离散数学考试模拟试题及详细参考答案共四套

离散数学考试模拟试题及详细参考答案共四套
a 离散模拟答案1
1命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）
1.用命题逻辑把下列命题符号化
a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

b)我今天进城，除非下雨。

c)仅当你走，我将留下。

2.用谓词逻辑把下列命题符号化
a)有些实数不是有理数
b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.
一、简答题（共6道题，共32分）
1.求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。

（5分）
2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）
a)x y(x+y=4)
b)y x (x+y=4)
3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。

（4分）
4.判断下面命题的真假，并说明原因。

（每小题2分，共4分）
a)（A B）－C=(A-B) (A-C)
b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|
5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）
a)A上有多少种不同的等价关系？
b)从A到A的不同双射函数有多少个？
6.设有偏序集，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、
下界集合、上确界、下确界，(5分)
d e
b c
图1
7.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R
×R,{o,1}N（写出即可）(6分)
二、证明题（共3小题，共计40分）
1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。

（每小题5分，共10分）
a)A→(B∧C),(E→F)→C, B→(A∧S)B→E
b)x(P(x)→Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)
2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠且B≠，关系R满足：<,>∈R，
当且仅当< x1, x2>∈R1且∈R2。

试证明：R是A×B上的等价关系。

（10分）
3.用伯恩斯坦定理证明（0,1]和(a,b)等势。

（10分）
4.设R是集合A上的等价关系，A的元素个数为n，R作为集合有s个元素，若A关于R的商集A/R有r
个元素，证明：rs≥n2。

（10分）
三、应用题（10分）
在一个道路上连接有8个城市，分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h。

城市之间的直接连接的道路是单向的，有a→b, a →c, b→g, g→b, c→f, f→e, b→d, d→f.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。

离散数学考试题答案
一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）
1.用命题逻辑把下列命题符号化
a)设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看
报”，命题符号化为：（P?Q）(P?R S)
b)设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题
符号化为：Q→P或P→Q
c)设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为：Q→P
2.用谓词逻辑把下列命题符号化
a)设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：
x(R(x) Q(x)) 或x(R(x) →Q(x))
b)设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：
x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1))))
c)设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号
化为：
F(f)??a(A(a)→?b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧?c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))
二、简答题（共6道题，共32分）
1.(P→(Q→R))(R→(Q→P))（P Q R）(P Q R)
(（P Q R）→(P Q R)) ∧ ((P Q R) →（P Q R）).
(（P∧Q∧R）(P Q R)) ∧ ((P∧Q∧R) （P Q R）)
(P Q R) ∧(P Q R) 这是主合取范式
公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为
（P∧Q∧R)（P∧Q∧R)（P∧Q∧R)（P∧Q∧R)（P∧Q∧R)（P∧Q∧R)
2.a) T b) F
3.x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x)) x(F(x)→G(x))→(yF(y)→zG(z))
x(F(x)→G(x))→y z(F(y)→G(z)) x y z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z)))
4.a) 真命题。

因为（A B）－C=（A B）~C=（A~C）（B~C）=（A-C）（B-C）
b) 真命题。

因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranf B,故命题成立。

5.a) 52 b) 5!=120
6.B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界
是g、下确界是b.
7.K[S]=n; K[P(S)]=; K[N]=0,K[N n]=0, K[P(N)]=; K[R]=, K=[R×R]= ,K[{0,1}N]=
三、证明题（共3小题，共计40分）
1.a) 证（1）B P(附加条件)
（2）B→(A∧S) P
(3) A∧S T(1)(2) I
(4) A T(3) I
(5) A→(B∧C) P
(6) B∧C T(4)(5) I
(7) C T(6) I
(8) (E→F)→ C P
(9) (E→F) T(7)(8) I
(10) E∧F T(9) E
(11) E T(10) I
(12) B→E CP
b) 证 (1) x R(x) P
(2) R(c) ES(1)
(3) x(Q(x)∨R(x)) P
(4) Q(c)∨R(c) US(3)
(5) Q(c) T(2)(4) I
(6) x(P(x)→Q(x)) P
(7) P(c)→Q(c) US(6)
(8) P(c) T(5)(7) I
(9) x P(x) EG(8)
2.证任取,
∈A×B x∈A y∈B∈R1∈R2<,>∈R，故R是自反的
<,>∈R∈R1∈R2∈R1∈R2<,>∈R.故R是对称的。

