高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算第二课时指数幂及其运算性质

数为分数,化带分数为假分数进行( jìnxíng)运算,便于进行( jìnxíng)乘除、乘方、开方运算,
以达到化繁为简的目的.
2021/12/12
第二十二页，共三十七页。
即时训练 2-1:计算下列各式的值:
2
(1)1.
5
1 3
×(-
7
)0+80.25×
4
2
+(
3
2
×
6
3 )6-
2 3 3
;
解:(1)原式=(
2
)
1 3
×1+(23)
1 4
×
1
24
+(
1
23
1
× 32
)6-(
2
)
1 3
=2+4×27=110.
3
3
2021/12/12
第二十三页，共三十七页。
7
(2) 3 a 2 a3 ÷ a 3 8 3 a15 ÷ 3 a3 a1 .
解:(2)原式=
3
7 3
a2a 2
÷
8 15
a 3a 3
2021/12/12
第二十七页，共三十七页。
3
3
(3) a2 a 2 .
1
1
a2 a 2
解:(3)由于
3
a2
-
3
a2
=(
1
a2
)3-(
1
a2
)3,
3
3
1 a2
1
a2
a
a1
1
a2
1
a 2
所以有 a2 a 2 =
1
1
1
1
a2 a 2
a2 a 2
=a+a-1+1
=7+1
=8.
2021/12/12
1
a2
-
1
a2
=±
5.
2021/12/12
第二十九页，共三十七页。
方法技巧
条件求值问题的基本步骤是先找条件和所求之间的关系,然后进行化简,
最后代值运算,求值过程中要注意平方差公式、立方差公式以及一元二次方程中根与系数
(xìshù)关系的灵活应用.
2021/12/12
第三十页，共三十七页。
即时训练 3-1:已知 a2x=
幂;二是由外向里化为分数指数幂.
2021/12/12
第十六页，共三十七页。
即时训练 1-1:将下列根式化为分数指数幂的形式: (1)m2· m (m>0);
(2) m m (m>0);
解:(1)m2·
m
=m2·
1
m2
=
2 1
m2
=
5
m2
.
1
(2)
m
m=
1
mm2 =
3
m2
=
m
3 2
2
3
= m4 .
y2
x3 y6 3
=( y2
x3 y6 3
)
1 2
=[
y2
(
x3
3
y6
1
)2
1
]2
x y x3
x y x3
x y x3
2021/12/12
第十四页，共三十七页。
={
y2
[
x3
(
y6
1
)3
]
1 2
}
1 2
x y x3
=(
y2
)
1 2
·(
x3
)
1 4
(
y6
1
) 12
x
y
x3
3
1
33
=
y
1
· x4 1
· y2 = x4 y2
第二十八页，共三十七页。
变式探究:若
a>0
且
a+
1
=7,求
1
a2
+
1
a2
及
1
a2
-
1
a2
的值.
a
解:设
1
a2
+
1
a2
=t,则
a+
1
+2=t2,即
t2=7+2=9.
a
由
a>0
知
1
a2
+
1
a2
=3,
设
1
a2
-
1
a2
=m,则
a+
1
-2=m2.即
m2=5.
a
所以 m=± 5 .
综上可知
1
a2
+
1
a2
=3,
1
31
5
= y4 .
x2 y4 x4 x4 y4
法二 从里向外化为分数指数幂.
1
y2
x
x3 3
y6
=
y x3
y2 x
x3 y6 3
y
x3
=
y2 x
x3 y2 = yx
y2
x2 y
1 2
=(
y2
11
·x y 2 ) 2
5
= y4 .
x
x
2021/12/12
第十五页，共三十七页。
方法(fāngf(ǎ1))技根巧式(gēnshì)与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应. ①根指数↔分数指数的分母;②被开方数(式)的指数↔分数指数的分子. (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂途径有两条:一是由里向外化为分数指数
③
a5 =
5
2
a2
5
= a 2 ;④ 4 a7
=
4
7
a4
4
7
= a4
.
想一想
根式与指数幂之间存在什么关系?
(无论被开方数(bèi kāi fānɡ shù)的指数能否被根指数整除,根式都可以表示为分数指数幂 的形式,即两者是等价的)
2021/12/12
第四页，共三十七页。
知识(zhī shi)探
2021/12/12
第十七页，共三十七页。
(3) ab3 ab5 (a>0,b>0).
11
1
11
解:(3)原式=[ab3(ab5 )2 ]2 =[a· a 2 b3·(b5 )2 ]2
1
=
3 11
a2b 2
2
=
3 11
a4b 4
.
2021/12/12
第十八页，共三十七页。
题型二 利用指数(zhǐshù)幂的运算性质化简求值
5
a2
-
5
b2
)
(D)-2(
5
a2
-
5
b2
)
2021/12/12
第十页，共三十七页。
1
3.(分数指数幂)在定义正分数指数幂时,规定底数 a>0,是因为公式 n a = a n 及( n a )m=
m
a n 中(
C
)
(A)对 a≤0 不成立 (B)对 a≤0 无意义 (C)n 为偶数时,对 a<0 无意义 (D)n 为奇数时,对 a<0 无意义
【例 2】 化简求值:
(1)(2 7
)0.5+0.1-2+(2 10
1
)3
-π0;
9
27
规范解答:(1)原式=(
25
)
1 2
+
1
+(
64
)
1 3
-1
9
0.12 27
= 5 +100+ 4 -1

3
=102. ………………………………………………3 分
2021/12/12
第十九页，共三十七页。
(2)(-3
2021/12/12
第九页，共三十七页。
2
1.(根式) 35 等于( D )
自我(zìwǒ)检测
1
(A) 5 3 (B) 35 (C) 35 (D) 5 32
2.(分数指数幂)把根式-2 5 a b 2 改写成分数指数幂的形式为( A )
(A)-2
a
b
2 5
(B)-2(a-b)
2 5
(C)-2(
1
)
1 2
×36
1 2
÷3-3;
9
解:(1)原式=
2 3
32
×
6 1
26
÷1=27×2=54.
