上海 同济大学第二附属中学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．由曲线22y x =和直线4y x =-所围成的图形的面积（ ）
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
2．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域
OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）
A ．
1e
B ．
11
e - C ．11e
-
D ．
2
1
e e -- 3．已知1
a xdx =⎰， 1
2
b x dx =⎰， 1
c xdx =
⎰
，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
4．设若2
0lg ,
0()3,0
a
x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩
⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-2
5．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2
6．由曲线2
y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．
52 B ．4 C ．2 D ．9
2
7．曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8．若在R 上可导,,则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．使函数()3
2
2912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
10．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-
B ．4ln3+
C ．4ln3-
D ．
329
11．
1
20
4x dx -=⎰
（ ）
A ．4
B ．1
C ．4π
D ．
33
2
π
+
12．由曲线4y x =，1
y x
=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．
17
2ln 22
- B ．
15
2ln 22
- C ．
15
+2ln 22
D ．
17
+2ln 22
二、填空题
13．质点运动的速度()
2
183/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是
______.
14．若11
2lim 22n n
n n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.
15．已知1
2e
a dx x
=
⎰
，则()()4
1x x a ++展开式中3x 的系数为______. 16．已知函数()()()2
2
ln 1,0
ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩
，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 17．定积分
1
21
(4sin )x x dx --+=⎰
________.
18．计算
()
2
22
4x x dx -+
-⎰得__________．
19．曲线与直线
所围成的封闭图形的面积为____________．
20．定积分
1
2
0124x x dx π⎫--⎪⎭
⎰的值______. 三、解答题
21．设函数()3
2
f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-. (1)求常数,a b 的值;
(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积.
22．如图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴
上 已知工业用地每单位面积价值为3a 元()0a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元．
（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；
（Ⅱ）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大． 23．求曲线y x =
2y x =-及y 轴围成的封闭图形的面积.
24．已知函数1
()ln 2
f x x x =-
，(0,)x ∈+∞． （1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调递增区间． 25．已知()13
1
3d 26x ax a b x a -⎰＋＋－＝＋，且()()3
3d t
f t x ax a b x ⎰＝＋＋－为偶函数，求
a ，
b ．
26．已知函数2
1()12
f x x =-
+，x ∈R . （1）求函数图像过点(1,1)的切线的方程；
（2）求函数()f x 的图像与直线1y =-所围成的封闭图形的面积.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
画出两曲线的图像，求得交点坐标，由定积分求得图形的面积即可. 【详解】
根据题意，画出量曲线的图像，设其交点为,A B ，如下所示：
联立22y x =和4y x =-， 解得()()2,2,8,4A B -， 根据抛物线的对称性， 即可得两曲线围成的面积2
8
2
22d (24)d S x x x x x =
++⎰
⎰
2
30
2
20216
22d 2233x x x ⎛⎫⎰== ⎪⎝
⎭ 8
2
(24)d x x x +⎰
8
3
22
2
21
2432x x x ⎫=-+⎪⎭
32
2
212884832⎫=⨯-⨯+⨯⎪⎭
32
2
213822242323
⎫-⨯-⨯+⨯=⎪⎭
故所求面积为
2
8
2
22d (24)d x x x x x ++⎰
⎰
163833
=
+ 18=.
故选：A. 【点睛】
本题考查由定积分求解曲边梯形的面积，需要注意的是，本题中需要对曲边梯形的面积进行拆分求解，这是本题的难点.
2．D
解析：D
试题分析：由几何概型可知，所求概率为.
考点：几何概型、定积分．
3．C
解析：C
【解析】因为1
11
1
321231
2000000111122,,|223333a xdx x b x dx x c xdx x =========⎰⎰⎰,所以
b a
c <<,故选C.
4．C
解析：C 【详解】
23300
3|a
a
t dt t a ==⎰
，33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==
故选：C
5．C
解析：C 【解析】 由函数
的图像可知，
需满足
或
，所以点
的运
动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.
6．D
解析：D 【解析】
试题分析：由定积分的几何意义得，2
931221221322
2
1
=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。

考点：利用定积分求面积。

7．C
【解析】
试题分析：，当时，，当时，，所以确定备积区间，备积函数是所以，根据定积分的公式
，故选．
考点：1．定积分的定义；2．定积分的应用．
8．B
解析：B
【解析】试题分析：欲求积分，则必须求出被积函数.由已知可知函数的解析式并不明确（未知，但为常数）.所以对原函数求导，可得,令,,所以,则
.
