【情况】河北省2020中考数学复习第六单元圆第24讲与圆有关的位置关系试题

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第24讲 与圆有关的位置关系
1．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2.那么下列说法中不正确的是( C )
A ．当a ＜1时，点
B 在⊙A 外
B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内
C ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内
D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外
2．(2016·河北模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，下列条件中不能判定直线AT 是⊙O 的切线的是( D )
A ．A
B ＝4，AT ＝3，BT ＝5 B ．∠B ＝45°，AB ＝AT
C ．∠B ＝55°，∠TAC ＝55°
D ．∠ATC ＝∠B
3．如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，如果∠APB ＝90°，线段PA ＝10，那么弦AB 的长是( A )
A ．10 2
B ．10
C ．10 3
D ．5 3
4．(2016·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，AD.若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( D )
A ．15°
B ．30°
C ．60°
D ．75°
5．如图，若△ABC 的三边长分别为AB ＝9，BC ＝5，CA ＝6，△ABC 的内切圆⊙O 切AB ，BC ，AC 于D ，E ，F ，则AF 的长为( A )
A ．5
B ．10
C ．7.5
D ．4
提示：设AF ＝x ，根据切线长定理，得AD ＝x ，BD ＝BE ＝9－x ，CE ＝CF ＝CA －AF ＝6－x ，则有9－x ＋6－x ＝5，解得x ＝5，即AF 的长为5，故选A.
6．(2016·黑龙江)若点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为( C )
A ．2＋ 3 B.233
C ．2＋3或2－ 3
D ．4＋23或2－ 3 提示：存在如图所示的两种情况：
7．(2016·株洲)如图，△ABC 的内切圆的三个切点分别为D ，E ，F ，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则圆心角∠EOF ＝120°.
8．(2015·唐山路北区模拟)如图，⊙O 是以坐标轴原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB ＝45°，点P 在x 轴上运动，过点P 且与OB 平行的直线与⊙O 有公共点，则OP 的取值范围是0＜OP ≤2．
9．(2016·保定模拟)如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为1．
10．(2016·黄石)如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(异于A ，B)，AD ⊥CD.
(1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的值；
(2)若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．
解：(1)∵AB 是⊙O 直径，C 在⊙O 上，
∴∠ACB ＝90°.
又∵BC ＝3，AB ＝5，∴AC ＝AB 2－BC 2
＝4.
(2)证明：连接OC.
∵AC 是∠DAB 的平分线，∴∠DAC ＝∠BAC.
∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA.
∴∠DAC ＝∠OCA.∴AD ∥OC.
又∵AD ⊥DC ，∴OC ⊥DC.
∴DC 是⊙O 的切线．
11．(2016·丹东)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E.
(1)求证：∠BDC ＝∠A ；
(2)若CE ＝4，DE ＝2，求AD 的长．
解：(1)证明：连接OD.
∵CD 是⊙O 切线，
∴∠ODC ＝90°，即∠ODB ＋∠BDC ＝90°.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°，
即∠ODB ＋∠ADO ＝90°.
∴∠BDC ＝∠ADO.
∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠A.∴∠BDC ＝∠A.
(2)∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝∠ADB ＝90°.∴DB ∥EC.∴∠DCE ＝∠BDC.
∵∠BDC ＝∠A ，∴∠A ＝∠DCE.
∵∠E ＝∠E ，∴△AEC ∽△CED. ∴CE DE ＝AE CE
，即EC 2＝DE ·AE. ∴16＝2(2＋AD)，即AD ＝6.
12．(2016·德州)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( C )
A ．3步
B ．5步
C ．6步
D ．8步
13．(2015·邢台模拟)如图，已知▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，cosB ＝45
，点E 是BC 边上的动点，当以CE 为半径的圆C 与边AD 不相交时，半径CE 的取值范围是( C )
A ．0＜CE ≤8
B ．0＜
C E ≤5
C ．0＜CE ≤3或5＜CE ≤8
D ．3＜C
E ≤5
14．(2016·台州)如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( C )
A ．6
B ．213＋1
C ．9 D.322
15．(2016·河北模拟)阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：
已知：在△ABC 中，∠A ＝90°.
求作：⊙P ，使得点P 在边AC 上，且⊙P 与AB ，BC 都相切．
小轩的主要作法如下：
如图，(1)作∠ABC 的平分线BF ，与AC 交于点P ；(2)以点P 为圆心，AP 长为半径作⊙P ，所以⊙P 即为所求． 老师说：“小轩的作法正确．”
请回答：⊙P 与BC 相切的依据是圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线．
16．(2016·南京)如图，O 是△ABC 内一点，⊙O 与BC 相交于F ，G 两点，且与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，DE ∥BC ，连接DF ，EG.
