吉林市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

吉林市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学
一、选择题
1． 在等差数列{a n }中，a 1=2，a 3+a 5=8，则a 7=（ ） A ．3
B ．6
C ．7
D ．8
2． 若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f ′（x ）＞0的解集为（ ）
A ．（0，+∞）
B ．（﹣1，0）∪（2，+∞）
C ．（2，+∞）
D ．（﹣1，0）
3． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c
，若
﹣
+1=0，则角B 的度数是（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．150°
D ．60°或120°
4． 若f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）
=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，1]
B ．[0，1]
C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]
5． 已知U=R ，函数y=ln （1﹣x ）的定义域为M ，集合N={x|x 2﹣x ＜0}．则下列结论正确的是（ ） A ．M ∩N=N B ．M ∩（∁U N ）=∅
C ．M ∪N=U
D ．M ⊆（∁U N ）
6． 1F ，2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，
若12PF F ∆
，则该双曲线的离心率为（ ）
C. 1
D. 1
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
7． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三 项，则能使不等式1212
11
1
n n
a a a a a a ++
+≤
+++
成立的自然数的最大值为（ ） A ．9 B ．8 C.7 D ．5 8． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9． 已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β 10．如图所示的程序框图，若输入的x 值为0，则输出的y 值为（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A．B．0 C．1 D．或0
11．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
12．若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）
A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b2
二、填空题
13．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
14．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为
15．已知函数f（x）=，则关于函数F（x）=f（f（x））的零点个数，正确的结论是．（写
出你认为正确的所有结论的序号）
①k=0时，F（x）恰有一个零点．②k＜0时，F（x）恰有2个零点．
③k＞0时，F（x）恰有3个零点．④k＞0时，F（x）恰有4个零点．
16．双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为．
17．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为.
18．设函数f（x）=，则f（f（﹣2））的值为．
三、解答题
19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：=1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．
20．如图，过抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F的直线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1x2=﹣4．
（Ⅰ）p的值；
（Ⅱ）R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，RQ的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值．
21．已知复数z=．
（1）求z的共轭复数；
（2）若az+b=1﹣i ，求实数a ，b 的值．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的极坐标方程是2=
ρ，曲线2C 的参数方程是
θππθθ],2,6[,0(21sin 2,
1∈>⎪⎩
⎪
⎨⎧+==t t y x 是参数）．
（Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； （Ⅱ）求t 的取值范围，使得1C ，2C 没有公共点．
23．已知函数f （x ）=aln （x+1）
+x 2﹣x ，其中a 为非零实数． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；
（Ⅱ）若y=f （x ）有两个极值点α，β，且α＜β
，求证：
＜．（参考数据：ln2≈0.693）
24．己知函数f （x ）=|x ﹣2|+a ，g （x ）=|x+4|，其中a ∈R ． （Ⅰ）解不等式f （x ）＜g （x ）+a ；
（Ⅱ）任意x ∈R ，f （x ）+g （x ）＞a 2
恒成立，求a 的取值范围．
25．已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z﹣4为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
26．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．
吉林市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{a n}中a1=2，a3+a5=8，
∴2a4=a3+a5=8，解得a4=4，
∴公差d==，
∴a7=a1+6d=2+4=6
故选：B．
2．【答案】C
【解析】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，
令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，
结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．
故选：C．
3．【答案】A
【解析】解：根据正弦定理有：=，
代入已知等式得：﹣+1=0，
即﹣1=，
整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
又∵A+B+C=180°，
∴sin（B+C）=sinA，
可得2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，
∴2cosB=1，即cosB=，
则B=60°．
故选：A．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，
∴单调间区间为[a，+∞）
又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴a ≤1
∵函数g （x ）
=在区间（﹣∞，﹣a ）和（﹣a ，+∞）上均为减函数，
∵g （x ）
=
在区间[1，2]上是减函数，
∴﹣a ＞2，或﹣a ＜1， 即a ＜﹣2，或a ＞﹣1，
综上得a ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]， 故选：D
【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．
5． 【答案】A
【解析】解：由1﹣x ＞0，解得：x ＜1，
故函数y=ln （1﹣x ）的定义域为M=（﹣∞，1）， 由x 2
﹣x ＜0，解得：0＜x ＜1，
故集合N={x|x 2
﹣x ＜0}=（0，1），
∴M ∩N=N ， 故选：A ．
【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．
6． 【答案】D
【解析】∵12
0PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴2222
12124PF PF F F c +==，12||2PF PF a -=，则222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-， 2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径
1212
2
PF PF F F r c +-=
=，外接圆半径R c =.
c =
，整理，得2()4c
a
=+
1e =，故选D. 7． 【答案】C
【解析】
试题分析：因为三个数1,1,5a a a -++等比数列，所以()()()2
115,3a a a a +=-+∴=，倒数重新排列后恰
好为递增的等比数列{}n a 的前三项，为111,,
842，公比为，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以为首项，1
2为公比的等比数列，则
不等式1212
11
1n n a a a a a a +++≤
+++等价为()1181122811212
n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤--，整理，得722,17,n n n N +≤∴≤≤≤∈，故选C. 1
考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式.
