B I (稳 定)
D'
O
a)
b)
第10章
两条平衡路径Ⅰ 的交点为分支点 分支点 B 将 分支点。 两条平衡路径 Ⅰ和 Ⅱ 的交点为 分支点 。
10.1 稳定性概念
原始的平衡路径Ⅰ分为两段：前段 OB 上的点属于稳定 原始的平衡路径Ⅰ 分为两段： 平衡， 上的点属于不稳定平衡。 平衡 ， 而后段 BC 上的点属于不稳定平衡 。 具有这种特 征的失稳形式称为分支点失稳形式。 征的失稳形式称为 分支点失稳形式。 分支点失稳形式
θ
例10.2
第10章
考虑如图(a)的单自由度非完善体 考虑如图(a)的单自由度非完善体 (a)
F k
B B'
系，刚性杆AB有初倾角 ε 。 刚性杆 有初倾角
k
10.1 稳定性概念
l
l
A
A
（a） ）
（b） ）
解：在图(b)中，平衡条件(水平方向)为 在图(b)中 平衡条件(水平方向) (b)
F tan(θ + ε ) − kl[sin(θ + ε ) − sin ε ] = 0 sin ε F = kl cos(θ + ε )[1 − ] sin(θ + ε )
第10章
例10.5
10.1 稳定性概念
如图所示， 如图所示，由三根相同的刚性杆组
成的系统，一端作用外力 ,铰结处B、 都是弹性 成的系统，一端作用外力F,铰结处 、C都是弹性 系数为k的弹性支座。试用两种方法求临界载荷。 系数为 的弹性支座。试用两种方法求临界载荷。 的弹性支座
10.2 稳定性分析
O
∆
(a)
(b)
（c） ）
如图(a),(b)所示分别为具有初始曲率的压杆和承受偏心载荷 如图(a),(b)所示分别为具有初始曲率的压杆和承受偏心载荷 (a),(b) 的压杆，都称为压杆的非完善体系 其失稳与完善压杆不同。 非完善体系, 的压杆，都称为压杆的非完善体系, 其失稳与完善压杆不同。在 极值处，平衡路径由稳定转为不稳定，这种失稳形式称为极值点 极值处，平衡路径由稳定转为不稳定，这种失稳形式称为极值点 失稳。 失稳。
必定是稳定的
δu
(2)至少存在一个非零的 至少存在一个非零的 2 是不稳定平衡点。 是不稳定平衡点。 ( u ) ≥ 0 δu δ V
0
δ 2V ( u0 ) < 0 u = u0 ，使得 ，则 必定
δu
u = u0 (3)对于任意 ， 对于任意 ，并且至少有一个非零的 使 得不等式中的等号成立， 必定是系统的临界平衡点。 得不等式中的等号成立，则 必定是系统的临界平衡点。
F
FAx
FAy
F
FR1
FR 2
FDy
解:(1)静力法 :(1)静力法
F
是静定结构。假设 是静定结构。假设B,C的挠度分别为 的挠度分别为
y1 , y2 ,相应的支座反力为
FR1 = ky1 , FR 2 = ky2
梁弯曲应变能为由于f的作用其在微元上作用的弯矩为当挠度由变到时这一弯矩所做的功为对整根梁力f所做的功为第10章101稳定性概念102稳定性分析103压杆稳定外力势能总势能为可得平衡方程由变分引理可得103能量法最有价值的地方是便于使用近似方法基本思想是把泛函式106中的自变函数v用一插值函数代替
第10章 杆件稳定性 章
现在按小挠度理论分析。 现在按小挠度理论分析。将平衡方程中位移分量 θ 按小量线 性化处理。代入方程(a)得 性化处理。代入方程(a)得 (a)
sin θ ≈ θ
两个平衡态为
,
cos θ ≈ 1
(b)
θ = 0,
F = kl
B Ⅰ ( kl ) A O Ⅱ C
前者时原始平衡状态，后者是新的平衡状态。 前者时原始平衡状态，后者是新的平衡状态。如图所示
第10章
例10.4
F
B
用能量法计算临界载荷。 用能量法计算临界载荷。
F
B′
10.1 稳定性概念
λ
10.2 稳定性分析
F
l
l
θ
A
A′
k/ l
Ⅰ
Ⅱ
θ
M A = kθ
解： A点弹簧的弹性势能为 点弹簧的弹性势能为
V1 =
角度时， 当AB转过 θ 角度时，外力 F 沿x方向 转过 方向 移动了 λ = l (1 − cos θ ) ≈ 1 lθ 2
A′
k/ l
Ⅰ
Ⅱ
θ
M A = kθ
AB上作用两个主动力(偶):B点的力 和A点的弹簧反力 M 上作用两个主动力( 点的力F和 点的弹簧反力 上作用两个主动力 A F 是主要力，M A = kθ 是次要力。由平衡可得 是主要力， 是次要力。
