浙江省台州市三门县第二教研片八年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版

浙江省台州市三门县2015-2016学年第二教研片八年级数学上学期
期中试题
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．下列汽车标志中不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）
A．2cm，3cm，3cm B．4cm，4cm，4cm
C．3cm，4cm，7cm D．1cm， cm， cm
3．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
4．如图，已知∠ABC=∠DCB，添加一个条件使△ABC≌△DCB，下列添加的条件不能使△ABC ≌△DCB的是（）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．AC=DB D．OB=OC
5．下列能确定△ABC为等腰三角形的是（）
A．∠A=50°、∠B=80°B．∠A=42°、∠B=48°
C．∠A=2∠B=70°D．AB=4、BC=5，周长为15
6．如图，一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（）
A．60° B．75° C．80° D．85°
7．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB=125°，则∠BAC等于（）
A．70° B．55° C．45° D．40°
8．将一个多边形截去一角（截去部分为一个三角形）得到一个新多边形的内角和为1800°，则原多边形的边数是（）
A．11 B．12 C．13 D．以上都是
9．如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（）
A．∠1+∠2=2∠A B．∠2﹣∠A=2∠1 C．∠2﹣∠1=2∠A D．∠1+∠A=∠2
10．如图，已知正方形ABCD，对角线的交点M（2，2）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M的坐标变为（）
A．（﹣2012，2） B．（﹣2012，﹣2）C．（﹣2013，﹣2）D．（﹣2013，2）
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．若一个多边形每个内角为160°，则这个多边形的边数是．
12．如图，△ABC和△DEF全等且BC=EF，则DF= cm，∠E= 度．
13．如图，四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，点E、F是对角线BD上的两点，若要使△ABE≌△CDF，则还应当补充一个条件：．（填一个即可）
14．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点C的坐标是．
15．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=3cm，BC=5cm，点D、E分别在AC、AB上，且△BCD和△BED关于BD对称，则△ADE的周长为cm．
16．如图，∠MON=30°，点B1、B2、B3…和A1、A2、A3…分别在OM和ON上，且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…分别为等边三角形，已知OA1=1，则△A2014B2014A2015的边长为．
三、解答题（本大题有7小题，第17～19题每题10分，第20～22题每题12分，23题14分，共80分）
17．如图，点B、C、D在同一直线上，AB=AD=CD，∠C=35°．求∠BAD的度数．
18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）在图中分别作出△ABC关于x、y轴的对称图形△A1B1C1和△A2B2C2．
（2）直接写出这两个三角形各顶点的坐标．
19．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E，使CE=CD．则DB和DE是否相等？为什么？
20．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．
（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．若CM=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，求点C到公路ME的距离．
21．如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE∥AO交OB于E OE=20cm，求CD 的长．
22．问题背景：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
23．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．
2015-2016学年浙江省台州市三门县第二教研片八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．下列汽车标志中不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）
A．2cm，3cm，3cm B．4cm，4cm，4cm C．3cm，4cm，7cm D．1cm， cm， cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
【解答】解：A、2+3=5＞3，能组成三角形；
B、4+4=8＞4，能组成三角形；
C、3+4=7，不能够组成三角形；
D、1+＞，能组成三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于
最长那条就能够组成三角形．
3．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
4．如图，已知∠ABC=∠DCB，添加一个条件使△ABC≌△DCB，下列添加的条件不能使△ABC≌△DCB的是（）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．AC=DB D．OB=OC
【考点】全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、∵OB=OC，
∴∠DBC=∠ACB，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABO=∠DCO，
∵∠AOB=∠DOC，∠A+∠ABO+∠AOB=180°，∠D+∠DCO+∠DOC=180°，
∴∠A=∠D，
∵∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS定理，
∴能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
5．下列能确定△ABC为等腰三角形的是（）
A．∠A=50°、∠B=80°B．∠A=42°、∠B=48°
C．∠A=2∠B=70°D．AB=4、BC=5，周长为15
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】A、由∠A=50°、∠B=80°，利用三角形内角和定理，可求得∠C的度数，继而可得∠A=∠C，则可判定△ABC为等腰三角形；
B、由∠A=42°、∠B=48°，利用三角形内角和定理，可求得∠C的度数，则可判定△ABC 不是等腰三角形；
C、由∠A=2∠B=70°，利用三角形内角和定理，可求得∠C的度数，则可判定△ABC不是等腰三角形；
C、由AB=4、BC=5，周长为15，可求得第三边长AC的长，继而可判定△ABC不是等腰三角形．
【解答】解：A、∵∠A=50°、∠B=80°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=50°，
∴∠A=∠C，
∴△ABC为等腰三角形；
故本选项能确定△ABC为等腰三角形；
B、∵∠A=42°、∠B=48°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
故本选项能确定△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠A=2∠B=70°，
∴∠B=35°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
故本选项能确定△ABC不是等腰三角形；
