2017年考研数学二真题与解析

2017年考研数学二真题与解析D
于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．曲线2(1arcsin )y x x =+的斜渐近线为 ． 解：
2
(1arcsin )
lim lim 1x x x y x x x
→∞→∞+==，2lim()lim arcsin 2x x y x x x
→∞
→∞
-==，所以斜渐近线为2y x =+． 10．设函数
()
y y x =由参数方程
sin t x t e y t
⎧=+⎨
=⎩确定，则
202|t d y dx
== ．
【详解】223cos 1cos (1)sin cos ,1(1)t t t t
t t d e dy t d y e t e t dt dx dx e dx e dt
⎛⎫ ⎪+⎝⎭
++===-++，所以
2021
|8
t d y dx ==-．
112
ln(1)
(1)
x dx x +∞
++⎰
.
【详解】0220
00ln(1)1ln(1)1
ln(1)|1(1)11(1)
x x dx x d dx x x x x +∞
+∞+∞+∞++=-+=-+=++++⎰
⎰⎰
12．设函数
(,)
f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知
(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy
=++，(0,0)0f =，则(,)f x y =
【详解】(,)(1)()y
y
y
df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y
f x y xye
C
=+，由
(0,0)0
f =，得0C =，所以(,)y
f x y xye =．
13．1
1
tan y x
dy dx x
=⎰⎰
．
【详解】交换二重积分的积分次序得：
1
1
111
00
000tan tan tan ln cos ln cos1.x y x x dy dx dx dy xdx x x x ===-=-⎰
⎰
⎰⎰⎰
14．设矩阵
41212311A a -⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪-⎝⎭
的一个特征向量为112⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，则
a =
．
【详解】根据特征向量的定义，有
412111121132311222A a a αλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得1a =-．
三、解答题
15．（本题满分10分） 求极限0
3
0lim t x x te dt x
+
→-⎰
【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，0
t x u x te dt ue du
--=⎰
⎰
3
3
3
00
002
lim
lim lim
lim 3
32
t
x
u
u x x x x x x te dt e
ue du ue du xe x
x
x
x +
+
+
+---→→→→-====⎰⎰
⎰
16．（本题满分10分）
设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )x
y f e x =，求0
|x dy dx
=，202|x d y
dx
=．
【详解】1
2(,cos )(,cos )(sin )
x
x
x dy f e x e f e x x dx
''=+-，0
1|(1,1)
x dy f dx
='=； 2111
122222122
(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d y
e f e x e f e x e xf e x xf e x dx
xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+
20111
22|(1,1)(1,1)(1,1)x d y
f f f dx
=''''=+-．
17．（本题满分10分）
求21
lim ln 1n
n k k k n n
→∞
=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
∑ 【详解】由定积分的定义
1
20111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24
n
n n n k k k k k k x x dx n
n n n n x dx →∞
→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰
18．（本题满分10分） 已知函数()y x 是由方程3
33320
x
y x y +-+-=．
【详解】在方程两边同时对x 求导，得
2233330
x y y y ''+-+= （1）
在（1）两边同时对x 求导，得
2222()0
x y y y y y '''''+++=
也就是
22
2(())
1x y y y y '+''=-
+
令0y '=，得1x =±．当1
1
x =时，1
1
y
=；当2
1
x
=-时，2
0y
=
当1
1
x
=时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值1
1
y =；
当2
1x
=-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值2
y
=．
19．（本题满分10分）
设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x -
→<，
证明：
（1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根； （2）方程2
()()(())0
f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同
实根．
证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim 0x f x x -
→<可
知，存在01δ<<，及1
(0,)x δ∈，使得1
()0f x <，由于()f x 在[]1
,1x 上
连续，且1
()(1)0f x f ⋅<，由零点定理，存在1
(,1)(0,1)x ξ∈⊂，使得
()0
f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；
（2）由条件0()lim 0x f x x -
→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；
设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且
(0)0,()0,()0
F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔
定理，则存在1
2
(0,)(0,1),(,)(0,1),
ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1
212,()()0
F F ξ
ξξξ''≠==，
也就是方程2
()()(())0
f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．
20．（本题满分11分） 已知平面区域{}
2
2(,)|2D x y x
y y =+≤，计算二重积分2
(1)D
x d σ+⎰⎰
【详解】由于积分区域关于y 轴左右对称，所以由二重积分对称性可知20D
xd σ=⎰⎰．所以
2sin 22
220
4422
4620
(1)(1)(cos 1)2sin cos 2sin 4(4sin 4sin 2sin )54
D
D
x d x d d r rdr
d d πθ
π
π
σσθθθθθθθθθθ
π+=+=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
其中利用瓦列斯公式，知
2460
0013135315sin ,sin ,sin 2242864216
d d d ππππππ
θθπθθπθθπ⨯⨯⨯=⨯==⨯==⨯=
⨯⨯⨯⎰
⎰⎰
21．（本题满分11分）
设()y x 是区间30,2
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上的可导函数，且(1)0y =．点P 是曲线:()
L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点
()0,P Y ，法线与X 轴相交于点(),0P X ．若P p X Y =，求L 上的点的
坐标(,)x y 满足的方程．
【详解】曲线过点(,)P x y 的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=-，令
X =，得()()
p
Y
y x xy x '=-；
曲线过点(,)P x y 的法线方程为1
()()()Y y x X x y x -=--'，令0Y =，得()
p X x yy x '=+．
由条件P
p
X
Y =，可得微分方程y xy x yy ''-=+
标准形为1
1y dy x y x y y dx x y x
--+'===
++，是个一阶齐次型微分方程． 设
y
u x
=，方程化为
11
du u u x dx u -+=
+，整理，得
211du u x dx u
+=-+
分离变量，两边积分，得1arctan ln ln ln 2
u u x C +=-+
由初始条件(1)0y =，得1,0,0x y u ===，确定常数1C =
所以曲线的方程为1arctan ln ln 2y y
x x x
+=-．
22．（本题满分11分）
设三阶矩阵()1
2
3
,,A ααα=有三个不同的特征值，且3
122.
α
αα=+
（1）证明：()2r A =； （2）若1
23
,βα
αα=+，求方程组Ax β=的通解．
【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．
假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为3
1220
α
αα-+=，也就是1
2
3
,,ααα线性相关，
()3
r A <，也就只有()2r A =．
（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于3
1220
ααα-+=，所以基础解系为
121x ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
；
又由1
23
,βα
αα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
；
方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，其中k 为任意常数．
23．（本题满分11分） 设二次型2
221
2
3
1
23121323
(,,)2282f x x x x
x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下
的标准形为2
2
1122
y
y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．
【详解】二次型矩阵
21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪
⎪-⎝⎭
因为二次型的标准形为22
11
22
y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征
值，所以0A =，故 2.a =
1
141
1
1
(3)(6)
4
1
2
E A λλλλλλλ---=+=+---
令0E A λ-=得矩阵的特征值为1
2
33,6,0
λλ
λ=-==．
通过分别解方程组()0i
E A x λ-=得矩阵的属于特征值1
3
λ=-的
特征向量
11131ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪
⎭，属于特征值特征值2
6
λ
=的特征向量
21021ξ-⎛⎫
⎪=⎪
⎪⎭
，3
λ
=的特征向量
31261ξ⎛⎫⎪=⎪
⎪⎭
．
所以
()123326,,03632
6Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵．。