【试题】黄冈市09届第二轮复习高三数学理科交流试题4

【关键字】试题
09届高考理科交流试题
红安县第二中学
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 已知，其中、是实数，是虚数单位，则（）
2．已知全集，集合，，则（）
3．若展开式的第项为，则的值是（）
4．等差数列中，，则的值为（）
5．已知命题，命题；如果“且”与“非”同时为假命题，则满足条件的为（）
6. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4
后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2003个数是（）7．如图，设、、、为球上四点，若、、两两互相垂
直，且，，则、两点间的球面距离为（）
8. 某区组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为（），则下列命题不
正确的是（）
该市这次考试的数学平均成绩为分；
分数在分以上的人数与分数在分以下的人数相同；
分数在分以上的人数与分数在分以下的人数相同；
该市这次考试的数学成绩的标准差为.
9．已知点、、不共线，且有，则有（）
10. 如图，在平面直角坐标系中，、、，映射将平面上的点对应到另一个平面直角坐标系上的点，则当点沿
着折线运动时，在映射的作用下，动点的轨迹是（）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知函数的定义域为，，则的取值范围是.
12. 设，要使函数在内连续，则的值为.
13. 已知，为原点，点的坐标满足，则的最大值是，此时点的坐标是.
14．如图，边长为的正中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有
（只需填上正确命题的序号）。

①动点在平面上的射影是线段
②三棱锥的体积有最大值；
③恒有平面平面；
④异面直线与不可能互相笔直；
⑤异面直线与所成角的取值范围是.
15. 关于的不等式：至少有一个负数解，则的取值范围是.
11.
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）
已知函数的最大值为，的图像的相邻两对称轴间的距离为，在轴上的截距为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设数列，为其前项和，求.
【解】（Ⅰ）∵，依题意：，∴.…1′
又，∴，得.…3′
∴. 令得：，又，∴.
故函数的解析式为：………6′
（Ⅱ）由知：.
当为偶数时，………9′ 当为奇数时，. ∴.………12′ 17．（本小题满分12分）（郑州市08年第二次质量预测题） 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有、、、四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为、，记.
（Ⅰ）分别求出取得最大值和最小值时的概率； （Ⅱ）求的分布列及数学期望。

【解】（Ⅰ）掷出点数可能是：、、、. 则分别得：、、、，于是的所有取值分别为：、、. 因此的所有取值为：、、、、、.………2′
当121x x ==时，()()2
2
1233x x ξ=-+-可取得最大值8，()111
84416P ξ==
⨯=………4′ 当123x x ==时，()()22
1233x x ξ=-+-可取得最小值0，()11104416
P ξ==⨯=………6′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8.
且()()10816P P ξξ====；()4116P ξ==；()4216P ξ==；()2416P ξ==；()4
516
P ξ==.
所以ξ的分布列为：
即ξ的期望111111
012458316448416
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………12′ 18．（本小题满分13分）（重庆市高三学生学业质量调研抽测二理科）
在五棱锥P ABCDE -中，2PA AB AE a ===，22PB PE a ==，BC DE a ==，EAB ∠= 90ABC DEA ∠=∠=.
（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCDE ； （Ⅱ）求二面角A PD E --的大小。

【法一】（Ⅰ）在PAB ∆中，∵2PA AB a ==，22PB a =， ∴222PA AB PB +=，∴PA AB ⊥.………2′ 同理PA AE ⊥，∴PA ⊥平面ABCDE .………4′ （Ⅱ）作点A 在PE 上的射影G ，
再作点G 在PD 上的射影H ，连AH .………5′ ∵PA ⊥平面ABCDE ，∴PA DE ⊥，而DE AE ⊥，
∴DE ⊥面PAE ，DE ⊂面PAE ，∴面PAE ⊥面PDE ，又AG PE ⊥ ∴AG ⊥面PDE ，∵GH PD ⊥，∴由三垂线定理得AH PD ⊥. ∴AHG ∠为二面角A PD E --的平面角………9′ 在Rt PAE ∆中，2PA AE a ==，22PE a =，∴22PA AE
AG a PE
⋅==. 在Rt AED ∆中，2AE a =，ED a =，∴5AD a =.
∴在Rt PAD ∆中，3PD a =，∴25PA AD a
AH ⋅=
=
∴在Rt AGH ∆中，2310
253AG a sin AHG AH a ∠===. ∴二面角A PD E --的大小是310
.………13′ 【法二】以A 点为坐标原点，以AB 、AE 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -.
则()0,0,2P a 、()2,0,0B a 、()2,,0C a a 、(),2,0D a a 、()0,2,0E a .………3′ （Ⅰ）∵()0,0,2AP a =，()2,0,0AB a =，()0,2,0AE a =.
∴2000020AP AB a a ⋅=⨯+⨯+⨯=，∴AP AB ⊥，同理AP AE ⊥. ∴PA ⊥平面ABCDE .………6′
（Ⅱ）取11,,02m ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，()0,1,1n =
则()11,,0,2,002m AD a a ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭，()11,,00,0,202m AP a ⎛
⎫⋅=-⋅= ⎪⎝
⎭
∴m AD ⊥且m AP ⊥，即m 是平面PAD 的法向量；………8′
同样()()0,1,1,0,00n ED a ⋅=⋅-=，()()0,1,1,2,20n PD a a a ⋅=⋅-=， ∴n ED ⊥且n PD ⊥，即m 是平面PDE 的法向量。