(1)求证：AB ＝AC ；
(2)已知AB ＝10，BC ＝12，求四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径．
解：(1)证明：∵ ⊙O 与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，∴ AD ＝AE.
∴ ∠ADE ＝∠AED.
∵ DE ∥BC ，
∴∠B ＝∠ADE ，∠C ＝∠AED.∴ ∠B ＝∠C.
∴ AB ＝AC.
(2)连接AO ，交DE 于点M ，延长AO 交BC 于点N ，连接OE ，DG.
设⊙O 的半径为r.
∵四边形DFGE 是矩形，∴∠DFG ＝90°.
∴DG 是⊙O 的直径．
∵⊙O 与AB ，AC 分别相切于点D 、E ，
∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC.
又∵OD ＝OE ，∴AN 平分∠BAC.
又∵AB ＝AC ，∴AN ⊥BC ，BN ＝12BC ＝6. 在Rt △ABN 中，AN ＝AB 2－BN 2
＝8.
∵OD ⊥AB ，AN ⊥BC ，∴∠ADO ＝∠ANB ＝90°.
又∠OAD ＝∠BAN ，∴△AOD ∽△ABN.
∴OD BN ＝AD AN ，即r 6＝AD 8.∴AD ＝43r. ∴BD ＝AB －AD ＝10－43
r. ∵ OD ⊥AB ，∴∠GDB ＝∠ANB ＝90°.
又∵∠B ＝∠B ，∴△GBD ∽△ABN.
∴BD BN ＝GD AN ，即10－43r 6＝2r 8，解得r ＝6017
. ∴四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径为6017
. 17．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC ，BC ∥OA ，一边OA 在x 轴上，另一边OC 在y 轴上，且OA ＝A B ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，以OC 为直径作⊙P.
(1)求⊙P 的直径；
(2)⊙P 沿x 轴向右滚动过程中，当⊙P 与x 轴相切于点A 时，求⊙P 被直线AB 截得的线段AD 的长；
(3)⊙P 沿x 轴向右滚动过程中，当⊙P 与直线AB 相切时，求圆心P 移动的距离．
解：(1)过点B 作BD ⊥OA.由题意知：∠BCO ＝∠DOC ＝∠BDO ＝90°.
∴四边形ODBC 为矩形．
∴OC ＝BD ，OD ＝BC.
∵BC ＝2，∴DA ＝OA －OD ＝5－2＝3.
在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得BD 2＝AB 2－DA 2，∴BD ＝4.
∴CO ＝4，即⊙P 的直径是4 cm.
(2)如图1所示，当⊙P 与x 轴相切于A 时， 设⊙P 与CB 所在直线相切于点E.
易知P 在EA 上，且CE ＝AO ＝5，∴BE ＝3.
连接ED ，EA.
∵EA 为直径，∴∠EDA ＝90°.设AD ＝x ，则BD ＝5－x.
由勾股定理知BE 2－BD 2＝DE 2＝AE 2－AD 2，即32－(5－x)2＝42－x 2，解得x ＝165，即AD ＝165
cm. 图1 图2
(3)如图2所示，当⊙P 与AB 相切时，分两种情况：
第一种情况：当⊙P 滚动到⊙P 1时，设PP 1＝x ，由题意易知：PP 1＝CE ＝OG ＝x ，
则BE ＝BC －CE ＝2－x, AG ＝AO －OG ＝5－x.∵⊙P 1与AB ，AO 分别相切于点F ，G ，
∴AF ＝AG ＝5－x.
∵⊙P 1与BC ，AB 分别相切于点E ，F ，
∴BF ＝BE ＝2－x.
∵AB ＝5，AF ＋BF ＝AB ，∴5－x ＋2－x ＝5.
解得x ＝1，即PP 1＝1 cm ；
第二种情况：当⊙P 滚动到⊙P 2时，设PP 2＝x ，由题意易知：OJ ＝CH ＝PP 2＝x ，则AJ ＝x －5，BH ＝x －2. ∵⊙P 2与AB ，CH 相切，∴BI ＝BH ＝x －2.
同理，AI ＝AJ ＝x －5.
∵AB ＝BI ＋AI ，∴x －2＋x －5＝5.
解得x ＝6，即PP 2＝6 cm
∴当⊙P 与直线AB 相切时，点P 移动的距离为1 cm 或6 cm.
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