因式分解之提公因式法学生版

因式分解之提公因式法
【知识要点】
1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式
分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

概念巩固1
1.下列各式中①22623x y x y =；②2
43(2)(2)3x x x x x --=+--；③22(2)ab ab ab b -=-；④221(1)(1)1a a a a -+=-+=-，是因式分解的
有 .
2. 将下列各式因式分解
233x x -= 216m -=
ma mb mc ++= 269y y -+=
2．提公因式法；
（1）公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

（2）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；
②字母：各项都含有的相同字母；
③指数：相同字母的最低次幂。

（3）提公因式法：如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公
因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式
分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

（4）多项式的公因式的确定方法是：
① 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

② 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

概念巩固2
1．下列各式中，没有公因式的是（ ）
A ．33a b -与b a -
B ．mx y +与x my +
C ．2()x y +与x y --
D ．2
x xy -与()()x y x y +-
2．观察下列各组式子，其中有公因式的是（ ）
①2y x +与x y +；②3()a m n -与m n -+；③a b -与2()a b +；④22x y -与2()y x -
A ．①③
B ．②③
C ．②④
D ．③④
3．多项式2n n b b -提公因式n b 后，另一个因式是（ ）
A ．1n b -
B ．211n b
-- C ．21n b - D ．n b
【典例精析】
（一）基本分解因式
1. 把下列各式因式分解
（1）-+--+++a x
abx acx ax m m m m 2213
（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222
2.将下列各式因式分解
（1）322x x x ()()---
（2）412132q p p ()()-+-
3.将下列各式因式分解 231115255n n n x x x ++--+（1n >且是整数）= (2)(23)2(2)(32)a b a b a b a b a -----= 222()4()a b m b a ---=
212n n x xy +-=
4.将下列各式因式分解
220041(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++
++ 22(161)(116)a x y b y x -++--
2221()()2()2
a b a b ab b a ab b a -+-+-
（二） 利用提公因式法简化计算过程
5.计算：1368
987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯
6. 计算：200020012001200120002000⨯-⨯
7.计算：
1998 5.219987.4199.826⨯+⨯-⨯ 4.4513.74450.88944.50.26⨯+⨯-⨯
1(2)2(2)n n --+- 43937133⨯-⨯
（三） 在多项式恒等变形中的应用
8. 已知方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩
，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

9. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542
x x x +++的公因式，求b 、c 的值。

（四） 在代数证明题中的应用
10. 证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。

11. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。

课后作业
1. 分解因式：
（1）-+-41222332m n m n mn
（2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）
（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---322222
2. 计算：()()-+-221110的结果是（ ）
A. 2100
B. -210
C. -2
D.
-1
3. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。

4. 证明：812797913--能被45整除。

5. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()
…，且当x =0时，求原式的值。