8．【答案】B
【解析】
考点：空间直线与平面的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．
9．【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
综上D选项中的命题是错误的
故选D
10．【答案】B
【解析】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；
输入x=0，
x＞1？，否；
x＜1？，是；
y=x=0，
输出y=0，结束．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．
11．【答案】A
【解析】解：f（0）=d＞0，排除D，
当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，
函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，
则f′（x）=0有两个不同的正实根，
则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，
由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，
则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
故选：A
12．【答案】A
【解析】解：∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b＞0，
∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，
可知：B，C，D都正确，
因此A不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：法1：取A1C1的中点D，连接DM，
则DM∥C1B1，
在在直三棱柱中，∠ACB=90°，
∴DM⊥平面AA1C1C，
则∠MAD是AM与平面AA1C1C所的成角，
则DM=，AD===，
则tan∠MAD=．
法2：以C1点坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，
则∵AC=BC=1，侧棱AA
=，M为A1B1的中点，
1
∴=（﹣，，﹣），=（0，﹣1，0）为平面AA1C1C的一个法向量
设AM与平面AA1C1C所成角为θ，
则sinθ=||=
则tanθ=
故选：A
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
14．【答案】5
【解析】解：由z=x﹣3y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，
此时z最大，
由，解得，即C（2，﹣1）．
代入目标函数z=x﹣3y，
得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，
故答案为：5．
15．【答案】②④
【解析】解：
①当k=0时，，当x≤0时，f（x）=1，则f（f（x））=f（1）==0，
此时有无穷多个零点，故①错误；
②当k＜0时，（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=kx+1≥1，
此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）当0＜x≤1时，，此时
f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；
（Ⅲ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1＞0，此时无零点．
综上可得，当k＜0时，函数有两零点，故②正确；
③当k＞0时，（Ⅰ）当x≤时，kx+1≤0，此时f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得：，满足；
（Ⅱ）当时，kx+1＞0，此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0，满足；
（Ⅲ）当0＜x≤1时，，此时f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；
（Ⅳ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1，令f（f（x））=0得：x=
＞1，满足；
综上可得：当k＞0时，函数有4个零点．故③错误，④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查复合函数的零点问题．考查了分类讨论和转化的思想方法，要求比较高，属于难题．16．【答案】4．
【解析】解：双曲线x2﹣my2=1化为x2﹣=1，
∴a2=1，b2=，
∵实轴长是虚轴长的2倍，
∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，
解得m=4．
故答案为：4．
【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
17．【答案】12
【解析】
考点：分层抽样
18．【答案】﹣4．
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣2）=4﹣2=，
f（f（﹣2））=f（）==﹣4．
故答案为：﹣4．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x﹣1）2+y2=1，
由可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．
（Ⅱ）射线与曲线C1的交点A的极径为，
射线与曲线C2的交点B的极径满足，解得，
所以．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意设MN：y=kx+，
由，消去y得，x2﹣2pkx﹣p2=0（*）
由题设，x1，x2是方程（*）的两实根，∴，故p=2；
（Ⅱ）设R（x3，y3），Q（x4，y4），T（0，t），
∵T 在RQ 的垂直平分线上，∴|TR|=|TQ|．
得
，又
，
∴
，即4（y 3﹣y 4）=（y 3+y 4﹣2t ）（y 4﹣y 3）．
而y 3≠y 4，∴﹣4=y 3+y 4﹣2t ． 又∵y 3+y 4=1，
∴，故T （0
，）．
因此，
．
由（Ⅰ）得，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=﹣4，
=
．
因此，当k=0时，S △MNT 有最小值3．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，着重考查“舍而不求”的解题思想方法，考查了计算能力，是中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1
）．
∴=1﹣i ．
（2）a （1+i ）+b=1﹣i ，即a+b+ai=1﹣i ，
∴
，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．
22．【答案】
【解析】 【解析】（Ⅰ）曲线1C 的直角坐标方程是22
2
=+y x ，
曲线2C 的普通方程是)2
1
221(1+≤≤+
=t y t x …………5分 （Ⅱ）对于曲线1:C 22
2=+y x ，令1x =，则有1y =±．
故当且仅当0011
12-122t t t t >>⎧⎧⎪⎪
⎨⎨+>+<⎪⎪⎩⎩或时，1C ，2C 没有公共点， 解得1
2
t >．……10分
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ
）
．
当a ﹣1≥0时，即a ≥1时，f'（x ）≥0，f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，
故f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当a＜0时，由f'（x）=0得，，
f（x）在上单调递减，在上单调递增．
证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且，
所以α+β=0，αβ=a﹣1．
．
由0＜a＜1得，0＜β＜1．
构造函数．
，
设h（x）=2（x2+1）ln（x+1）﹣2x+x2，x∈（0，1），
则，
因为0＜x＜1，
所以，h'（x）＞0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，
所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，1）上单调递增，
所以，
故．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜g（x）+a即|x﹣2|＜|x+4|，
两边平方得：x2﹣4x+4＜x2+8x+16，解得：x＞﹣1，
∴原不等式的解集是（﹣1，+∞）；
（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，
又|x﹣2|+|x+4|≥|（x﹣2）﹣（x+4）|=6，
∴a2﹣a＜6，解得：﹣2＜a＜3，
∴a的范围是（﹣2，3）．
【点评】本题考察了解绝对值不等式问题，考察转化思想，是一道基础题．
25．【答案】
【解析】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R）．
由z+2i=x+（y+2）i为实数，得y+2=0，即y=﹣2．
由z﹣4=（x﹣4）+yi为纯虚数，得x=4．
∴z=4﹣2i．
（2）∵（z+mi）2=（﹣m2+4m+12）+8（m﹣2）i，
根据条件，可知
解得﹣2＜m＜2，
∴实数m的取值范围是（﹣2，2）．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，属于基础题．
26．【答案】
【解析】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1，
∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，
∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，
同理△ABC1是等边三角形，
∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，
平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，
∴BD⊥平面AA1C1C．
（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，
由题意可得，，则，
所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），
∴cosθ=．
即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．
【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．。