正交多项式回归设计及参数设计

• 配一个4次多项式的回归方程
ˆ b0 b1x b2 x2 +b3 x3 +b4 x4 y
• 将x变为一组标准等距点x’（1，2，…，7） • 利用n=7做正交多项式，则回归方程变为
x 16 x 2
ˆ b0 b11 ( x) b22 ( x)+b33 ( x)+b44 ( x) y b0 b111 ( x) b22 2 ( x)+b333 ( x)+b44 4 ( x)
b0 y b11 ( x) b22 ( x) L bk k ( x)
• 为简化计算，同时令 （即正交性）
x 0, i 1, 2,L k x x 0, i j
t 1 i t j t t 1 n i t
n
• 求解偏回归系数和截距
y b0 b1x b2 x2 +L +bk xk
• 设ψ1（x）、 ψ2（x）、…、 ψk（x）分别为x的一、二、 及k次多项式，则可见
y b0 b11 ( x) b22 ( x)+L +bk k ( x)
Cont…
• k次线性回归方程的偏回归系数由正规方程组决定
lk1b1 lk 2b2 L lkk bk lky
• 每次多项式φi（x）的系数bi及相应的Bi只与yt及φi（x）有 关，而不随其他各次多项式的增减而变化；在整个回归中 多配一项φi（x）将使回归平方和增加一项biBi，故第i次多 项式φi（x）的效应为Pi=biBi=Bi² /si，而回归平方和则是各 次效应的和 • 方差分析表
Cont…
• 为考察甲醛浓度x与缩醛化度y之间的定量关系，对7种不 同甲醛浓度各进行了若干次试验，测出各种浓度的平均缩 醛化度
• 对于给定的n，相应的λ i及ψi（x）在1，2，…，n各整数 n 点的数值及 si i2 ( xt ) 均已制表
t 1
Cont…
Cont…
Cont…
Cont…
Cont…
利用正交多项式回归的计算步骤
• 根据因素水平数n，设需配一个k次多项式（k≤5），n个水 平至多配（n-1）阶的多项式 • 依次求 1 y yt Bi liy i xt yt n
yt yt1 yt 2 L ytr , t 1, 2,L , n ，r为同一因素水 • 式中， 平下的重复试验次数
• 求出各个b和b0，即可建立回归方程
Cont…
4 3 L 4 2 安排 • 对于多因素等水平间距试验，选用正交表 16
Cont…
• 标准等距点的转化（式1-6）
5 2
L p 1 ( x) 1 ( x) p ( x) p 2 n2 p 2 4 4 p 1
2
p 1 ( x)
• 由于ψi（x）的值并非均为整数，则通常引进适当的系数， 使其在几个整数点上的值变为整数 i ( x) i i ( x)
Cont…
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• 参数设计（Parameter Design） 在系统设计的基础上，对影响产品特征的各项参数及 水平，运用试验设计的技术方法，目的在于寻找试验因素 的最优参数组合
• 常见分类 • “直接择优” 若性能指标具有某个确定的目标值，或 具有越大（或越小）越好之特性，试验目的仅在于使指标 值达到或接近优良状态 • “稳定性择优” 通过良好的参数组合，来提高产品指标 的稳定性。一般地，按照一组优良参数设计制造的产品， 将表现在其目标特性的波动性小，稳定性好。
Cont…
Cont…
• 由于一次项高度显著，故线性方程为
28.971 0.5296 x x
ˆ b0 b11 ( x) b0 b111 ( x) y
x 16 28.971 0.5296 4 2 22628 0.2643x
• 由于三次项与四次项不显著，故无需再配
Cont…
• 各个点的回归计算值与实测值的比较
正交多项式回归设计与回归方程的建立
• 若用正交表安排试验，将因素水平的间距取为相等，则可用 正交多项式回归来处理正交试验的结果，定量地描述响应值 与各因素间的关系 • 各因素的总效应函数可表示为各因素效应之和 y b0 P(A) P(B) P(C) L