任取<,>,<,>∈R
<,>,<,>∈R∈R1∈R2∈R1∈R2(∈R1∈R1)(∈R2∈R2)
R1∈R2<,>∈R, 故R是传递的。

综上所述R是A×B上的等价关系。

3.证构造函数f：（0,1]→(a,b)，f(x)=,显然f是入射函数
构造函数g: (a,b)→（0,1]，,显然g是入射函数，
故（0,1]和(a,b)等势。

由于，所以
4.证设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,…,m r，由于一个划分对应一个等价关系，
m1+m2+…+m r=n，
由于（r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的
平方），所以，即
四、应用题（10分）
解把8个城市作为集合A的元素，即A={a,b,c,d,e,,f,g,h}，在A 上定义二元关系R，∈R当且仅当从x 到y有直接连接的道路，即R={,,,,,,,}
那么该问题即变为求R的传递闭包。

利用Warshal算法，求得t(R)=
那么从城市x出发能到达的城市为，
故有
离散考试模拟试题及答案2
1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则 A - B＝____________________; (A) - (B)＝
__________________________ .
2. 设有限集合A, |A| = n, 则|(A×A)| = __________________________.
3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.
4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________
__________________________________________________________.
5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A B＝_________________________; A B＝_________________________;A－B＝_____________________ .
7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________,
________________________, _______________________________.
8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，
_____________________________, __________________________.
9. 设集合A ＝{1,2,3,4}, A 上的关系R 1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R 1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R 1?R 2 =
________________________,R 2?R 1 =____________________________, R 12
=________________________.
10. 设有限集A, B ，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A ?B)| = _____________________________.
11 设A,B,R 是三个集合，其中R 是实数集，A = {x | -1≤x ≤1, x ∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x ∈R},则A-B = __________________________ ,
B-A = __________________________ , A ∩B = __________________________ , .
13. 设集合A ＝{2, 3, 4, 5, 6}，R 是A 上的整除，则R 以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.
14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G 的前束范式是__________________________ _____. 15.设G 是具有8个顶点的树，则G 中增加_________条边才能把G 变成完全图。

16. 设谓词的定义域为{a , b },将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是____________________________________________________________________ ______.
17. 设集合A ＝{1, 2, 3, 4}，A 上的二元关系R ＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S ＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。

则R ?S ＝_____________________________________________________, R 2＝______________________________________________________.
二、选择题
1 设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E 为全集，则下列命题正确的是( )。

(A){2}∈A (B){a}?A (C)??{{a}}?B ?E (D){{a},1,3,4}?B.
2 设集合A={1,2,3},A 上的关系R ＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，则R 不具备( ). (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)反对称性
3 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A 的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B 的( )。

(A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不对
4 下列语句中，( )是命题。

(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人
(C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？
5 设I 是如下一个解释：D ＝{a,b},
则在解释I 下取真值为1的公式是( ). (A)?x ?yP(x,y) (B)?x ?yP(x,y) (C)?xP(x,x) (D)?x ?yP(x,y).
6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3)
(D)(2,3,3,4,5,6).
7. 设G 、H 是一阶逻辑公式，P 是一个谓词，G ＝?xP(x), H ＝?xP(x),则一阶逻辑公式G →H 是( ). (A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.
8 设命题公式G ＝?(P →Q)，H ＝P →(Q →?P)，则G 与H 的关系是( )。

(A)G ?H (B)H ?G (C)G ＝H (D)以上都不是. 9 设A, B 为集合，当( )时A －B ＝B. (A)A ＝B (B)A ?B (C)B ?A (D)A ＝B ＝?.
10 设集合A = {1,2,3,4}, A 上的关系R ＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R 具有( )。

(A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对 11 下列关于集合的表示中正确的为( )。

(A){a}∈{a,b,c} (B){a}?{a,b,c} (C)?∈{a,b,c} (D){a,b}∈{a,b,c} 12 命题?xG(x)取真值1的充分必要条件是( ).
(A) 对任意x ，G(x)都取真值1. (B)有一个x 0，使G(x 0)取真值1.
(C)有某些x ，使G(x 0)取真值1. (D)以上答案都不对.
13. 设G 是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G 的边数是( ).
(A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条.
14. 设G 是5个顶点的完全图，则从G 中删去( )条边可以得到树.
(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.
1
2
3 4 5 6
15. 设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为( ).
(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.
三、计算证明题
1.设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R为整除关系。