D、∵AB=4、BC=5，周长为15，
∴AC=15﹣4﹣5=6，
∴AB≠BC≠AC，
∴△ABC不是等腰三角形；
故本选项能确定△ABC不是等腰三角形．
故选A．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定以及三角形内角和定理．注意掌握等角对等边定理的应用．
6．如图，一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（）
A．60° B．75° C．80° D．85°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°，
∴∠α=180°﹣45°﹣60°=75°．
故选B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及三角板的常识，熟练掌握定理是解题的关键．
7．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB=125°，则∠BAC 等于（）
A．70° B．55° C．45° D．40°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】设∠BAC=x，根据已知可以分别表示出∠ABD和∠BAD，再根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．
【解答】解：设∠BAC=x，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣x），
∵BD是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠ABD=（180°﹣x），∠DAB=x，
∵∠ABD+∠DAB+∠ADB=180°，
∴（180°﹣x）+x+125°=180°，
∴x=40°．
故选D．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
8．将一个多边形截去一角（截去部分为一个三角形）得到一个新多边形的内角和为1800°，则原多边形的边数是（）
A．11 B．12 C．13 D．以上都是
【考点】多边形内角与外角．
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【解答】解：设多边形截去一个角的边数为n，
则（n﹣2）180°=1800°，
解得n=12，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原来多边形的边数是11或12或13．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．
9．如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（）
A．∠1+∠2=2∠A B．∠2﹣∠A=2∠1C．∠2﹣∠1=2∠A D．∠1+∠A=∠2
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】证明题．
【分析】如图，分别延长CEBD交于A′点，然后利用三角形的外角与内角的关系可以得到∠2=∠EA′A+∠EAA′，∠1=∠DA′A+∠DAA′，而根据折叠可以得到∠EA′A=∠EAA′，∠DA′A=∠DAA′，然后利用等式的性质即可求解．
【解答】解：如图：分别延长CE、BD交于A′点，
∴∠2=∠EA′A+∠EAA′，∠1=∠DA′A+∠DAA′，
而根据折叠可以得到∠EA′A=∠EAA′，∠DA′A=∠DAA′，
∴∠2﹣∠1=2（∠EAA′﹣∠DAA′）=2∠EAD．
故选C．
【点评】本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．
10．如图，已知正方形ABCD，对角线的交点M（2，2）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M的坐标变为（）
A．（﹣2012，2） B．（﹣2012，﹣2）C．（﹣2013，﹣2）D．（﹣2013，2）
【考点】规律型：点的坐标．
【分析】根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．
【解答】解：∵对角线交点M的坐标为（2，2），
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣1，﹣2），即（1，﹣2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2﹣2，2），即（0，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣3，﹣2），即（﹣1，﹣2），
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），
∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（﹣2012，2）．
故选A．
【点评】此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2）是解此题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．若一个多边形每个内角为160°，则这个多边形的边数是18 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】本题需先根据内角度数计算公式，列出式子解出结果，即可求出边数．
【解答】解：根据题意得：
360°÷（180°﹣160°）
=360°÷20°
=18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了多边形内角的计算方法，在解题时要根据内角度数计算公式，列出式子是本题的关键．
12．如图，△A BC和△DEF全等且BC=EF，则DF= 5 cm，∠E=60 度．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据图形得出∠B=∠F，根据全等三角形的性质得出∠E=∠C，∠A=∠D=66°，DF=AB=5cm，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：从图中可知：∠B=∠F=54°，
∵△ABC和△DEF全等且BC=EF，
∴∠E=∠C，∠A=∠D=66°，DF=AB=5cm，
∴∠E=180°﹣∠D﹣∠F=180°﹣66°﹣54°=60°．
故答案为：5；60．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键．
13．如图，四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，点E、F是对角线BD上的两点，若要使△ABE≌△CDF，则还应当补充一个条件：BE=DF ．（填一个即可）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】添加BE=DF，首先由AB∥CD可得∠ABE=∠CDF，再加上AB=CD可利用SAS判定
△ABE≌△CDF．
【解答】解：添加BE=DF．
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
故答案为：BE=DF．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点C的坐标是（﹣2，2）．
【考点】坐标与图形变化-平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，2），即（2，2），
则点B关于y轴的对称点C的坐标是：（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
15．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=3cm，BC=5cm，点D、E分别在AC、AB上，且△BCD和△BED关于BD对称，则△ADE的周长为 4 cm．
【考点】轴对称的性质．
【分析】先根据△BCD和△BED关于BD对称，得出△BCD≌△BED，故BE=BC，由此可得出AE 的长，由△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AC即可得出结论．
【解答】解：∵△BCD和△BED关于BD对称，
∴△BCD≌△BED，
∴BE=BC=5cm，
∴AE=6﹣5=1，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AC=1+3=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此