………10′ 设二面角A PD E --的平面角为θ. 则1210542
m n cos m n
θ⋅=
=
⋅⋅. 故二面角A PD E --的大小是10
………13′ 19．（本小题满分13分）
已知()()
21f x ln x ax =++（0a ≤）. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性。

（Ⅱ）证明：44411111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+⋅+⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（*n N ∈，2n ≥，其中无理数 2.71828
e =）
【解】（Ⅰ）()222
211ax ax x a
f x a x x ++'=-+=
++………1′ 当0a =时，()2
2001x
f x x x '=
>⇔>+ ∴()f x 在()0,+∞单调递增，在(),0-∞单调递减。

………3′
当0a <且220ax x a ++=的判别式0∆≤，即1a -≤时，()0f x '≤对x R ∈恒成立。

∴()f x 在R 上单调递减。

………6′
当10a -<<时，由()0f x '>得：220ax x a ++>
22
1111a a x +---<< 由()0f x '<可得：211a x -->2
11a x +-<
∴()f x 在221111a a a a ⎡+---⎢⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 在211a ⎛+--∞ ⎥⎝⎦，2
11a ⎫--+∞⎪⎪⎢⎣⎭
上单调递减。

综上所述：若1a -≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减。

………7′
（Ⅱ）由（Ⅰ）当1a =-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减。

当0x >时()()0f x f <
∴()
210ln x x +-<，即()
21ln x x +<
∴4
4411111123ln n ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+⋅+⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∴444
11111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
+⋅+⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.………13′ 20．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 满足15a =，25a =，116n n n a a a +-=+（2n ≥，*n N ∈），若数列{}1n n a a λ++是等比数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：当k 为奇数时，111143k k k a a +++<； （Ⅲ）求证：
12
1111
2
n a a a +++<（*n N ∈）. 【解】（Ⅰ）∵数列{}1n n a a λ++是等比数列
∴
()()
1
1
11111
1
6
16611n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλ--+-----+
++++++===+++++应为常数 ∴6
1λλ
=+ 得2λ=或3λ=-
当2λ=时，可得{}12n n a a ++为首项是21215a a +=，公比为3的等比数列，
则1
13152-+⋅=+n n n a a ①
当3λ=-时，{}13n n a a +-为首项是10312-=-a a ，公比为2-的等比数列， ∴()
1
13102n n n a a -+-=-- ②
①－②得， ()32n
n n a =-- ………4′ （注：也可由①利用待定系数或同除1
2
n +得通项公式）
（Ⅱ）当k 为奇数时，
1
1111342312313411+++++--++=-+k k k k k k k k a a ∴
113
411++<+k k k a a ………8′ （Ⅲ）由（Ⅱ）知k 为奇数时，
1113
1313411++++=<+k k k k k a a ………10′ ①当n 为偶数时， 2
12
1111111111333232
n n n a a a ⎛⎫+++
<+++
=-<
⎪⎝⎭ ②当n 为奇数时，
1
21211111111+++++<+++n n n a a a a a a a 211111111
1333232
n n ++⎛⎫+++=-< ⎪⎝⎭………13′ 21．（本小题满分13分）（湖北省部分重点中学08年秋第五次模拟卷）
如图，设抛物线214c y mx =：（0m >）的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以1F 、2F 为焦点，离心率1
2
e =的椭圆2c 与抛物线1c 在x 轴上方的一个交点为P .
（Ⅰ）当1m =时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线l 经过椭圆2c 的右焦点2F ，与抛物线1c 交于1A 、2A ，如果以线段12
A A 为直径作圆，试判断点P 与圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）是否存在实数m ，使得12PF F ∆的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m ；若不存
在，请说明理由．
【解】∵214c y mx =：的右焦点()2,0F m
∴椭圆的半焦距c m =，又12
e =
， ∴椭圆的长半轴的长2a m =，短半轴的长3b m =.
椭圆方程为22
2
2143x y m m
+=. （Ⅰ）当1m =时，故椭圆方程为22
143
x y +=，
右准线方程为：4x =.………3′
（Ⅱ）依题意设直线l 的方程为：1x ky =+，k R ∈
联立222414
3y x
x y ⎧=⎪
⎨+=⎪⎩ 得点P 的坐标为2263P ⎛ ⎝⎭
. 将1x ky =+代入24y x =得2440y ky --=.
设()111,A x y 、()222,A x y ，由韦达定理得124y y k +=，124y y =-.
又111226,3PA x y ⎛=- ⎝⎭，222226,3PA x y ⎛=- ⎝
⎭. ∵k R ∈，于是12PA PA ⋅的值可能小于零，等于零，大于零。

即点P 可在圆内，圆上或圆外. ……………8′ （Ⅲ）假设存在满足条件的实数m ，
由222224143y mx
x y m
m ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得：2263P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. ∴22533PF m m m =+=，12743PF m PF m =-=，又126
23
F F m m ==. 即12PF F ∆的边长分别是5
3m 、63m 、
7
3
m . ∴3m =时，能使12PF F ∆的边长是连续的自然数。

……………13′
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