北师大版九年级数学下 36 第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质 习题课件
北师大版九年级数学下册：第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质课件
假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O
B
的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直
线与⊙O相切”相矛盾.
所以AB与CD垂直.
●O
C 老师期望: 你能看明白(或掌握)用反证法说理的过程.
AM D
➢切线的性质
参考小松的说理过程,请你写出这个命题： 圆的切线垂直于过切点的半径。
●O
d ┐ 相切
d__＜____r; d__＝____r;
d__＞____r;
r ●O
d
┐ 相离
及时巩固
【中考】在平面直角坐标系中，以点（5，6）为圆心、5为
半径的圆，一定（ C ）
A.与x轴相切，与y轴相切
B.与x轴相切，与y轴相交
C.与x轴相离，与y轴相切 D.与x轴相交，与y轴相交
【中考】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC
如图
∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的 半径,
∴CD⊥OA.
C
老师提示: 切线的性质是证明两线垂直的重要根据;作过切 点的半径是常用的辅助线之一.
B
●O
A
D
牛刀小试，链接中考
【中考】如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于 点A，BC交⊙O于点D，若∠C＝80°，则 ∠BOD的度数为( A ) A．160° B．155° C．150° D．140°
及时总结
1 知识小结
1.直线和圆的位置关系：相交、相切、相离. （1）从公共点数来判断； （2）从d与r间的数量关系来判断. 2.直线和圆的位置关系的性质与判定： （1）直线和圆相离 d＞r； （2）直线和圆相切 d=r； （3）直线和圆相交 d＜r.
北师大版九年级数学下册第三章《圆》.1直线和圆的位置关系及切线的性质习题课件
(2)如图②，若 CD⊥AB，过点 D 作⊙O 的切线，与 AB 的延长线 相交于点 E，求∠E 的大小．
解：连接 OD，如图所示． ∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°. ∴∠PCB＝90°－∠ABC＝90°－63°＝27°. ∵DE 是⊙O 的切线，∴DE⊥OD. ∴∠ODE＝90°.∵∠BOD＝2∠PCB＝54°， ∴∠E＝90°－∠BOD＝90°－54°＝36°.
【答案】B
11．(2019·无锡)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长 线交⊙O 于点 B，若∠P＝40°，则∠B 的度数为( B ) A．20° B．25° C．40° D．50°
12．(2019·重庆)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点 D，连接 OD，若∠C＝50°， 则∠AOD 的度数为( ) A．40° B．50° C．80° D．100°
(1)求证：AB＝BM；
证明：∵AP 为⊙O 的切线，AC 为⊙O 的直径，∴AP⊥AC. ∴∠CAB＋∠PAB＝90°. ∴∠AMD＋∠AEM＝90°. ∵AB＝BE，∴∠AEB＝∠EAB. ∴∠AMD＝∠PAB.∴AB＝BM.
(2)若 AB＝3，AD＝254，求⊙O 的半径． 解：连接 BC，如图所示． ∵AC 为直径，∴∠ABC＝90°. ∴∠C＋∠CAB＝90°. ∵∠CAB＋∠PAB＝90°，∴∠C＝∠PAB. ∵∠AMD＝∠PAB，∠C＝∠D，∴∠AMD＝∠C＝∠D.
【答案】B
7．已知⊙O 的半径是一元二次方程 x2－5x－6＝0 的一个根，圆 心 O 到直线 l 的距离 d＝4，则直线 l 与⊙O 的位置关系是 ( A) A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能
最新北师大版九年级数学下册《第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质》优质教学课件
o
o
dr
r d
o r
d
∟
要合点作归探纳 （用圆心究O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
o dr
o r
d
o r
d
∟
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离 数形结合：位置关系
d< r d= r
直线与圆的位置关系
的性质与判定的区别：
位置关系
性质 判定
数量关系.
d> r
数量关系
公共点个数
对应练习
1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d
（1）若d=4cm ,则直线与圆相交 , 直线与圆有_2___ 个公共点.
（2）若d=6cm ,则直线与圆_相__切___, 直线与圆有__1__ 个公共点.
（3）若d=8cm ,则直线与圆_相__离___, 直线与圆有__0__ 个公共点.
(2)解：由(1)可知OA=OC=AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴在Rt△OAB中， ∠B=90°-60°=30°.
课堂小结
直线与圆没有公共点 直线与圆的 直线与圆有唯一公共点 位置关系
直线与圆有两个公共点
相离 相切
相交
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分:
直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r
圆的切线垂
性质定理
直于经过切 点的半径
切线的 性质
有1个公共点
有切线时常用辅 助线添加方法： 见切线，连切点， 得垂直.
