高一人教B版数学必修四寒假导学案：板块二 三角函数定义、三角函数线与同角三角函数关系

第二讲三角函数线与同角三角函数
板块二三角函数定义、三角函数线与同角三角函数关系
基础知识
1．任意角的三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，
建立直角坐标系．设P(x，y）是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r＝OP＝错误!>0。

定义: 叫做角α的余弦，记作cos α，即；叫做角α的正弦，记作sin α，即; 叫做角α的正切,记作tan α，即.另外,角α的正割：sec α＝＝；角α的余割：csc α＝＝；角α的余切：cot α＝＝。

2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM,垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线（或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段、、分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝，cos
α＝,tan α＝。

3．同角三角函数的基本关系式
(1）平方关系：。

(2)商数关系：．
（2）同角三角函数基本关系式的变形
(1）sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝；cos2α＝；
（2）tan α＝错误!的变形公式：
sin α＝；cos α＝.
[典型例题］
例1 已知角α的终边上一点P(－15a,8a) (a∈R且a≠0），求α的六个三角函数值．
变式已知角θ的终边上一点P（x,3) （x≠0），且cos θ＝错误!x，求
sin θ，tan θ,cot θ.
例2 求下列各角的六个三角函数值．
(1）0；（2）π；(3）错误!。

变式利用任意角三角函数的定义写出下列角的六个三角函数值．（1）错误!;(2）错误!;(3）错误!;（4）错误!。

例3 判断下列各式的符号：
（1）sin α·cos α（其中α是第二象限角)；
（2）sin 285°cos（－105°)；
(3）sin 3·cos 4·tan错误!.
变式
（1)若sin αcos α<0,则α是第________象限角．
（2）代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是_________．
例4 在单位圆中画出满足sin α＝错误!的角α的终边，并求角α的取值集合
变式根据下列三角函数值,作角α的终边，然后求角的取值集合：
(1)cos α＝错误!;（2)tan α＝－1。

例5求下列函数的定义域．
f(x）＝错误!＋ln错误!。

变式求函数f（x)＝lg（3－4sin2x)的定义域．
例6 已知cos α＝－错误!，求sin α，tan α。

变式已知tan α＝错误!，且α是第三象限角,求sin α,cos α的值．例7 已知tan α＝2，求下列代数式的值．
（1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；
(2)错误!sin2α＋错误!sin αcos α＋错误!cos2α。

变式已知tan α＝3，求下列各式的值．
（1)错误!；(2）2sin2α－3sin αcos α.
例8 已知sin θ＋cos θ＝错误!，θ∈（0，π），求：(1）sin θ－cos θ；(2）sin3θ＋cos3θ。

变式已知sin αcos α＝1
4
,且错误!<α<错误!,求cos α－sin α的值．课堂练习
一、选择题
1．若sin α＝错误!，且α是第二象限角,则tan α的值等于( ）
A ．－43
B.错误! C ．±错误! D ．±43
2． 已知sin α＝错误!，则sin 4α－cos 4α的值为 （ ）
A ．－错误!
B ．－错误! C.错误! D 。

错误!
3． 已知α是第二象限的角，tan α＝－错误!，则cos α等于
( )
A ．－错误!
B ．－错误!
C ．－错误!
D ．－错误!
4． 已知sin α－cos α＝错误!，α∈（0,π），则tan α等于 ( ）
A ．－1
B ．－错误!
C 。

错误!
D ．1
5． 若sin θ＝－错误!，tan θ>0，则cos θ＝________.
6． 已知sin αcos α＝错误!且错误!<α〈错误!,则cos α－sin α＝____。

7． 已知tan α＝－错误!，则错误!的值是______．
8． 已知sin α＝m （｜m |<1且m ≠0)，求tan α的值．
二、填空题
9． 已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于
（ ）
A ．－错误! B.错误! C ．－错误! D 。

错误!
10．若sin A ＝45
，则错误!的值为________． 11．已知错误!＝错误!，求下列各式的值．
(1)错误!；
（2）1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.
12．已知sin α－cos α＝－错误!，π〈α〈错误!，求tan α的值．
三、解答题
13．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根（a ∈R）．
（1)求sin 3θ＋cos 3θ的值;
（2）求tan θ＋错误!的值．。