考点：函数导数和函数积分.
9．C
解析：C
【解析】
f′(x)=6x2−18x+12，令f′(x)=0得x2−3x+2=0，解得x=1，或x=2.
∴当x<1或x>2时,f′(x)>0，当1<x<2时,f′(x)<0，
∴f(x)在(−∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增，
∴当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5−a，
当x=2时,f(x)取得极小值f(2)=4−a，
∵f(x)只有两个零点，∴5−a=0或4−a=0，即a=5或a=4.
本题选择C选项.
10．C
解析：C
【详解】
由
1
xy
y x
=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
1
3
xy
y
=
⎧
⎨
=
⎩
解得
1
3
3
x
y
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
3
y
y x
=
⎧
⎨
=
⎩
解得
3
3
x
x
=
⎧
⎨
=
⎩
，所围成的平面图形
的面积为S，则
()()
1
1
1
13
3
11
31(31)323ln|
2
S dx x x
x
⎛⎫
=⨯--+-=+-
⎪
⎝⎭
⎰，4ln3
S=-，故
选C. 11．D 解析：D
设24y x =
-，变换得到1
2
4x dx -⎰的几何意义为图中阴影面积，计算面积得到答案.
【详解】 设24y x =
-，则22
4x y +=，其中01x ≤≤，0y ≥.
1
20
4x dx -⎰
的几何意义为图中阴影面积，设BOC α∠=，易知6
π
α=
，
则21211113
4132226232
S S S r OA AC ππα=+=+⋅=⨯⨯+⨯⨯=+
. 故选：D.
【点睛】
本题考查了定积分的几何意义，意在考查学生的计算能力和转化能力.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积2
12
1
(4)S x dx x
=-⎰，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，联立方程组41y x
y x =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，解得12x =，
所以曲线4y x =，1
y x
=
，2x =围成的封闭图形的面积为 2
222
211
22
11115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰，
【点睛】
本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
二、填空题
13．108m 【分析】令速度为0求出t 的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m 【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题
解析：108m. 【分析】
令速度为0求出t 的值 0和6，求出速度函数在[0,6]上的定积分即可. 【详解】
由21830t t -=，得0t =或6t =， 当[0,6]t ∈时，质点运动的路程为()()
6
62
2
3
320
1839696108S t t dt t
t
=-=-=-+⨯=⎰，
故答案为：108m 【点睛】
本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.
14．【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可【详解】解：当|t|≥2时可得可得t ＝﹣2当|t|＜2时可得：综上可得：实数t 的取值范围是：﹣22）故答案为﹣22）【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的 解析：[)2,2-
【分析】
利用数列的极限的运算法则，转化求解即可． 【详解】
解：当|t |≥2时，n+1n
n n-1n 2-t lim =22+t
→∞，
可得2n 2
2()1
1t lim 2121
n t t t
→∞
⨯--==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，可得t ＝﹣2． 当|t |＜2时，
n+1n n n-1
n 2-t lim =22+t →∞可得： 2
2()
2lim 211?()2
n n t t t →∞+=+ ， 综上可得：实数t 的取值范围是：[﹣2，2）． 故答案为[﹣2，2）． 【点睛】
本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．
15．32【分析】由定积分求出实数的值再利用二项式展开式的通项公式求解即可【详解】解：因为==2由展开式的通项为=即展开式中的系数为+=32故答案为32【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式属基础题
解析：32 【分析】
由定积分求出实数a 的值，再利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】 解：因为1
2e
a dx x
=⎰
=2ln x e 1| =2, 由()4
2x +展开式的通项为1r T +=r
4C 42r r x - ,
即()()4
12x x ++展开式中3x 的系数为2
4C 22⨯+1
4C 2⨯ =32，
故答案为32. 【点睛】
本题考查了二项式展开式的通项公式，属基础题.
16．【解析】分析：判断为偶函数运用导数判断在的单调性则转化为解不等式即可得到的范围详解：∵函数∴当时则；当时则∴即函数为偶函数当时则故函数在上为单调增函数∵∴即∴∴故答案为点睛：本题考查函数的奇偶性和单 解析：[]1,1-
【解析】
分析：判断()f x 为偶函数，运用导数判断()f x 在[0,)+∞的单调性，则
()()()21f a f a f -+≤转化为1a ≤，解不等式即可得到a 的范围．
详解：∵函数()()()2
2
1,0
1,0xln x x x f x xln x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩
∴当0x >时，则0x -<，2()ln(1)()f x x x x f x -=++=； 当0x <时，则0x ->，2()ln(1)()f x x x x f x -=--+=. ∴()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数.