北师大版九年级数学下册 3.6 第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质【名校课件+集体备课】
④若C为☉O外一点，则过点C的直线与☉O相
交或相离.
×
⑤直线a 和☉O有公共点，则直线a与☉O相交. ×
新课进行时 核心知识点二 用数量关系判断直线与圆的位置 关系
问题1 刚才同学们用硬币移近直线的过程中，除了发 现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在 改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
（2）若d=6cm ,则直线与圆_相__切___, 直线与圆有__1__个 公共点. （3）若d=8cm ,则直线与圆_相__离___, 直线与圆有__0__ 个公共点.
新课进行时
2.已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件
填写d的范围: (1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; (2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; (3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤d < 5cm .
相关知识： 点到直线的距离是指
从直线外一点（A)到直线 (l)的垂线段(OA)的长度.
A
O
l
圆心到直线的距离 在发生变化； 首先距离大于半径， 而后距离等于半径， 最后距离小于半径.
新课进行时
问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆 的位置关系呢？
O d
新课进行时
要点归纳
（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于
CD,垂足为M,
B
（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的
距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”
相矛盾.
C
O AM D
（3）所以AB与CD垂直.
新课进行时
九年级数学下册第三章 第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质作业课件新版北师大版
＋7 的距离
d＝|kx0－y0＋b|＝|3×（－1）－2＋7|＝ 2 ＝ 10.
1＋k2
1＋32
10 5
根据以上材料，解答下列问题：
(1)已知⊙Q 的圆心 Q 坐标为(0，5)，半径 r 为 2，试判断⊙Q 与直线 y＝ 3x＋9 的位置
关系，并说明理由；
(2)已知⊙O 的圆心 O 是抛物线 y＝－x2＋2 2x＋m 的顶点，半径 r 为 3，则当⊙O 与直
线 y＝2 2x＋2m 不相交时，求 m 的取值范围．
解：(1)⊙Q 与直线 y＝ 3x＋9 相切．理由如下： ∵圆心 Q(0，5)到直线 y＝ 3x＋9 的距离 d＝| 3×0－5＋9|＝4＝2，
1＋（ 3）2 2 ⊙Q 的半径 r＝2，∴d＝r，∴⊙Q 与直线 y＝ 3x＋9 相切．
(2)∵y＝－x2＋2 2x＋m＝－(x－ 2)2＋m＋2，
∴圆心 O 的Байду номын сангаас标为( 2，m＋2)，
∴圆心 O 到直线 y＝2 2x＋2m 的距离
d＝|2 2× 2－（m＋2）＋2m|＝|2＋m|.
（2 2）2＋1
3
∵直线 y＝2 2x＋2m 与圆不相交，∴d≥r，∴|2＋m|≥3， 3
∴m≥7 或 m≤－11.
8．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆相交于点D，C， 过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E.求证：CB平分∠ACE.
解：连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB. ∵CE⊥AB，∴OB∥CE，∴∠OBC＝∠BCE.∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BCE＝∠OCB，∴CB平分∠ACE.
四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知： (1)当d＝3时，m＝ _1_；
北师大九年级数学下 3.6 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质 教案
3.6 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质1．理解直线和圆的相交、相切、相离三种位置关系；(重点)2．掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法； (难点) 3．掌握切线的性质定理，会用切线的性质解决问题．(重点)一、情境导入在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？二、合作探究探究点一：直线和圆的位置关系【类型一】 判定直线和圆的位置关系已知⊙O 半径为3，M 为直线AB上一点，若MO ＝3，则直线AB 与⊙O 的位置关系为()A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相切或相交解析：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于3，则直线和圆相交、相切都有可能．故选D.方法总结：判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的3不一定是圆心到直线的距离． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】 根据直线和圆的位置关系，求线段的长或取值范围 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，CD ⊥AB 于点D ，若以点C为圆心，以2cm 长为半径的圆与斜边AB 相切，那么BC 的长等于( )A ．2cmB ．2 2cmC ．2 3cmD ．4cm 解析：如图所示，∵在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴△ABC 是等腰直角三角形．