(1)画出半序集(A,R)的哈斯图；
(2)写出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；
(3)写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。

2.设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的关系R＝{(x,y) | x, y∈A 且x ≥ y}, 求
(1)画出R的关系图；
(2)写出R的关系矩阵.
3.设R是实数集合，σ,τ,?是R上的三个映射，σ(x) = x+3, τ(x) = 2x, ?(x) ＝x/4,试求复合映射σ?τ，σ?σ, σ??,
τ，στ.
4. 设I是如下一个解释：D = {2, 3},
a b f (2) f (3) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 2) P(3, 3)
3 2 3 2 0 0 1 1
试求(1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
(2) ?x?y P (y, x).
5. 设集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R为A上整除关系。

(1)画出半序集(A,R)的哈斯图；
(2)写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；
(3)写出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.
6. 设命题公式G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)), 求G的主析取范式。

7. (9分)设一阶逻辑公式：G = (?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)，把G化成前束范式.
9. 设R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},
(1)求出r(R), s(R), t(R)；
(2)画出r(R), s(R), t(R)的关系图.
11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：
(1) G = (P∧Q)∨(?P∧Q∧R)
(2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))
13. 设R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的关系，其中R＝{(a, a),(a,
c),(b, c),(c, d)}, S＝{(a, b),(b,
c),(b, d),(d, d)}.
(1) 试写出R和S的关系矩阵；
(2) 计算R?S, R∪S, R－1, S－1?R－1.
四、证明题
1. 利用形式演绎法证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S。

2. 设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(B∪C).
3. (本题10分)利用形式演绎法证明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蕴涵A→D。

4. (本题10分)A, B为两个任意集合，求证：
A－(A∩B) = (A∪B)－B .
参考答案
一、填空题
1. {3}; {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2..
3.α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1),(b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}; α3, α
4.
4.(P∧?Q∧R).
5.12, 3.
6.{4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}.
7.自反性；对称性；传递性.
8.(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
9.{(1,3),(2,2),(3,1)}; {(2,4),(3,3),(4,2)}; {(2,2),(3,3)}.
10.2m?n.
11.{x | -1≤x < 0, x∈R}; {x | 1 < x < 2, x∈R}; {x |0≤x≤1, x∈R}.
12.12; 6.
13.{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14.?x(?P(x)∨Q(x)).
15.21.
16.(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)).
17.{(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
二、选择题
1. C.
2. D.
3. B.
4. B.
5. D.
6. C.
7. C.
8. A. 9. D. 10. B. 11. B.
13. A. 14. A. 15. D
三、计算证明题
1.
(1)
B无上界，也无最小上界。

下界1, 3; 最大下界是3.
(2)
(3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1. 2.R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(1)
(2)
3. (1)σ?τ＝σ(τ(x))＝τ(x)+3＝2x+3＝2x+3.
(2)σ?σ＝σ(σ(x))＝σ(x)+3＝(x+3)+3＝x+6,
(3)σ??＝σ(?(x))＝?(x)+3＝x/4+3,
(4)??τ＝?(τ(x))＝τ(x)/4＝2x/4 = x/2,
(5)στ＝σ?(??τ)＝??τ+3＝2x/4+3＝x/2+3.
4. (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2))
= P(3, 2)∧P(2,3)
= 1∧0
= 0.
(2) ?x ?y P (y , x ) = ?x (P (2, x )∨P (3, x )) = (P (2, 2)∨P (3,
2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3)) = (0∨1)∧(0∨1) = 1∧1
= 1.
5. (1)
(2) 无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1. (3) B 无上界，无最小上界。