当0x ≥时，2()ln(1)f x x x x =++，则()ln(1)201x
f x x x x
=+++≥+'，故函数()f x 在[0,)+∞上为单调增函数. ∵()()()21f a f a f -+≤ ∴2()2(1)f a f ≤，即()(1)f a f ≤. ∴1a ≤ ∴11a -≤≤ 故答案为[]
1,1-.
点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用.在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研
究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，
即将函数值的大小转化自变量大小关系
17．【解析】分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分由奇函数在对称区间的积分知为0可得解详解：∵表示圆与x 轴围成的图形CDAB ∴又为奇函数所以∴故答案为：点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）
解析：
233
π
+. 【解析】
分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分，由奇函数在对称区间的积分知为0，可得解.
详解：1
1
1
2
2
1
1
1
(4sin )4sin x x dx x dx xdx ----+=
-+=⎰
⎰⎰，
∵
21
4x dx --表示圆224x y +=与x 轴围成的图形CDAB ，
OAB 121
423363
2
OCB ODA
S S
S
π
π=⨯⨯=+=⨯扇形，.
∴1212433x dx π--=+⎰， 又sin x 为奇函数，所以1
1sin 0xdx -=⎰
，
∴
1
212(4sin )33
x x dx π--+=+⎰， 故答案为：233
π+. 点睛：定积分的计算一般有三个方法：
（1）利用微积分基本定理求原函数；
（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；
（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.
18．【解析】分析：根据定积分的定义分别和求和即可详解：表示以（00）为圆心以2为半径的半径故故答案为点睛：求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分(
解析：2π.
【解析】
分析：根据定积分的定义分别2
21dx -⎰和
2224x dx --⎰，求和即可.
详解：
2224x dx --⎰表示以（0，0）为圆心，以2为半径的半径. 故2
2242x dx π--=⎰
∴()2
22
222
22221414|242x dx dx x dx x ππ----+-=+-=+=+⎰⎰⎰.
故答案为42π+.
点睛：求定积分的三种方法
(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．
(2)利用微积分基本定理求定积分．
(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．
19．【解析】【分析】确定被积函数与被积区间利用用定积分表示面积即可求得结论【详解】曲线y=sinx 与直线x=0x=π4y=0所围成的封闭图形的面积为0π4sinxdx=-cosx|0π4=1-22故答案
解析：
【解析】
【分析】
确定被积函数与被积区间,利用用定积分表示面积,即可求得结论.
【详解】 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ，故答案为
.
【点睛】 本题主要考查利用定积分求面积，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题. 20．1【分析】等于以原点为圆心以1为半径的圆面积的四分之一为再利用微积分基本定理求出的值即可【详解】因为等于以原点为圆心以1为半径的圆面积的四分之一为所以故答案为：1【点睛】本题主要考查微积分基本定理的 解析：1
【分析】
201x dx -⎰等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的四分之一，为4
π，再利用微积分基本定理求出
1
024x π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值即可. 【详解】 1
20124x x dx π⎫--⎪⎭⎰ 1
200124x dx x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰， 因为
201x dx -⎰等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的四分之一，为4π， 121002|1444x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎰， 所以1
2001211444x dx x πππ⎛⎫-+-=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰， 故答案为：1
【点睛】
本题主要考查微积分基本定理的应用，考查了定积分的几何意义，属于基础题.
三、解答题
21．(1)0,3a b ==-;(2)
92
. 【分析】
（1）求出导函数，利用函数()32
f x x ax bx =++在1x =处有极值2-，由()12f =-且()'10f =,解方程组，即可求得,a b 的值；（2）利用定积分的几何意义，先确定确定函数的积分区间，被积函数，再求出原函数，利用微积分基本定理，结合函数的对称性即可得结论.
【详解】
(1)由题意知()2
'32f x x ax b =++, ()12f =-且()'10f =,
即12,320,a b a b ++=-⎧⎨++=⎩
,解得0,3a b ==-. (2)如图,由1问知()33f x x x =-.作出曲线33y x x =-的草图,所求面积为阴影部分的面积.
由330x x -=得曲线33y x x =-与x 轴的交点坐标是()3,0-,()0,0和
()3,0, 而33y x x =-是R 上的奇函数,函数图象关于原点中心对称.
所以y 轴右侧阴影面积与y 轴左侧阴影面积相等.