题的关键．
16．如图，∠MON=30°，点B1、B2、B3…和A1、A2、A3…分别在OM和ON上，且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…分别为等边三角形，已知OA1=1，则△A2014B2014A2015的边长为22013．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】规律型．
【分析】首先由△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…分别为等边三角形，∠MON=30°，求得A1B1=OA1=1，A2B2=OA2=OA1+A1A2=2，继而可得：△A3B3A4的边长为4，△A4B4A5的边长为8，则可得规律：△A n B n A n+1的边长为：2n﹣1；继而求得答案．
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，
∴∠OB1A1=∠B1A1A2﹣∠MON=30°，
∴∠OB1A1=∠MON，
∴A1B1=OA1=1，
∴△A1B1A2的边长为1，
同理：∠OB2A2=∠MON=30°，
∴A2B2=OA2=OA1+A1A2=2，
∴△A2B2A3的边长为2，
同理可得：△A3B3A4的边长为4，△A4B4A5的边长为8，
∴△A n B n A n+1的边长为：2n﹣1；
∴△A2014B2014A2015的边长为：22013．
故答案为：22013．
【点评】此题考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意得到规律：△A n B n A n+1的边长为：2n﹣1是解此题的关键．
三、解答题（本大题有7小题，第17～19题每题10分，第20～22题每题12分，23题14分，共80分）
17．如图，点B、C、D在同一直线上，AB=AD=CD，∠C=35°．求∠BAD的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】题中给出了相等的边，以及角的度数，再让求其它角的度数，这就需要利用“等边对等角”、“三角形的内角和是180°”，以及三角形的内角与外角的关系进行解答．
【解答】解：∵AD=DC，∴∠DAC=∠C=35°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=70°．
∵AB=AD，∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=180°﹣70°﹣70°=40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）在图中分别作出△ABC关于x、y轴的对称图形△A1B1C1和△A2B2C2．
（2）直接写出这两个三角形各顶点的坐标．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴，y轴的对称点，然后顺次连接；
（2）分别写出各顶点的坐标．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
；
（2）A1（﹣2，﹣3），B1（﹣6，0），C1（﹣1，0），A2（2，3），B2（6，0），C2（1，0）．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
19．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E，使CE=CD．则DB和DE是否相等？为什么？
【考点】等边三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】DB=DE，理由为：由三角形ABC为等边三角形，得到三内角为60°，再由BD为中线，利用三线合一得到BD为角平分线，可得出∠DBC=30°，由CE=CD，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠ACB为三角形DCE的外角，利用外角的性质得到∠DEC=30°，等量代换得到一对角相等，利用等角对等边即可得证．
【解答】解：DB=DE，理由为：
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°（等腰三角形三线合一），
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED，
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，
∴∠DBC=∠DEC，
∴DB=DE（等角对等边）．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
20．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．
（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．若CM=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，求点C到公路ME的距离．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，在Rt△CMD中，直接利用含30°直角三角形的关系求得CD的长即可．
【解答】解：（1）答图如图：
（2）作CD⊥MN于点D，
由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，
在Rt△CMD中，
CD=CM=×2（+1）=（+1）km，
所以点C到公路ME的距离为（+1）km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键．
21．如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE∥AO交OB于E OE=20cm，求CD 的长．
【考点】角平分线的性质；平行线的性质；三角形的外角性质；含30度角的直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】过C作CF⊥OB，垂足为F．由平行线的性质易求得∠ECO=∠AOC=15∴OE=CE，∴∠FEC=∠EOC+∠ECO=30°，根据直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的性质解可求解．
【解答】解：
过C作CF⊥OB，垂足为F
∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，
∴CF=CD，
∵CE∥AO，∠EOC=∠AOC=15°，
∴∠ECO=∠AOC=15°
∴OE=CE，
∵∠FEC=∠EOC+∠ECO=30°
∴CF=CE==10cm，
∴CD=10cm．
【点评】此题主要考查角平分线的性质，综合考查了平行线的性质和直角三角形的性质，辅助线的作法是关键．
22．问题背景：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF ．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，
且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题．
【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为 EF=BE+DF．
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．
23．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】新定义．
【分析】（1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．
（2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．
【解答】解：（1）如图2作图，
（2）如图3 ①、②作△ABC．
①当AD=AE时，
∵2x+x=30+30，
∴x=20．
②当AD=DE时，
∵30+30+2x+x=180，
∴x=40．
所以∠C的度数是20°或40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，学生学习的理解能力及动手创新能力，知识
方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目．。