Flθ − M A = 0
即
( Fl − k )θ = 0
从而， 从而， θ 为原始路径Ⅰ 为新平衡路径Ⅱ = 0 为原始路径Ⅰ， F = k / l 为新平衡路径Ⅱ，其 交点为临界载荷
δW2 = Flθ δθ = δ( Flθ 2 ) / 2
由外力势能的定义可得
1 V2 = −W2 = − Flθ 2 2
第10章
计算外力势能有两种方法： 计算外力势能有两种方法：
10.1 稳定性概念
(1)将外力对应的广义位移用系统的广义位移 (1)将外力对应的广义位移用系统的广义位移
10.2 稳定性分析
(a) (b)
曲线画在图(c) (c)上 对于不同的 ε ，F − θ 曲线画在图(c)上。 dF =0 , 求 解得 dθ
sin(θ + ε ) = sin ε
(b)得到极值载荷为 代入 (b)得到极值载荷为
1 3
Fcr = kl (1 − sin ε )
2 3
3 2
初倾角 ε 越大，临界载荷 F 就越小。 越大， 就越小。
例10.1
第10章
如图所示为一刚性压杆(不变形) 如图所示为一刚性压杆(不变形)，承受
为铰支座， 中心压力为 F ，底端 A 为铰支座，顶端 B 有弹簧
10.1 稳定性概念
的水平弹簧支承。 系数为 k 的水平弹簧支承。求 F −θ 曲线及临界载 荷。
F k
B
F B
不稳定) I(不稳定)
l
θ
A
A (kl )
10.1 稳定性概念
压杆单纯受压， 当 F < Fcr = π 2 EI / l 2 时，压杆单纯受压，不发 生弯曲。 生弯曲。 当 。 为 F > Fcr 时，有两个可能平衡点 C 和 D。 C为
不稳定的平衡点。 是一稳定平衡点 是一稳定平衡点。 不稳定的平衡点。D是一稳定平衡点。
F A C I (不 稳 定) D B
Fcr = k / l 。
第10章
10.2.2 能量法
稳定性问题的出现是由于整个结构总势能的 正定性破坏所造成的， 正定性破坏所造成的，所以只要讨论正定性破坏
10.1 稳定性概念
10.2 稳定性分析
的条件，就可得所需的临界载荷。 的条件，就可得所需的临界载荷。 (1)从 (1)从 δV = δ 2V = 0 ，或 δV = 0 有非零解 存在可以得到临界载荷的值。 存在可以得到临界载荷的值。 (2)一般考虑小应变，大变形问题。 (2)一般考虑小应变，大变形问题。所以应变 一般考虑小应变 能可以按原来的公式计算， 能可以按原来的公式计算，外力势能则要按变形 后的位置计算。 后的位置计算。
cr
现用小挠度理论。 现用小挠度理论。设 从而式(b) (b)得 从而式(b)得
θ +ε
]
1
， (c)
F = kl[1 −
ε θ +ε
作为渐近线， 对于所有的 ε ，上述的 F − θ 曲线均是以 F = kl 作为渐近线，曲线无 极值。 极值。
第10章
10.2
10.1 稳定性概念 10.2 稳定性分析
常见的失稳的例子
F A F
A
B F
B
(a)细长杆受压 细长杆受压
(b)板条或工字梁弯曲 板条或工字梁弯曲
(c)承受静水压力的圆拱 (c)承受静水压力的圆拱
第10章
10.1 稳定性概念
10.1 稳定性概念
定义10.1 设结构处于某一平衡状态，受到微小扰动后稍 设结构处于某一平衡状态， 定义 微离开原平衡位置。则当扰动辙消时, 微离开原平衡位置。则当扰动辙消时 如果结构能回到原来 位置，称为稳定平衡状态 稳定平衡状态。 位置，称为稳定平衡状态。 如果结构继续偏离，不能回到原来位置，则称为不稳定 如果结构继续偏离，不能回到原来位置，则称为不稳定 平衡状态。 平衡状态。 介于稳定平衡与不稳定平衡之间的过渡平衡，称为临界 介于稳定平衡与不稳定平衡之间的过渡平衡，称为临界 平衡状态，简称临界状态。 平衡状态，简称临界状态。 临界状态
表示出来，然后与外力直接相乘加负号。 表示出来，然后与外力直接相乘加负号。
(2)将外力表示成与系统广义位移向对应的广 (2)将外力表示成与系统广义位移向对应的广 义力，然后让其直接在系统的广义位移上做功。 义力，然后让其直接在系统的广义位移上做功。
这两种方法得到的结果应当是一致的。 这两种方法得到的结果应当是一致的。