∵以点C 为圆心，以2cm 长为半径的圆与斜边AB 相切，∴CD ＝2cm.∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD ＝2cm ，∴BC ＝CD 2＋BD 2＝22＋22＝22(cm)．故选B.方法总结：解决问题的关键是根据题意画出图形，利用直线和圆的三种位置关系解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 在平面直角坐标系中，解决直线和圆的位置关系的问题如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O 的半径为1，动直线AB 与x 轴交于点P (x ，0)，且满足直线AB 与x 轴正方向夹角为45°，若直线AB 与⊙O 有公共点，则x的取值范围是()A．－1≤x≤1 B．－ 2 ＜x＜ 2C．0≤x≤ 2 D．－ 2 ≤x≤2解析：当直线AB与⊙O相切且与x轴正半轴相交时，设切点为C，连接OC.∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，∴△POC是等腰直角三角形．∵⊙O的半径为1，∴OC ＝PC＝1，∴OP＝12＋12＝2，∴点P的坐标为(2，0)．同理可得，当直线AB与x 轴负半轴相交时，点P的坐标为(－2，0)，∴x的取值范围为－2≤x≤ 2.故选D.方法总结：解决本题要熟知直线和圆的三种位置关系，关键是有公共点的情况不要遗漏．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：切线的性质【类型一】利用切线的性质求线段长如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB＝2，P A切⊙O于A点，P A＝4.求⊙O的半径．解析：设圆的半径是x，利用勾股定理可得关于x的方程，求出x的值．解：如图，连接OA，∵P A切⊙O于A点，∴OA⊥P A.设OA＝x，∴OP＝x＋2.在Rt△OP A中，x2＋42＝(x＋2)2，∴x＝3，∴⊙O的半径为3.方法总结：运用切线的性质来进行计算或证明时，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】圆的切线与相似三角形的综合如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E，连接CD.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解析：(1)利用切线的性质及圆周角定理证明；(2)利用相似三角形证明；(3)利用正方形的性质证明．证明：(1)如图，连接OD.∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝BE.∴EB＝EC ，即点E 为边BC 的中点；(2)∵AC 为直径， ∴∠ADC ＝∠ACB ＝∠BDC ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△CBD ，∴AB BC ＝BCBD ，∴BC 2＝BD ·BA ；(3)当四边形ODEC 为正方形时，∠OCD ＝45°.∵AC 为直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＝180°－∠ADC －∠OCD ＝180°－90°－45°＝45°，∴Rt △ABC 为等腰直角三角形．方法总结：本题的综合性比较强，但难度不大，解决问题的关键是综合运用学过的知识解答．另外，连接圆心和切点，构造直角三角形也是解题的关键．【类型三】 圆的切线与三角函数的综合如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，过点B 作⊙O 的切线与AD 的延长线交于F 点．(1)求证：∠ABC ＝∠F ；(2)若sin C ＝35，DF ＝6，求⊙O 的半径．解析：(1)由切线的性质得AB ⊥BF ，因为CD ⊥AB ，所以CD ∥BF ，由平行线的性质得∠ADC ＝∠F ，由圆周角定理的推论得∠ABC ＝∠ADC ，于是证得∠ABC ＝∠F ；(2)连接BD .由直径所对的圆周角是直角得∠ADB ＝90°，因为∠ABF ＝90°，然后运用解直角三角形解答．(1)证明：∵BF 为⊙O 的切线，∴AB ⊥BF .∵CD ⊥AB ，∴∠ABF ＝∠AHD ＝90°，∴CD ∥BF .∴∠ADC ＝∠F .又∵∠ABC ＝∠ADC ，∴∠ABC ＝∠F ；(2)解：连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠A ＋∠ABD ＝90°.由(1)可知∠ABF ＝90°，∴∠ABD ＋∠DBF ＝90°，∴∠A ＝∠DBF .又∵∠A ＝∠C ，∴∠C ＝∠DBF .在Rt △DBF 中，sin ∠DBF ＝sin C ＝35，DF ＝6，∴BF ＝10，∴BD ＝8.在Rt △ABD 中，sin A ＝sin C ＝35，BD ＝8，∴AB ＝403.∴⊙O 的半径为203.方法总结：运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．三、板书设计直线和圆的位置关系及切线的性质 1．直线和圆的位置关系： ①直线l 与圆O 相交⇔d ＜r ； ②直线l 与圆O 相切⇔d ＝r ； ③直线l 与圆O 相离⇔d ＞r . 2．切线的性质及运用在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，学生很轻松地就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化.。
北师大版2019-2020年九年级数学下册学案：3.6 第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