• 美国质量管理专家JurAn博士认为，设计质量占整个产品 质量的比率为60% • 日本质量工程专家田口玄一博士认为，设计质量（包括产 品设计与工艺设计）占整个产品质量的比率为70%左右
• 田口博士在20世纪70年代首次提出“三次设计”的概念。 认为产品的质量，首先是设计出来的，其次才是创造和检 验出来的
i a t i 3 2 i a
b2 1.21103
i
(3)*0.550 1*0.584 1*0.500 3*0.492 12*20 1.075 103
b4 8.75 104
b5 8.08 104
1 n 1 b0 yt 2.216 0.04429 nr t 1 12*4
(x ) y b (x ) 1 b y y n
i t i 2 i t
t
0
t
Cont…
• 正交多项式
2
xt的取值为标准等距点，n为因素的水平数
0 ( x) 1, 1 ( x) x x
3
2 ( x) x x n 2 1 12 3 ( x) x x 3n 2 1 x x 20
其余回归系数同理计算
Cont…
• 将上述回归系数带入效应函数公式，即可得回归方程
• 回归方程及各回归系数的假设检验
Cont…
• 以上为最优回归方程 • 手工计算过于繁琐，故需借助软件实现
产品的三次设计
• 一种产品的质量，是设计质量、制造质量和使用质量的总 和；而前者是形成产品质量关键的第一步，以防“先天不 足，后患无穷”
Cont…
• 三次设计的特点
• 基础设计 不用试验设计 • 参数设计 不需要增加单位制造费就能提高产品质量，是 最便宜的设计 • 容差设计 只能在参数设计之后进行，且产品的单位制造 费用很高
• 稳定性择优设计就集中在如何有效地进行参数设 计阶段
T 80 Td d 20
t 0 d td 10
T 400 Ta a 200
ta
ta 0 5
Tat
Tat 2100 200
tat
tat 0 5
• 按式1-6正交多项式展开，对式1-2（二水平），各因素只 需配1项；而对式3-6（四水平），各因素则需配3项（具 体展开式见后页） • 由于二水平因素需进行8次试验，每次试验进行三次重复 测定，故总的重复次数r =8*3次；同理，各个四水平因素 的正交试验次数则为r =4*3次 • 计算各自回归系数

bi Bi si , b0 y , i 1, 2,L , t,L , n
• 回归方程为
ˆ b0 b11 ( x) b22 ( x)+L +bk k ( x) y b0 b111 ( x) b22 2 ( x)+L +bk k k x y r x
i t 2 i t
t
B i rSi
1 n b0 yt nr t 1
Cont…
b1 T y r T
i d 2 i d t
Bi 24Si
(1) *1.093 1*1.033 24* 2 1.25 103 T y B b r T 12S
• 前提 仅适用于自变量取等间隔数值的情况
多项式回归
• 若x可控，且其水平取值的间距为h（并非均为1），则任 一组等距点为x1=a+h，x2=a+2h，…，xn=a+nh • 通过下式转化为一组标准等距点（h=1）1,2,…,t,…,n
xi xi a h
• 设对应于xi = t的试验结果为yt，则可产生一个k次多项式
Cont…
• 由于二次项也显著，故二次方程为
ˆ b0 b11 ( x) b2 2 ( x) b0 b111 ( x) b2 2 2 ( x) y 72 1 2 28.971 0.5296 x x 0.04762 x x 12 15.961 0.8357 x 0.011905x 2
正交多项式回归设计 & 参数设计
正交多项式回归设计
• 定义 将正交试验法与多项式回归分析结合 • 特点 兼顾了两种技术的优点，且计算简单