F = kl cos θ
是新的平衡路径(Ⅱ)， 是新的平衡路径(Ⅱ)， (Ⅱ)
A (kl )
II(不稳定) II(不稳定)
Fcr = kl
O
C
θ
分支点A将原始平衡路径Ⅰ分成两段：前段 上的点属 分支点 将原始平衡路径Ⅰ分成两段：前段OA上的点属 将原始平衡路径 于稳定平衡，后段 属于不稳定平衡 属于不稳定平衡。 于稳定平衡，后段AB属于不稳定平衡。新的平衡路径 Ⅱ上，也属于不稳定平衡。 也属于不稳定平衡。
第10章
例10.3
10.1 稳定性概念
如图所示， 为刚性压杆， 如图所示，AB 为刚性压杆，
为弹性支撑， 底端 A 为弹性支撑，其转动的刚度系数 为 k ,求临界载荷 Fcr 。
λ
10.2 稳定性分析
F
B
F
B′
l
θ
F
l
A
A′
k/ l
Ⅰ
MA = kθ
Ⅱ
θ
（a）
（b）
（c）
F
F
B′
解：
B
λ
F
l
l
θ
A
II(不稳定) II(不稳定)
O
C
θ
解：现考虑倾斜位置是否还存在新的平衡状态。写出水平 现考虑倾斜位置是否还存在新的平衡状态。 的平衡条件
( F − kl cosθ )sin θ = 0 (a)
方程有两个解
B
F
θ =0
为原始平衡状态(Ⅰ),另一解为 为原始平衡状态(Ⅰ),另一解为 (Ⅰ),
不稳定) I(不稳定)
为保守系统的总势能， 判断定理 10.1 设 V = V ( u)为保守系统的总势能，u 是结构 的 u = u0 δV ( u0 ) = 0 位移函数， δu ≠ 0 位移函数，则其平衡点δ 2V ( u 必定满足 u = u ，并且 )>0
0
0
(1)对于任意 对于任意 平衡点。 平衡点。
,
，则
第10章
10.2.1 静力法
10.1 稳定性概念
静力法是针对变形后的结构新位置写
10.2 稳定性分析
出的平衡方程，应用小挠度理论， 出的平衡方程，应用小挠度理论，在平衡 方程中要考虑主要力因几何位置的变化而 引起的小量变化。 引起的小量变化。 静力法的要点是在原始平衡路径Ⅰ 静力法的要点是在原始平衡路径Ⅰ外 寻找新的平衡路径Ⅱ 寻找新的平衡路径Ⅱ，以确定两者的交叉 点。
判断定理10.2 对于一个保守系统来说，平衡点稳定的充要条 对于一个保守系统来说， 判断定理 件是使得总势能取严格最小值。 件是使得总势能取严格最小值。
结构失稳的两种基本形式：分支点失稳和极值失稳。 结构失稳的两种基本形式：分支点失稳和极值失稳。
第10章
10.1 稳定性概念
10.1.1 分支点失稳
稳定性分析方法
确定临界载荷的基本方法： 确定临界载荷的基本方法： (1)根据临界状态的静力特征而提出的方法， (1)根据临界状态的静力特征而提出的方法， 根据临界状态的静力特征而提出的方法 称为静力法 静力法。 称为静力法。 (2)根据临界状态的能量特征而提出的方法， (2)根据临界状态的能量特征而提出的方法， 根据临界状态的能量特征而提出的方法 称为能量法 能量法。 称为能量法。
1 2 k势能为
V2 = − Flθ 2 / 2
总势能为
V = (k − Fl )θ 2 / 2
由 δV = 0 可得
(k − Fl )θ = 0
从其非零解条件可得
Fcr = k / l 对外力F势能 可用另一方法计算。 对外力 势能 V 2 可用另一方法计算。由于系统的广义位移 为 θ ，所以当 θ 增加到 θ + δθ 时，F 所做的功为
F A C I ( 不 稳 定) D B
(F )
a
II (大 挠 度 理 论) II (小 挠 度 理 论)
Fcr
B I (稳 定)
D'
O
a)
b)
第10章
10.1.2
F
F
极值点失稳
10.1 稳定性概念
F
Fcr
′ Fcr
B
(小挠度理论 挠度理论) 挠度理论
A
大挠度理论) 大挠度理论 C (大挠度理论
如图所示， 为简支杆的完善体系或理想体系。 如图所示，a为简支杆的完善体系或理想体系。
F A C I (不稳定) D B
(F )
a
II (大挠度理论)
Fcr
B I (稳定)
D' II (小挠度理论)
O
a)
b)
随着压力 F 的增加，则压力 F 和中点挠度 A 之 的增加，
第10章
间的关系如图b所示。 间的关系如图b所示。