3.6 直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质第一环节：回顾旧知，设疑迎新1、点与圆有哪几种位置关系？2、如何判定点与圆的位置关系？抓住哪两个关键量来判定？•“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象. 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置关系有几种？•引入新课•板书课题直线和圆的位置关系第二环节：新知探究1、自主学习课本课本（2分钟）2、用多媒体演示直线和圆的位置关系，使学生更直观的发现直线和圆的几种位置关系.3、引导学生归纳、总结.1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线,，唯一的公共点叫做切点;3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.练一练：看图判断直线l与⊙O的位置关系交流探讨：（结合课本的三幅图. 三分钟）1）如果，公共点的个数不好判断，该怎么办？2)当直线与圆相离、相切、相交时，圆心到直线的距离d与半径r有何关系？3）归纳总结判定直线与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由________________ 的个数来判断；（2）根据性质，由_________________ 的关系来判断.运用新知，巩固新知已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：1)若d=4.5cm ,则直线与圆, 直线与圆有____个公共点.2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.3)若d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围:1)若AB和⊙O相离, 则 ;2)若AB和⊙O相切, 则 ;3)若AB和⊙O相交,则 .3、直线和圆有2个交点,则直线和圆_________;直线和圆有1个交点,则直线和圆_________;直线和圆有没有交点,则直线和圆_________;变式1：在Rt△ABC中∠C= 90°AC=3,BC=4若要使圆C与线段AB只有一个公共点，这时圆C的半径 r 有什么要求？BC A生活中的应用：如图，点A是一个半径为300m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通, 现测得∠ABC=45°, ∠ACB= 30°．问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明．AB C自我评价•一、知识上：•二、思想方法上：•提出你的问题或困惑：评价样题设计（课堂检测）1．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l 与⊙O没有公共点，则d为（）：A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =32．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的位置关系是（）：A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共点.( )4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的圆与直线BC的位置关系是 ,以A为圆心,为半径的圆与直线BC相切.在Rt△ABC中∠C= 90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的关系？为什么？(1) r=2cm (2) r=2.4cm (3) r=3cm。
北师大版九年级数学下 册 3.6： 直线和圆的位置关系(第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质)导学案
6 直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质自主预习1.（1）操作：如图，小敏在作业本上画了一个圆，她用直尺在作业本上上下平移，发现直尺的一边和圆可能有____个交点或____个交点或__ __交点．概括：①在同一平面内，直线与圆的位置关系可以根据直线与圆的公共点的个数来划分，共有三种情形，即、、.（2）探究：测量点O到直线l的距离和⊙O 的半径，比较两者的大小，看看有什么结论？归纳：直线l与⊙O相交⇔d r；直线l与⊙O相切⇔d r；直线l与⊙O相离⇔d r.1.（1）2，1，没有，相离，相切，相交（2）＜,＝,＞2.直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的．2.切线3．圆的切线垂直于过切点的．3.半径4．(做一做)如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；(2)若∠D BE＝37°，求∠ADC的度数．4.解：(1)证明：∵AB，CD是直径，∴∠CBD＝∠ADB＝90°，AB＝CD.又∵∠A＝∠C，∴△ABD≌△CDB.(2)∵BE是切线，∴∠ABE＝90°.∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°.∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB＝53°.∴∠ADC＝90°－53°＝37°.随堂训练知识通关知识点1.直线和圆的位置关系1.⊙O的直径为12cm，圆心O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定1.C解析:因为⊙O的直径为12cm,所以半径为6cm,因为圆心O到直线l的距离为7cm,7>6,所以直线l与⊙O 的位置关系是相离.选C.2.已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A. 相交B. 相切C. 相离D.2.D.解析：本题知道⊙O的半径为3cm，并知道点P是直线l上一点，OP长为5cm，并没有告诉圆心到直线l的距离，且根据已知条件无法确定圆心到直线l的距离的大小，所以此时要根据直线圆的位置关系的三种情况分别探究是否都有可能. 3.如图为平面上圆O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若圆O的半径为20公分，且O点到其中一直线的距离为14公分，则直线是（）A.L1 B.L2 C.L3 D.L43.B解析:因为所求直线到圆心O点的距离为14公分＜半径20公分，所以此直线为圆O的割线，即为直线L2．课堂笔记直线和圆的位置关系可以从两个方面理解：（1）交点的个数；（2）圆心与直线的距离d与圆的半径r的数量关系.为便于理解和记忆，归纳如下表：知识点2.切线的概念及其性质4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA ＝30°，则OB的长为（）A．4 3 B．4 C．2 3 D．