吉林省吉林市2020届高三第三次调研测试(4月)试题 数学(理)【含答案】

吉林省吉林市2020届高三第三次调研测试（4月）试题
数学（理）
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目
要求。

1.
已知集合{-1,0,1,2}A =,{|lg(1)}B x y x ==-，则A
B =
A. {2}
B. {1,0}-
C. {1}-
D. {1,0,1}-
2. 已知复数z 满足
i z
1
1=-，则z =
A. i 1122+
B.
i 1122-
C. i 1122
-+
D. i 1122
--
3. 已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为
A. 3
B.
3
C. 1-
D. 1
4. 已知m n ,为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件
是
A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂
B. m ∥n m n ,,αβ⊥⊥
C. m n m ,⊥∥n ,α∥β
D. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥
5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
2
1
正视图
俯视图
侧视图
A.
10
3 B. 3
C. 83
D.
73
6. 函数f x x 2()cos(2)3
π
=+
的对称轴不可能为
A. x 56
π=- B. x 3
π
=-
C. x 6π
=
D. x 3
π
=
7. 已知f x ()为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当x (0,2)∈时，
f x x 2()2=, 则f (3)=
A. 18-
B. 18
C. 2-
D. 2
8. 已知数列n a {}为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则
a a a 768
111
++= A.
1318
B.
1318或1936
C.
139
D.
136
9. 椭圆x y 22
192
+=的焦点为F F 12,，点P 在椭圆上，若PF 2||2=，则F PF 12∠的大小为
A. 150︒
B. 135︒
C. 120︒
D. 90︒
10. 已知b a b c a 0.212
1
()2
,log 0.2,===，则a b c ,,的大小关系是
A. a b c <<
B. c a b <<
C. a c b <<
D. b c a <<
11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时， 介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三 角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如 图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正 六边形，设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率
为
A
B
C
D E F
A B C
D E
F
图1
图2
A.
213
B.
413 C. 27
D.
47
12. 已知F F 12,分别为双曲线x y C a b
22
22:1-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，
且以F F 12为直径的圆经过点P ，若PF F 12∆2
23，则双曲线的离心率为 A.
3 B. 2 C. 5
D. 3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 二项式x 5(2)-的展开式中x 3
的系数为（用数字作答） .
14. 已知两圆相交于两点A a B (,3),(1,1)-，若两圆圆心都在直线x y b 0++=上，则a b +的
值是 .
15. 若点P (cos ,sin )αα在直线y x 2=上，则cos(2)2
π
α+的值等于 .
16. 已知数列n a {}的前n 项和n n S a 14λ=-+且11
4
a =，设x x f x e e 2()1-=-+，则 f a f a f a 721222(log )(log )(log )+++的值等于 .
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分 17.（12分）
在ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,a b C C 3(sin 3)=+. （1）求角B 的大小； （2）若A 3
π
=，D 为ABC ∆外一点，DB CD 2,1==,求四边形ABDC 面积的最大值.
18.（12分）
在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习。