(2)原式=
2 1
32
×
62
1 2
÷
1
27
= 1 × 1 ×27 36
=3. 2
2021/12/12
第二十五页，共三十七页。
(3)化简 a2 (a>0). a 3 a2
解:(3)原式=
2
a
1 2
2 3
2.有理数指数(zhǐshù)幂的运算性质
(1)aras=
(2)(ar)s=
a(ra+s>0,r,s∈Q); (aa>rs0,r,s∈Q);
(3)(ab)r= (aa>rb0r,b>0,r∈Q).
2021/12/12
第六页，共三十七页。
探究2:有理数指数幂的运算性质,对底数有何要求?
答案:底数大于0.
2021/12/12
第十一页，共三十七页。
1
4.(运算性质)式子[(-2)3] 3 -(-1)0=
.
答案(dá àn):-3
5.(根式的化简)已知 x>0,则 3 x x =
.
1
答案: x 2
2021/12/12
第十二页，共三十七页。
题型一
课堂(kètáng)探究·素养提升
根式(gēnshì)与指数幂的互化
3
3
3c
1
11
3
(4)原式=2 a 3 ÷(4 a6b6 )×(3 b 2 )
=(
1
11 1
a3 6b 6
)(3
3
b2
)=
3
14
a6b3
.………………………………………12
分
2
2
2021/12/12
第二十一页，共三十七页。
方法技巧
进行( jìnxíng)指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小
2
+1,求
a3x ax
a3x ax
的值.
解:令 ax=t,则 t2= 2 +1, 所以 a3x a3x = t 3 t 3
ax ax t t 1
= t t1 t2 t t1 t2 t t1 =t2+t-2-1
= 2 +1+ 1 -1 2 1
= 2 +1+ 2 -1-1=2 2 -1.
÷
3
3 1
a 2a 2
7
= 3 a2 ÷ a 3 ÷ 3 a2
2
7
1
= a 3 ÷ a 6 ÷(a-2) 3
=
27
a3 6
÷
2
a3
=
a
1 2
2 3
=
1
a6
2021/12/12
第二十四页，共三十七页。
3
1
【备用例 1】 (2017·金安区高一期中)(1)化简 9 2 ×6 4 6 ÷30;
(2)化简(
2021/12/12
第二页，共三十七页。
2021/12/12
新知(xīn zhī)探求
课堂 探究 (kètáng)
第三页，共三十七页。
新知探求·素养(sùyǎng)养成
【情境导学】 导入 观察下列等式:(其中 a>0)
① a4 =
a2
2
4
=a2= a 2 ;② 3 a9
=3
a3
3
9
=a3= a 3 ;
2021/12/12
第二十页，共三十七页。
(3)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c); (4)2 3 a ÷4 6 ab ×3 b3 .
规范解答:(3)原式=(-4a-2-1b-3+1)÷(12a-4b-2c)
=- 1 a b c =- -3-(-4) -2-(-2) -1 1 ac-1=- a .……………………………………9 分
3
)
2 3
+(0.002)
1 2
-10(
5 -2)-1+(
2-
3 )0;
8
规范解答:(2)原式=(-1)
2 3
×(3
3
)
2 3
+(
1
)
1 2
-
10
+1
8
500
52
=(
27
)
2 3
+(500)
1 2
-10(
5 +2)+1
8
= 4 +10 5 -10 5 -20+1 9
=- 167 .……………………………………………6 分 9
(2) 3
a a =3
1
1
aa2
=
3
3
a2
2
1
= a4 .
2021/12/12
第十三页，共三十七页。
(3)
4
2
b3
2 3
(b>0);
(4)
y2
x3 3
y6
(x>0,y>0).
x y x3
1
解:(3)原式=[
2 b 3
4
2
]3
=
b
23 14
2 3
=
1
b9
.
(4)法一 从外向里化为分数指数幂.
1.分数指数幂的概念(gàiniàn)
究
2021/12/12
n am 1
m
an
0
没有(méi yǒu) 意义
第五页，共三十七页。
探究
1:整数指数幂表示的是相同因式的连乘积,那么分数指数幂
m
an
能否理解为
m
n
个 a 相乘(a>0,m,n∈N*,且 n>1),该式有何规定?
m
答案:不能.分数指数幂是根式的另一种写法,规定 a n = n am .
3.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的
幂同样(tóngyàng)适用.
.有理数指实数幂数的(s运hìs算hù性) 质对于无理数指数
2021/12/12
第七页，共三十七页。
【拓展延伸】 化简与求值的方法与技巧 (1)在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂, 即统一成分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质(xìngzhì)进行化简、求值、计算. (2)对于根式的计算结果,并不要求统一表示形式,一般用分数指数幂的形式来表示.若有特殊 要求,则按要求给出结果,但结果中不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母 又含有负指数,即结果必须化为最简的形式. (3)在幂的四则混合运算中,运用乘法公式进行化简,能起到化繁为简的效果. 要注意的是: ①要把幂作为一个整体来看待; ②要注意幂指数间的倍数关系.