24.B5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C,若∠A=25°则∠D等于（）A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒5.A解析：连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝25°，∴∠DOC＝50°，∵DC切⊙O于C∴∠OCD＝90°，∴∠D＝40°，故选A．6.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（）A．30°B．45°C．60°D．67.5°6.D解析:∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵OC=CD，∴∠COD=45°，连接AC，∵AO=CO，∴∠ACO=22.5°，∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．故选D．课堂笔记经过切点与切线垂直的直线必过圆心；经过圆心与切线垂直的直线必过切点. 在解决有关圆的切线问题时，若已知一条直线是某圆的切线，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直于切线．课堂达标1.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O为圆心,6cm为半径的圆与直线AB 的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定1.A2．（湖州）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°2. B．解析：连接OC，∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∴AB是直径，∵∠A=25°，∴∠BOC=2∠A=50°，∵CD是圆O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．3．（赤峰）如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是．3. 8cm．解析：∵AB是⊙O切线，∴OC⊥AB，∴AC=BC，在Rt△BOC中，∵∠BCO=90°，OB=5，OC=3，∴BC==4（cm），∴AB=2BC=8cm．4.已知在直角坐标系中，以点A(0，3)为圆心，以3为半径作⊙A，则直线y＝kx＋2(k≠0)与⊙A的位置关系是4.相交解析:因为直线y=kx+2与y轴的交点是B（0，2），所以AB=1．则圆心到直线的距离一定小于1，所以直线和⊙A一定相交．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6 3 cm，BC＝3 3 cm.(1)以点C为圆心作圆，当半径为多大时，AB 与⊙C相切？(2)以点C 为圆心，分别以r ＝4 cm ，r ＝5 cm 画圆，得到的圆与边AB 的位置关系分别是什么？5.解析： 求出圆心C 到AB 的距离d ，通过d 与r 的大小关系来确定⊙C 与AB 的位置关系，或由直线和圆的位置关系确定r 与d 的关系．解：(1)如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于点D. ∵AB ＝6 3 cm ，BC ＝3 3 cm ， ∴cosB ＝BC AB ＝3363＝12，∴∠B ＝60°，∴CD ＝BC·sinB ＝33×32＝92(cm)． 因此当半径为92 cm 时，AB 与⊙C 相切．(2)由(1)可知圆心C 到AB 的距离d ＝92 cm ，∴当r ＝4 cm 时，d>r ，⊙C 与AB 相离； 当r ＝5 cm 时，d<r ，⊙C 与AB 相交．6.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠A.(1)求∠D 的度数；(2)若CD ＝2，求BD 的长．6.解：(1)∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCA.∴∠COD ＝∠A ＋∠OCA ＝2∠A.∵∠D ＝2∠A ，∴∠COD ＝∠D. ∵PD 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥PD ，即∠OCD ＝90°.∴∠D ＝45°.(2)由第(1)问可知△OCD 是等腰直角三角形，∴OC ＝CD ＝2.由勾股定理，得OD ＝22＋22＝2 2. ∴BD ＝OD －OB ＝22－2.课 后 作 业基础巩固1.已知⊙O 的面积为29cm π，若点0到直线l 的距离为cm π，则直线l 与⊙O 的位置关系是（） A.相交 B.相切 C.相离D.无法确定 1.C解析: 设圆O 的半径是r ，则πr 2=9π，∴r=3，∵点0到直线l 的距离为π，∵3＜π，即：r ＜d ，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相离，故选C ．2.在平面直角坐标系xOy 中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（ ）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相交C ．与x 轴相切，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离 2.C解析: 圆心O 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，4=4，3＜4，∴圆O 与x 轴相切，与y 轴相交， 故选C ．3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则sinE 的值为()A.12B.32C.22D.333.A解析：连接OC ，∵CE 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CE ，即∠OCE ＝90°.∵∠CDB ＝30°， ∴∠COB ＝2∠CDB ＝60°， ∴∠E ＝90°－∠COB ＝30°， ∴sinE ＝12.故选A.4ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C 的半径为( )A ．2.3 B. 2.4 C ．2.5 D ．2.6 4.B解析：显然△ABC 是直角三角形且∠ACB ＝90°.设AB 切⊙C 于点D ，连接CD ，则CD ⊥AB.利用三角形的面积公式可求出⊙C 的半径CD ＝2.4. 