某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占
8
13
，统计成绩后得到如下22⨯列联表：
分数不少于120分
分数不足120分
合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时
合计
45
（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）（Ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随
机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考）
20()P K k ≥
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式n ad bc K a b c d a c b d 2
2
()()()()()
-=++++ 其中n a b c d =+++）
19.（12分）
如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ,AD AB CD DAB 1
,602
==
∠=︒，点
E F ,分别为CD AP ,的中点.
（1）证明：PC ∥面BEF ；
（2）若PA PD ⊥，且PA PD =，面PAD ⊥面ABCD ,求二面角F BE A --的余弦值.
A B
C
D
E
F
P
20.（12分）
已知倾斜角为4
π
的直线经过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 相交于A 、B 两点,且||8AB =.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）设P 为抛物线C 上任意一点（异于顶点），过P 做倾斜角互补的两条直线1l 、2l ，交抛物线C 于另两点C 、D ，记抛物线C 在点P 的切线l 的倾斜角为α，直线CD 的倾斜角为β，求证：α与β互补.
21.（12分）
已知函数2()ln (1)1(,).f x x ax a b x b a b R =-+--++∈ （1）若0a =，试讨论()f x 的单调性；
（2）若02,1a b <<=，实数12,x x 为方程2()f x m ax =-的两不等实根， 求证：12
1142a x x +>-.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y α
α
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴
正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()26
π
ρθ+
=.
（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设,A B 为曲线1C 上位于第一，二象限的两个动点，且2
AOB π
∠=,射线,OA OB 交曲线2C 分别
于,D C ，求AOB ∆面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积.
23.（10分）
已知,,a b c 均为正实数，函数222
111()||||4f x x x c a b =+
+-+的最小值为1.
证明：（1）222
49a b c ++≥；
（2）111
122ab bc ac
++≤.
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B
B
A
D
A
D
C
A
C
B
D
B
二、填空题
13. - 40； 14. -1; 15. 4
5
- ； 16. 7 三、解答题 17. 解： （1）
3(sin 3)a b C C =+,由正弦定理得: 3sin (sin 3)A B C C =
3)sin sin 3cos B C B C B C +=3sin sin sin B C B C = ----------3分 sin 0,3sin C B B ≠=即tan 3B =(0,),3
B B π
π∈∴=
---------------6分
（2）在BCD 中，2,1BD CD ==22212212cos BC D ∴=+-⨯⨯⨯54cos D =-
又3
A π
=，则ABC 为等边三角形，21sin 23
ABC
S
BC π=
⨯=53
3D ----------8分 又1
sin sin 2
BDC
S
BD DC D D =⨯⨯⨯=， 53sin 3ABCD S D D ∴=
=532sin()3
D π
+- ---------------------10分 ∴当56
D π
=
时，四边形ABCD 的面积取最大值，最大值为5324+. ------------12分 18.解： （1）
分数不少于120分
分数不足120分
合计 线上学习时间不少于5小时 15 4 19 线上学习时间不足5小时
10
16
26
合计
25
20
45
----------------------------------------------------------3分
2
2
45(1516104)7.29 6.63525201926
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯
∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” ---------------5分
（2）（I ）由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取20
9445
⨯
=人 -------------6分 X 的可能取值为0，1,2,3,4.
4
4
420(0)C P X C ==,31416420(1)C C P X C ==,224164
20
(2)C C P X C == 13416420(3)C C P X C ==,416
420
(4)C P X C == -------------------------------------------8分
（II ）从全校不少于120分的学生中随机抽取1人 此人每周上线时间不少于5小时的概率为
15
0.625
= ---------------------------10分 设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则(20,0.6)Y B ，故()200.612E Y =⨯=,()200.6(10.6) 4.8D Y =⨯⨯-= ------------12分
19．解“
（1）证明：连接AC 交BE 于H ，连接FH
,,AB CE HAB HCE =∠=∠BHA CHA ∠=∠
ABH ∴∆≌CEH ∆
AH CH FH PC ∴=∴ --------------------------------------2分
FH ⊂面,FBE PC ⊄面FBE
PC ∴面FBE -------------------------------------4分
（2）取AD 中点O ，连PO ，OB .由PA PD =，PO AD ∴⊥
面PAD ⊥面ABCD
PO ∴⊥面ABCD ，又由60DAB ∠=，AD AB =
OB AD ∴⊥
A B
C
D
E
F P
x
y
z H
O
以,,OA OB OP 分别为,,X Y Z 轴建立如图所示空间直角坐标系 -------------------6分 设2AD =，则(1,0,0)A ，3,0)B ,(1,0,0)D -,11(0,0,1),(,0,)22
P F
(2,0,0)EB DA ==，11
(,3,)22
BF =- -------------------8分
1(0,0,1)n =为面BEA 的一个法向量 ------------------------9分
设面FBE 的法向量为2000(,,)n x y z =，
依题意，2
200EB n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00002011
3022
x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令03y =026.(0,3,6)z n == -----------------------------------------10分
121212
,239cos ,39
n n n n n n =
=
=⋅
因为二面角为锐角，故其余弦值为239
13
20.解：
（1）由题意设直线AB 的方程为2
p y x =+
令11(,)A x y 、22(,)B x y ，联立222p y x x py ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩得22
304p y py -+= --------------3分 123y y p ∴+=，
根据抛物线的定义得124AB y y p p =++=，又8AB =， 48,2p p ∴==
故所求抛物线方程为2
4x y = ----------------------------------------5分
（2）依题意，设200(,)4x P x ，2(,)4C C x C x ，2(,
)4
D
D x D x
设1l 的方程为20
0()4
x y k x x -=-，与24x y =联立 消去y 得22
00440x kx kx x -+-= ----------------------------------------7分
04C x x k ∴+=，同理04D x x k +=- ---------------------------------------------8分
02C D x x x ∴+=-，直线CD 的斜率2221214()CD
x x K x x -=
-=1()4
C D x x +01
2x =- ---------10分 切线l 的斜率001
2
l x x K y x ='==。

