二面角的求法

二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半
平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，
每个半平面叫做二面角的面)。

二面角的大小可以用它的平面角度来度量，二面角的平面角
是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角的二面角叫做直二面角。

以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两
条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

二面角的大小可用平面角表
示。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说
这两个平面互相垂直。

二、二面角的基本求法
1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。

例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
求（1）二面角
11
A B C A
--的大小；
（2）平面
11
A DC与平面
11
ADD A所成角的正切值。

例2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值
为.
例3 广东高考理18.(本小题满分13分)
如图5.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，
且∠DAB=60，分别是BC,PC的中点.
(1) 证明：AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.
︒PA PD
==
⊥
图1
A
G
P
A
Ｓ
B
Ｓ
C
Ｓ
D
Ｓ
F
E
B
例3.在长方体1111ABCD A BC D -中，
AD =1AA =1，2AB =，点E 是AB 上的动点. (1)若直线1D E EC 与垂直，请确定点E 的位置，并求出此时直线1AD 与EC 所成的角; (2) 在（1）的条件下求二面角1D EC D --正切值的大小.
例4．四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点. （Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.
2．三垂线法
例5．ABCD ABEF ABCD ^平面平面，是正方形，ABEF 是矩形且AF=
1
2
AD=a ，G 是EF 的中点， （1）求证：AGC BGC ^平面平面； （2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值； （3）求二面角B AC G --的大小。

例6.P 在平面ABC 外，ABC 是等腰直角三角形，90ABC °?，PAB 是正三
角形，PA BC ^。

（1）求证：^平面PA B 平面A BC ； （2）求二面角P AC B --的大小。

P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PA AB ==E PB AE ⊥PBC 1AD =B EC D --
例7 (2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：
(Ⅱ)二面角A 1－AB －B 1的正弦值.
3．无棱二面角的处理方法
（1）找棱
例8．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。

（2）射影面积法（cos s S
q =
射影）
例9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱1AA 的中点， 求平面11PB C 与平面ABCD 所成二面角的大小。

例10 如图6，平面α外的△A 1B 1C 1在α内的射影是边长为1的正三角形ABC ，且AA 1=2，
BB 1=3，CC 1=4，求△A 1B 1C 1所在的平面与平面α所成锐二面角的余弦值
图4
B 1
A α
β
A 1
B l
E
F
课后练习
【例1】 （06四川卷理10）已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B
两点和A 、C 两点的球面距离都是
π4，B 、C 两点的球面距离是π
3
，则二面角B OA C --的大小是（ ）
A ．
π4 B ．π3 C ．π2 D ．2π
3
【例2】 长方体1111ABCD A B C D -中，1AC a =，1AC 与平面ABCD 成30 角，与平面11
B BC
C 成45 角，求二面角1B AC C --的正弦值或余弦值的大小．
【例3】 如图，已知边长为a 的正ABC ∆，以它的高AD 为折痕，把它折成一个二面角
B AD
C '--．
⑴求AB '和面B CD '所成的角；
⑵若二面角B AD C '--的平面角为120 ，求出二面角A B C D '--的余弦值．
【例4】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是AB 的中点．
⑴求二面角1A BC A --的大小； ⑵求二面角1B AC P --的大小．
F E D 1
C 1
B 1
A 1
D C B A
M
A
B
C D
B '。