• 正交试验法 可用较少的试验次数，获得能反映全面试 验的情况；通过对试验结果的ANOVA，可估计若干因素 影响的相对大小及因素间的相互关系，并利用此种关系在 一定置信度下由各因素的取值去预测响应值的范围 • 多项式回归 可将响应值控制在某一区间内，反向确定 各个影响因素的取值范围；尤其当影响因素个数较多，处 理数据的工作量较大时可大大简化计算
• 容差设计（Tolerance Design） • 对产品的质量、成本和市场等问题综合考虑，做出规划 • 基本思想 • 参数设计只决定各因素的参数中心值，但其实各参数均由 一个公差（公差的一半即容差）。明显地，当各因素的参 数在公差范围内变动时，产品的性能也随之改变 • 要使产品的性能接近目标值，各因素的公差应该多少为宜？ 这就是第三次设计需要考虑的重点问题 • 一般地，除了使产品满足容差的要求，还需要考虑主要影 响因素，是否可以用波动范围较小的一级品、二级品替代 三级品，从而提高产品质量，降低质量损失，增加经济收 益，但同时成本会上升，因此需要衡量得失利弊
这就是第三次设计需要考虑的重点问题一般地除了使产品满足容差的要求还需要考虑主要影响因素是否可以用波动范围较小的一级品二级品替代三级品从而提高产品质量降低质量损失增加经济收益但同时成本会上升因此需要衡量得失利弊基础设计不用试验设计参数设计不需要增加单位制造费就能提高产品质量是最便宜的设计容差设计只能在参数设计之后进行且产品的单位制造费用很高稳定性择优设计就集中在如何有效地进行参数设计阶段理想质量用户总期望购买的产品在给定的使用条件下和使用寿命期内既能达到既定的目标性能又无有害的副作用这也是用户评价质量的参考点实际上由于产品间的差异使用环境的不同或产品提前老化等诸多原因理想质量会有不同程度的偏离自然也就给供需双方乃至社会带来不同程度的损失一般认为理想产品的损失为0损失越小则质量越高需方人数将越多供方利润也越丰厚产品的特性值y不仅与目标值m之间存在差异由表示容差同时还可能因为来自生产条件使用环境即时间因素等多方面的干扰而发生变化产生波动造成损失当产品的y落在mm的公差范围内即为合格品设质量波动超过作为不合格处理时给供方造成的损失为a元
式中，P(A)、P(B)、P(C)…分别为因素A、B、C等的效 应函数，可按正交多项式展开
Cont…
• 各项回归系数bk和常数项b0的计算
bk
x y r x
i t 2 i t
t
Bi rSi
1 n r 1 n b0 ytj yt nr t 1 j 1 nr t 1
Cont…
• 本质 乃产品质量的优化设计，属于三次设计的核心阶段； 主要利用非线性设计的性质减少输出响应的波动，减少质 量损失
• • • • • •
步骤 分析、明确问题的提出，选择因素及其水平 选择正交设计表，确定试验方案 进行试验，测出所需的响应特征值 进行数据的统计分析 确定最佳方案
Cont…
Cont…
• 概念 设计某种性能的产品以满足市场的需求，一般要经历 三个阶段，系统设计、参数设计与容差设计
• 本质 在专业设计的基础上，用正交设计的方法选择最佳组 合和最合理的容差范围，尽量用价格低廉的、低等级的零 部件进行组装的优化设计方法
Cont…
• 系统设计（System Design） 又称基础设计，为三次设计的第一步 专业技术人员运用专业知识与技术，利用系统工程的思想 与方法，对产品的结构、性能、寿命、材料等进行综合设 计，以探讨产品如何最经济、最合理地满足市场用户需求 • 该阶段质量的好坏完全取决于专业技术人员的能力和经验； 而试验设计方法在此阶段不起任何作用 • 故需要数学领域专家配合专业技术人员，尽力寻找产品性 能指标与系统中各参数（即因素）之间的函数关系，才会 为后续的参数设计带来极大方便
4 2
n 1 x 2
4 ( x) x x 3n 2 13 x x 14 3 n 2 1 n 2 9 560 5 ( x) x x 5 n 2 7 x x 18 15n 4 230n 40 x x 1008