由0l CD K K +=，得α与β互补 --------------12分 21. 解：
（1）依题意0x >，当0a =时，1
()(1)f x b x
'=
-+ --------------------------------------1分 ①当1b ≤-时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在定义域上单调递增；--------------3分
②当1b >-时，若10,
1x b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，()0f x '>；若1,1x b ⎛⎫
∈+∞
⎪+⎝⎭
，()0f x '< 故此时()f x 的单调增、减区间分别为10,
1b ⎛
⎫ ⎪+⎝
⎭、1,1b ⎛⎫
+∞ ⎪+⎝⎭
--------------------5分
（2）方法1：由2
()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-=
令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m == ------------------------7分
依题意有1122ln (2)ln (2)x a x x a x +-=+-，21
12
ln
2x x a x x ∴-=- ------------------------- 8分
要证121142a x x +>-，只需证2
121
1212
2ln
2(2)x x x x a x x x x -+>-=-（不妨设12x x <），
即证
122211
2ln x x x
x x x -<- -------------------------------10分 令
21(1)x t t x =>，1
()2ln ,g t t t t
=-+ 22211
()1(1)0g t t t t
'=
--=--<， ()g t ∴在(1,)+∞单调递减，()(1)0g t g ∴<=，从而有
12
11
42a x x +>- -------------12分
方法2：由2
()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-=
令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m ==，1
()(2)g x a x
'=-- -----------------7分 当1(0,
)2x a ∈-时()0g x '>，1(,)2x a
∈+∞-时()0g x '<， 故()g x 在1(0,)2a -上单调递增，在1
(,)2a
+∞-上单调递减， -----------------8分
不妨设12x x <，则121
02x x a
<<<-，
要证
121142a x x +>-，只需证212(42)1
x x a x <--，易知221(0,)(42)12x a x a ∈---， 故只需证212()(
)(42)1x g x g a x <--，即证2
22()()(42)1
x g x g a x <-- --------------------10分
令()()(
)(42)1x h x g x g a x =---，（1
2x a
>-），
则()2
1()()(
)(42)1
421x
h x g x g a x a x '''=+
----⎡⎤⎣⎦
=()21(2)1(2)1421a x a x x x a x ----⎡⎤+⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎣⎦=()()2
24(2)210421a a x a x ----⎡⎤⎣⎦<--⎡⎤⎣⎦
--------11分
（也可代入后再求导）
()h x ∴在1,2a ⎛⎫
+∞
⎪-⎝⎭
上单调递减，1()()02h x h a ∴<=-， 故对于1
2x a
>-时，总有()(
)(42)1x g x g a x <--。

由此得121142a x x +>- -------------12分 22. 解：
（1）由曲线1C 的参数方程为3sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数得2213x y += -------2分 曲线2C 的极坐标方程为sin()26
π
ρθ+
=即sin cos
cos sin
26
6
π
π
ρθρθ+=
340x -= --------------------------------------4分
（2）依题意得1C 的极坐标方程为
2222cos sin 13
ρθ
ρθ+= ---------------------------- 5分
设1(,)A ρθ,2(,)2B π
ρθ+,3(,)D ρθ,4(,)2
C π
ρθ+ 则
222
2
11
cos sin 13
ρθ
ρθ+=，
2
22222sin cos 13
ρθ
ρθ+=，故
2
2
121
1
4
3
ρρ+
=
------------7分 2
2
12
122
1
1
43ρρρρ∴
≤
+
=
，当且仅当12ρρ=（即4
π
θ=）时取“=” ------------------8分 故121324AOB S ρρ∆=≥，即AOB ∆面积的最小值为3
4 -----------------------------9分 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==
++4
8cos 3π
== 故所求四边形的面积为329
844
-= ------------------------------------------10分
23. 证明 （1）
,,0a b c >，∴222111()4f x x x a b c =+
+-+222111()4x x a b c ≥+--+222
1114a b c =++ ∴
222111
4a b c
++1= -----------------------------------------------3分 由柯西不等式得222(4)a b c ++222111()4a b c
++2
(111)9≥++=
当且仅当23a b c ===时取“=”。

∴22249a b c ++≥ -----------------------5分
（2）
22112,a b ab +≥22111,4b c bc +≥22
111
4a c ac
+≥ （以上三式当且仅当23a b c ===时同时取“=”） ---------------------------------7分 将以上三式相加得211ab bc ac ++≤222111
2()24a b c
++= 即111
122ab bc ac
++≤ ---------------------------------------------10分。