下界1, 2; 最大下界2. →Q)∨(Q ∧(?P →R)) 6. G = ?(P ∨Q)∨(Q ∧(P ∨R))
= ?(?P
= (P ∧?Q)∨(Q ∧(P ∨R)) = (P ∧?Q)∨(Q ∧P)∨(Q ∧R)
= (P ∧?Q ∧R)∨(P ∧?Q ∧?R)∨(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧?R)∨(P ∧Q ∧R)∨(?P ∧Q ∧R) = (P ∧?Q ∧R)∨(P ∧?Q ∧?R)∨(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧?R)∨(?P ∧Q ∧R)
= m 3∨m 4∨m 5∨m 6∨m 7 =
(3, 4, 5, 6, 7).
7. G = (?xP (x )∨?yQ (y ))→?xR (x ) = ?(?xP (x )∨?yQ (y ))∨?xR (x ) = (??xP (x )∧??yQ (y ))∨?xR (x ) = (?x ?P (x )∧?y ?Q (y ))∨?zR (z )
= ?x ?y ?z ((?P (x )∧?Q (y ))∨R (z ))
9. (1) r(R)＝R ∪I A ＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},
s(R)＝R ∪R －
1＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},
t(R)＝R ∪R 2∪R 3∪R 4＝{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)}； (2)关系图: ＝(P ∧Q)∨(?P ∧Q ∧R) 11. G ＝(P ∧Q ∧?R)∨(P ∧Q
∧R)∨(?P ∧Q ∧R)
＝m 6∨m 7∨m 3 ＝∑ (3, 6, 7)
H = (P ∨(Q ∧R))∧(Q ∨(?P ∧R))
b
a c
d r(R)
b
a c
d
s(R)
b
a c
d t(R)
＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨(?P∧Q∧R)
＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R) ＝(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
＝m6∨m3∨m7
＝∑ (3, 6, 7)
G,H的主析取范式相同，所以G = H.
13. (1)
(2)R?S＝{(a, b),(c, d)},
R∪S＝{(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)},
R－1＝{(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)},
S－1?R－1＝{(b, a),(d, c)}.
四证明题
1. 证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S
(1) P∨R P
(2) ?R→P Q(1)
(3) P→Q P
(4) ?R→Q Q(2)(3)
(5) ?Q→R Q(4)
(6) R→S P
(7) ?Q→S Q(5)(6)
(8) Q∨S Q(7)
2. 证明：(A-B)-C = (A∩~B)∩~C
= A∩(~B∩~C)
= A∩~(B∪C)
= A-(B∪C)
3. 证明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蕴涵A→D
(1) A D(附加)
(2) ?A∨B P
(3) B Q(1)(2)
(4) ?C→?B P
(5) B→C Q(4)
(6) C Q(3)(5)
(7) C→D P
(8) D Q(6)(7)
(9) A→D D(1)(8)
所以{?A∨B, ?C→?B, C→D}蕴涵A→D.
4.证明：A－(A∩B)
= A∩~(A∩B)
＝A∩(~A∪~B)
＝(A∩~A)∪(A∩~B)
＝?∪(A∩~B)
＝(A∩~B)
＝A－B
而(A∪B)－B
= (A∪B)∩~B
= (A∩~B)∪(B∩~B)
= (A∩~B)∪?
= A－B
所以：A－(A∩B) = (A∪B)－B.
离散考试模拟试题及答案3
一、填空题：）
1．设，，请在下列每对集合中填入适当的符号：。