5.已知直线l 与O ⊙相交，O ⊙的半径是5，圆心O 与直线l 的距离为d ，化简d d ---862）（=__________.5.14解析:∵直线l 与O ⊙相交，∴ d ＜r ,即d ＜5，∴d-6＜0，8-d ＞0，∴d d ---862）（=（6-d ）-（8-d ）=6-d-8+d=14.6.如图，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 个单位时，它与x 轴相切．6.1或5解析: 设圆的半径为r ，圆心到直线的距离d ，要使圆与x 轴相切，必须d=r ；∵此时d=3，∴圆向上平移1或5个单位时，它与x 轴相切．7．如图，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为________厘米．7. 134解析： 如图，∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，∴AC ＝9－3＝6.过点O 作OB ⊥AC 于点B ，则AB ＝12AC ＝12×6＝3.设玻璃杯的杯口外沿半径为r.则OB ＝r －2，OA ＝r.在Rt △AOB 中，OA 2＝OB 2＋AB 2，即r 2＝(r －2)2＋32，解得r ＝134.8．如图，为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若测得PA ＝5 cm ，求铁环的半径．8.解：设圆形铁环与三角板的切点为B. 如图3－6－51，连接OA ，OP ，OB ，则OA ⊥AP ，OB ⊥PB ，OA ＝OB.又OP ＝OP ， ∴Rt △OAP ≌Rt △OBP ，∴∠OPA ＝60°，tan60°＝OAAP ＝3，∴OA ＝5 3 cm.故铁环的半径是5 3 cm.9．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ，BD ⊥PD ，垂足为D ，连接BC.(1)求证：BC 平分∠PBD ； (2)求证：BC 2＝AB·BD ；(3)若PA ＝6，PC ＝62，求BD 的长．9.解：(1)证明：连接OC ，如图. ∵PD 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PD.∵BD ⊥PD ，∴OC ∥BD ， ∴∠OCB ＝∠CBD.∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠CBD ＝∠OBC ，即BC 平分∠PBD.(2)证明：连接AC ，如图3－6－54.∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵BD ⊥PD ，∴∠PDB ＝90°. 又∵∠CBD ＝∠OBC ，∴△ABC ∽△CBD ，∴AB BC ＝BCBD ，∴BC 2＝AB·BD.(3)在Rt △PCO 中，OA ＝OC ，PA ＝6，PC ＝62， ∵OC 2＋PC 2＝PO 2，即OC 2＋(62)2＝(6＋AO)2＝(6＋OC)2， 解得OC ＝3.∵OC ∥BD ，∴PO PB ＝OCBD ，即912＝3BD，解得BD ＝4，∴BD 的长为4.10．（百色）如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于点E ．（1）求证：∠1=∠CAD ；（2）若AE=EC=2，求⊙O 的半径．10.（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°， ∵AC 为⊙O 的切线， ∴OA ⊥AC ，∴∠OAD+∠CAD=90°， ∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ， ∵∠1=∠BDO ， ∴∠1=∠CAD ；（2）解：∵∠1=∠CAD ，∠C=∠C ， ∴△CAD ∽△CDE ， ∴CD ：CA=CE ：CD ， ∴CD 2=CA•CE ， ∵AE=EC=2，∴AC=AE+EC=4，∴CD=2，设⊙O 的半径为x ，则OA=OD=x ， 则Rt △AOC 中，OA 2+AC 2=OC 2， ∴x 2+42=（2+x ）2， 解得：x=．∴⊙O 的半径为． 能力提升11. 如图，P 为正比例函数y= 32 x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为（x ，y ）． （1）求⊙P 与直线x=2相切时点P 的坐标． （2）请直接写出⊙P 与直线x=2相交、相离时x 的取值范围．11.解：（1）如图,过P 作直线x=2的垂线，垂足为A ；当点P 在直线x=2右侧时，AP=x-2=3，得x=5； ∴P （5，152）； 当点P 在直线x=2左侧时，PA=2-x=3，得x=-1， ∴P （-1，-32），∴当⊙P 与直线x=2相切时，点P 的坐标为（5，152）或（-1，-32）；（2）当-1＜x ＜5时，⊙P 与直线x=2相交 当x ＜-1或x ＞5时，⊙P 与直线x=2相离．中考链接 12．（齐齐哈尔）如图，若以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ，则∠C= 度．。
北师大版九年级数学下册 3.6.1直线和圆的位置关系及切线的性质(含答案)
北师大版九年级数学下3.6.1直线和圆的位置关系及切线的性质（含答案）一、选择题1．如图1所示图形中，直线l是⊙O的切线的是()图12．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不能确定3．平面内，⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，则过点P作⊙O的切线有()A．0条B．1条C．2条D．无数条4．如图2，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为()图2A．5 B．6C．7 D．85．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆()A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离6．如图3，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C的切线与AB的延长线交于点P，⊙O的半径为5，则BP的长为()图3A.5 33B.5 36C ．10D ．57．如图4，两个同心圆的半径分别为4 cm 和5 cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为( )图4A ．