所以所求图形的面积为()3302
13S x x dx ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 4213932|4220x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的极值、定积分的几何意义以及微积分基本定理的应用，属于中档题. 已知函数的极值()f m n =求参数的一般步骤是：（1）列方程求参数()()'0f m n f m ⎧=⎪⎨=⎪⎩
；（2）检验方程的解的两边导函数符号是否相反. 22．（1）
43;（2）点C 的坐标为.
【详解】
试题分析：（1）由于等待开垦土地是由曲线21y x =-与x 轴围成的，求出曲线与x 轴的交点坐标，再用定积分就可求出此块土地的面积；（2）既然要确定点C 的位置，使得整块土地总价值最大,那我们只需先设出点C 的坐标为(x ，0)，然后含x 的代数式表示出矩形地块ABCD ，进而结合（1）的结果就可表示出其它的三个边角地块的面积，从而就能将整块土地总价值表示成为x 的函数，再利用导数求此函数的最大值即可．
试题
（1）由于曲线21y x =-与x 轴的交点坐标为（－１，0）和(１,0),所以所求面积
S=1
231114(1)()|133x dx x x --=-=-⎰， 故等待开垦土地的面积为43
（2）设点C 的坐标为(,0)x ，则点B 2(,1)x x -其中01x <<，
∴22(1)ABCD S x x =-
∴土地总价值
由2'4(13y a x =-)=0得33(33x x =
=-或者舍去） 并且当303x <<
时，3'0,1'03y x y ><<<当时， 故当33
x =时，y 取得最大值. 答：当点C 的坐标为
时，整个地块的总价值最大. 考点：1.定积分;2.函数的最值.
23．163
【分析】
根据定积分的几何意义，先联立直线与曲线方程，求出积分的上下限，将面积转化为定积分求解即可.
【详解】
2x x =-解得：4x =，
4
3220021216(2)288803233S x x dx x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.
【点睛】
本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.
24．（1）ln 21y =-（2）(0,2)
【解析】
分析：(1)根据导数几何意义得切线斜率为()2f ' ，再根据点斜式得结果，(2)先求导数，再根据导数大于零得函数()f x 的单调递增区间．
详解：解：（1）()1ln 2f x x x =-，得()112
f x x ='-， ∴()221f ln =-，()20f '=，
∴函数()f x 在()()2,2f 处的切线方程为ln21y =-．
（2）∵()11222x f x x x
-=-='， 令()0f x '>，得2x <，令()0f x '<，得2x >，
又()f x 的定义域是()0,+∞，
∴函数()f x 的单调增区间为()0,2．
点睛：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则
()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数. 25．a ＝－3，b ＝－9
【解析】
【分析】
利用微积分基本定理得a,b 的方程组求解即可.
【详解】
因为f(x)＝3
x ＋ax 为奇函数，所以()1
31x ax dx 0＋＝-⎰. 所以
()13
1x ax 3a b dx -⎰＋＋－ ()()11
311x ax dx 3a b dx ＋－--=+⎰⎰
()103a b x |
1
-＝＋－ ＝6a －2b ， 所以6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b=3.①
又()()()442
2x a t at f t x 3a b x 3a b t 04242t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
＝＋＋－＝＋＋－为偶函数， 所以3a －b ＝0，②
由①②得：a ＝－3，b ＝－9.
【点睛】
本题考查微积分基本定理,准确计算是关键，是基础题.
26．(1) 切线方程为1y =或23y x =-+(2)
163 【分析】
（1）设切点为2001,12P x x ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
，切线斜率()00k f x x ==-'，即可求得曲线在P 点处的切线方程，把点()1,1代入解出0x 即可；（2）联立函数()f x 与直线1y =-的方程，从而可得函数()f x 的图象与直线1y =-所围成的封闭图形的面积：
()222112222f x dx x dx ⎛⎫⎡⎤+=-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭
，利用微积分基本定理即可得出． 【详解】
（1）设切点为2001,12P x x ⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭，切线斜率()00k f x x ==-'，所以曲线在P 点处的切线方程为()()2000112y x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭
，把点()1,1代入，得()00012002x x x -=⇒=或02x =，所以切线方程为1y =或23y x =-+.
（2）由2121211
x y x y y ⎧=-=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎩或21x y =⎧⎨=-⎩ 所以所求的面积为
()2322211161222220263f x dx x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=-+=-+= ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查利用导数求切线方程以及微积分定理，属于中档题. 应用导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：①设切点，求导并且表示在切点处的斜率；②根据点斜式写出切线方程；③将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；④将切点代入切线方程，得到具体的表达式.。