（1）, (2) 。

2．设，N为自然数集，若，则是
射的，若，则是射的。

3．设图G = < V ，E >中有7个结点，各结点的次数分别为2，4，4，6，5，5，2，
则G中有条边，根据。

4．两个重言式的析取是，一个重言式和一个矛盾式的合取是。

5．设个体域为自然数集，命题“不存在最大自然数”符号化为。

6．设S为非空有限集，代数系统中幺元为，零元为。

7．设P、Q为两个命题，其De-Morden律可表示为。

8．当时，群只能有阶非平凡子群，不能有阶子群，平凡子群为。

二、单项选择题：（每小题1分，本大题共15分）
1．设，下面哪个命题为假（）。

A、；
B、；
C、；
D、。

2．设，则B－A是（）。

A、；
B、；
C、；
D、。

3．下图描述的偏序集中，子集的上界为（）。

A、；
B、；
C、；
D、。

4．设和都是X上的双射函数，则为（）。

A、；
B、；
C、；
D、。

5．下面集合（）关于减法运算是封闭的。

A、N ；
B、；
C、；
D、。

6．具有如下定义的代数系统，（）不构成群。

A、，*是模11乘；
B、，*是模11乘；
C、（有理数集），*是普通加法；
D、（有理数集），*是普通乘法。

7．设，*为普通乘法。

则代数系统的幺元为（）。

A、不存在；
B、；
C、；
D、。

8．下面集合（）关于整除关系构成格。

A、{2，3，6，12，24，36} ；
B、{1，2，3，4，6，8，12} ；
C、{1，2，3，5，6，15，30} ；
D、{3，6，9，12}。

9．设，
，则有向图
是（）。

A、强连通的；
B、单侧连通的；
C、弱连通的；
D、不连通的。

10．下面那一个图可一笔画出（）。

11．在任何图中必定有偶数个（）。

A、度数为偶数的结点；
B、入度为奇数的结点；
C、度数为奇数的结点；
D、出度为奇数的结点。

12．含有3个命题变元的具有不同真值的命题公式的个数为（）。

A、；
B、；
C、；
D、。

13．下列集合中哪个是最小联结词集（）。

A、；
B、；
C、；
D、。

14．下面哪个命题公式是重言式（）。

A、；
B、；
C、；
D、。

15．在谓词演算中，下列各式哪个是正确的（）。

A、；
B、；
C、；
D、。

三、判断改正题：（每小题2分，本大题共20分）
1．设，，则。

（其中为（A））( )
2．设，，则。

（）
3．集合A上的恒等关系是一个双射函数。

（）
4．设Q为有理数集，Q上运算* 定义为，则是半群。

（）
5．阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。

（）
6．在完全二元树中，若有片叶子，则边的总数。

（）
7．能一笔画出的图不一定是欧拉图。

（）
8．设P，Q是两个命题，当且仅当P，Q的真值均为T时，的值为T。

（）
9．命题公式是重言式。

（）
10．设命题“所有的研究生都读过大学”符号化为：。

（）
四、简答题：（25分）
1．设，A上的关系，求出。

2．集合上的偏序关系为整除关系。

设，，试画出的哈斯图，并求A，B，C的最大元素、极大元素、下界、上确界。

3．图给出的赋权图表示五个城市
及对应两城镇间公路的长度。

试给出一个最优化的设计
方案使得各城市间能够有公路连通。

4．已知，为模7乘法。

试说明是否构成群？是否为循环群？若是，生成元是什么？
5．给定命题公式，试给出相应的二元树。

五、证明题：（25分）
1．如果集合A上的关系R和S是反自反的、对称的和传递的，证明：是A上的等价关系。

2．用推理规则证明是
的有效结论。

3．若有n个人，每个人都恰有三个朋友，则n必为偶数。

4．设G是（11，m）图，证明G或其补图是非平面图。

离散考试模拟试题及答案4
一、填空题
1．（1），（2）。

2．双射，满射。

3．14 ，。

4．重言式，矛盾式。

5．，6．，S 。

7．；。

8．2，4；3，5，6，7；。

二、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 A C B C B D B C
C A C C A B A
三、判断改正题
1．×。

2．×
3．√。

4．√。

5．×阶数为偶数的有限群中周期为2 的元素个数一定为奇数。

6．×完全二叉树中，边数。

7．√。

8．×当且仅当P，Q的真值相同时，的真值为T。

9．√。

10．×。

四、简答案题
1．解，
，
，
，。

2．解：的哈斯图为
集合最大元极大元下界上确界
A 无24，36 无无
B 12 12 6，2，3 12
C 6 6 无 6
3．解此问题的最优设计方案即要求该图的最小生成树，
由破圈法或避圈法得最小生成树为：
其权数为1+1+3+4 = 9 。

4．解：既构成群，又构成循环群，其生成元为3，5。

因为：的运算表为：
1 2 3 4 5 6
1 1
2
3
4
5 6
2 2 4 6 1
3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 4 1
5 2
6 3
5 5 3 1
6 4 2
6 6 5 4 3 2 1
1）由运算表知，封闭；
2）可结合（可自证明）
3）1为幺元；
4），，，，，，
综上所述，构成群。

由，，，，，。

所以，3为其生成元，3的逆元5也为其生成元。

故为循环群。

5．解：命题公式对应的二元树见右图。

五、证明题
1．证明：（1）
自反。

（2），若，则由R ，S对称，
所以，，所以对称。

（3），若则
由R ，S传递性知，从而
所以，传递。

综上所述，是A上的等价关系。

2．证明：（1）P
（2）US(1)
(3) P
(4) T(2)(3)I
(5) P
(6) US(5)
(7) T(6)E,I
(8) P。