3 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm8．如图5，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则sinE 的值为( )图5A.12B.32C.22D.339．如图6，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴的正方向平移，使得⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为( )图6A ．1B ．3C ．5D ．1或510．如图7，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，P 是直线l 上的一个动点，PQ 与⊙O 相切于点Q ，则PQ 长的最小值为( )图7A.13B. 5C ．3D ．5二、填空题11．已知⊙O 的直径为6，圆心O 到直线l 的距离为d.(1)当直线l 与⊙O 相离时，d 的取值范围是________； (2)当直线l 与⊙O 相切时，d 的取值范围是________； (3)当直线l 与⊙O 相交时，d 的取值范围是__________．12．如图8，⊙O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，点P 在EDF ︵上．若∠BAC ＝66°，则∠EPF 的度数为________．图813．如图9，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙O 外一点，点C 在⊙O 上，AC 与⊙O 相切于点C ，∠CAB ＝90°.若BD ＝6，AB ＝4，则弦BC 的长为________．图9三、解答题14．如图10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，以点C 为圆心，2.5 cm 长为半径画圆，则⊙C 与直线AB 有怎样的位置关系？请说明理由．图1015．如图11，已知AB是⊙O的直径，P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O 上．(1)求证：OP∥BC；(2)过点C作⊙O的切线，交AP的延长线于点D，如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．图1116．如图12，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B 的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长．图12附加题如图13，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切半圆O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC.(1)求证：BC平分∠PBD；(2)求证：BC2＝AB·BD；(3)若PA＝6，PC＝6 2，求BD的长．链接听P35例2归纳总结图13参考答案1．[答案] C 2．[答案] A3．[解析] C ∵⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为2，∴d ＞r ，∴点P 在⊙O 外．过圆外一点可以作圆的2条切线．故选C.4．[答案] D5．[解析] C 由题意知，圆心到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3. ∵4＝4，3＜4，∴以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆与x 轴相切，与y 轴相交． 故选C.6．[解析] D 如图，连接OC. ∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠OCP ＝90°. ∵∠A ＝30°，∴∠COP ＝60°，∴∠P ＝30°， ∴OP ＝2OC ＝10，∴BP ＝OP －OB ＝10－5＝5.故选D.7．[解析] C 如图，设切点为C ，连接OC ，OA ，则OC ⊥AB ，∴AC ＝BC.在Rt △AOC 中，AO ＝5 cm ，OC＝4 cm ，根据勾股定理，得AC ＝52－42＝3(cm)，∴AB ＝2AC ＝6 cm.8．[解析] A 连接OC.∵CE 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CE ，即∠OCE ＝90°.∵∠CDB ＝30°，∴∠COB ＝2∠CDB ＝60°， ∴∠E ＝90°－∠COB ＝30°， ∴sinE ＝12.故选A.9．[答案] D10．[解析] B ∵PQ 与⊙O 相切于点Q ，∴∠OQP ＝90°，∴PQ 2＝OP 2－OQ 2，而OQ ＝2，∴PQ 2＝OP 2－4，即PQ ＝OP 2－4，则当OP 最小时，PQ 最小．∵点O 到直线l 的距离为3，∴OP 的最小值为3，∴PQ 的最小值为9－4＝ 5.故选B.11．[答案] (1)d＞3(2)d＝3(3)0≤d＜312．[答案] 57°13．[答案] 2 6[解析] 连接CD，OC，如图．∵AC与⊙O相切于点C，∴AC⊥OC.∵∠CAB＝90°，∴AC⊥AB，∴OC∥AB，∴∠ABC＝∠OCB.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠CBO，∴∠ABC＝∠CBO.∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°＝∠CAB，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝AB·BD＝4×6＝24，∴BC＝24＝2 6.故答案为2 6.14．解：⊙C与直线AB相交．理由：过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，∴AB＝AC2＋BC2＝5 cm.∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴3×4＝5CD，∴CD＝2.4 cm＜2.5 cm，即d＜r，∴⊙C与直线AB相交．15．解：(1)证明：连接AC交OP于点H.由题意知，点C 是点A 关于OP 的对称点， ∴OP ⊥AC ，∴AH ＝HC.∵在△ABC 中，H 是AC 的中点，O 是AB 的中点， ∴OH 是△ABC 的中位线， ∴OH ∥BC ，即OP ∥BC. (2)连接PC.∵OA ＝OP ， ∴∠OAP ＝∠OPA.∵点C 是点A 关于OP 的对称点， ∴∠APO ＝∠CPO ，∠PAO ＝∠PCO ， ∴∠OAP ＝∠OPA ＝∠PCO ＝∠CPO. ∵∠D ＝90°，CD 与⊙O 相切， ∴∠D ＝∠OCD ＝90°，∴∠CPD ＋∠DCP ＝∠PCO ＋∠DCP ＝90°， ∴∠CPD ＝∠PCO ，∴∠CPD ＝∠CPO ＝∠OPA ＝13×180°＝60°.又∵OP ＝OC ，∴△OPC 为等边三角形， ∴∠PCO ＝60°，OC ＝CP ， ∴∠DCP ＝30°.在Rt △CDP 中，∵∠DCP ＝30°，DP ＝1， ∴CP ＝2，∴OC ＝2， ∴⊙O 的直径为4.16．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BDA ＝90°，即BD ⊥AC. ∵BF 切⊙O 于点B ，∴AB ⊥BF.∵CF ∥AB ，∴CF ⊥BF ，∠FCB ＝∠ABC. ∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ， ∴∠ACB ＝∠FCB.又∵BD ⊥AC ，BF ⊥CF ，∴BD ＝BF. (2)∵AB ＝10，AB ＝AC ，CD ＝4， ∴AD ＝AC －CD ＝10－4＝6.在Rt△ADB中，由勾股定理，得BD＝102－62＝8.在Rt△BDC中，由勾股定理，得BC＝82＋42＝4 5.附加题解：(1)证明：连接OC，如图．∵PD切半圆O于点C，∴OC⊥PD.又∵BD⊥PD，∴OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBD＝∠OBC，即BC平分∠PBD.(2)证明：连接AC，如图．∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BD⊥PD，∴∠CDB＝90°.又∵∠OBC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝AB·BD.(3)在Rt△PCO中，OA＝OC，PA＝6，PC＝6 2，由勾股定理，得OC2＋PC2＝PO2，即OC2＋(6 2)2＝(6＋OA)2＝(6＋OC)2，解得OC＝3.则OA＝OC＝OB＝3.∵OC∥BD，∴∠POC＝∠PBD.又∵∠PCO＝∠PDB＝90°，∴△POC∽△PBD，∴POPB＝OCBD，即912＝3BD，解得BD＝4，即BD的长为4.。
【北师大版】2019年春学期九年级数学下册3.6 第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质导学案
3.6 直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质第一环节：回顾旧知，设疑迎新1、点与圆有哪几种位置关系？2、如何判定点与圆的位置关系？抓住哪两个关键量来判定？•“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象. 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置关系有几种？•引入新课•板书课题直线和圆的位置关系第二环节：新知探究1、自主学习课本课本（2分钟）2、用多媒体演示直线和圆的位置关系，使学生更直观的发现直线和圆的几种位置关系.3、引导学生归纳、总结.1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线,，唯一的公共点叫做切点;3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.练一练：看图判断直线l与⊙O的位置关系交流探讨：（结合课本的三幅图. 三分钟）1）如果，公共点的个数不好判断，该怎么办？2)当直线与圆相离、相切、相交时，圆心到直线的距离d与半径r有何关系？3）归纳总结判定直线与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由________________ 的个数来判断；（2）根据性质，由_________________ 的关系来判断.运用新知，巩固新知已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：1)若d=4.5cm ,则直线与圆, 直线与圆有____个公共点.2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.3)若d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围:1)若AB和⊙O相离, 则 ;2)若AB和⊙O相切, 则 ;3)若AB和⊙O相交,则 .3、直线和圆有2个交点,则直线和圆_________;直线和圆有1个交点,则直线和圆_________;直线和圆有没有交点,则直线和圆_________;变式1：在Rt△ABC中∠C= 90°AC=3,BC=4若要使圆C与线段AB只有一个公共点，这时圆C的半径 r 有什么要求？BC A生活中的应用：如图，点A是一个半径为300m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通, 现测得∠ABC=45°, ∠ACB= 30°．问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明．AB C自我评价•一、知识上：•二、思想方法上：•提出你的问题或困惑：评价样题设计（课堂检测）1．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l与⊙O没有公共点，则d为（）：A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =32．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的位置关系是（）：A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共点.( )4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的圆与直线BC的位置关系是 ,以A为圆心,为半径的圆与直线BC相切.在Rt△ABC中∠C= 90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的关系？为什么？(1) r=2cm (2) r=2.4cm (3) r=3cm。