江西省临川区第一中学2014-2015学年高二下学期期末考

临川一中2014—2015学年度下学期期末考试
高二文科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.i 为虚数单位，若)i z i =，则||z =（ ）
A ． 1
B D ．2
2.
已知全集R U =，函数x x x f 52)(-=
的定义域为M ，则=M C U （ ）
A ．]0,(-∞
B ．),0(+∞
C ．)0,(-∞
D ．),0[+∞ 【答案】B 【解析】
试题分析：根据偶次根式要求被开放式大于等于零，可知250x x
-≥，即2()
15
x
≥，解得0x ≤，即(,0]M =-∞，所以有=M C U ),0(+∞，故选B. 考点：函数的定义域，集合的补集.
3.下列判断错误．．
的是( ) A .“3210x x --≤对x R ∈恒成立”的否定是“存在0x R ∈使得320010x x -->”
B . “22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件
C . 若n 组数据()()n n y x y x ,,11⋅⋅⋅的散点都在12+-=x y 上，则相关系数1-=r
D .若“p q Λ”为假命题,则,p q 均为假命题
【答案】D 【解析】
4.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h =( )
A.
2
5.
已知直线l ：50x ky --=与圆O :2
2
10x y +=交于A 、B 两点且0=⋅→
→
OB OA ，则
k =
B. C. 2±
D. 2
【答案】C 【解析】
试题分析：根据0=⋅→
→OB OA
==2k =±，故选C.
考点：直线和圆的位置关系，向量垂直的条件的转换.
6.已知等差数列满足61020a a +=，则下列选项错误的是( )
A. 15150S =
B. 810a =
C. 1620a =
D.41220a a += 【答案】C 【解析】
试题分析：根据等差数列的性质，可知6108102a a a +=
=，1151515()
1502
a a S +==，41261020a a a a +=+=，所以有A,B,D 是正确的，只有C 是错误的，故选C.
考点：等差数列的性质.
7.执行如图程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是（ ） A ．105 B ．115 C ．120 D ．720
【答案】A 【解析】
试题分析：如果输入N 的值为6，则有1,1k p ==，满足k N <，则有123k =+=，
133p =⋅=，满足k N <，则有325k =+=，此时3515p =⋅=，满足k N <，则有527k =+=，此时157105p =⋅=，此时有k N <不成立，所以输出p 为105，故选A.
考点：程序框图. 8.设
1)2015
1()20151(20151<<<a
b ，那么 ( ) A ．a
b
a
b a a << B ．b
a
a
a b a << C ．a
a
b
b a a << D ．a
a
b
a b a << 【答案】C 【解析】
试题分析：根据指数函数的性质，可知01a b <<<，根据指数函数的单调性，可知b
a
a a <，
根据幂函数的单调性，可知a a
a b <，从而有a
a b b a a <<，故C 是正确的.
考点：利用指数函数的性质、幂函数的性质比较大小.
9.在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的面
C =( ) A ．
3π B ． 23π C ．6
π D ．56π
【答案】A
1
0.若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
A B C ．D
11.
抛物线2
2y x =的内接∆ABC 的三条边所在直线与抛物线2
2x y =均相切，设A ，B 两点的纵
坐标分别是,a b ，则C 点的纵坐标为（ ）
A ．a b +
B ．22a b +
C ．a b --
D ．22a b -- 【答案】C 【解析】
试题分析：设222111(,),(,),(,),222A a a B b b C c c 则直线AB 的方程为2221222
x a y a b a b a --=--，整理得2ab y x b a a b =+++，联立222ab y x b a a b x y ⎧
=+⎪++⎨⎪=⎩
，消元化简得2
()420b a x x ab +--=，则2(4)8()0ab a b ∆=-++=，即2()0ab a b ++=，同理可得：2()0ac a c ++=，
2()0bc b c ++=，两式作差可得c a b =--，故选C.
考点：抛物线的几何性质.
12.已知函数，e x e
x a x f ≤≤-=1
(,)(2
e 为自然对数的底数)与x x g ln 2)(=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21[1,
2]e + B ．221[2,2]e e
+- C ．2[1,2]e - D ．2
[2,)e -+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在ABC ∆中，若→
→→→
→
=+=
=BC AC AB AC AB ,3,1
→
→【答案】1 【解析】
试题分析：根据题中的条件，AB AC BC AC AB →
→
→
+==-，可知AB 与AC 是垂直的，
2BC =,从而有
→
→
→⋅BC
BC BA 22()
BA AC AB BC
⋅-=
021
12
+⋅=
=. 考点：向量的数量积，向量的模，向量垂直的条件.
14.已知0>a ，实数y x ,满足：⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x
z +=2的最小值为1，则=a .
15.
函数]4,0[,)4
sin()
3sin()(πππ
∈++=x x x x
f 的最大值为 . 【答案】2
【解析】
试题分析：
根据题意有1sin ()x x
f x =
=
=
，
可以判断出函数在给定区间上是单调减的，可知函数在0x =
处取得最大值，且最大值为
2=. 考点：三角函数的性质，函数的最值的求解.
16.若函数2
)(mx e x f x
-=定义域为),0(+∞，值域为),0[+∞，则m 的值为 .
【答案】2
4
e
【解析】
试题分析：根据题意，因为(0)1f =，可知函数在定义域上是先减后增的，'()2x f x e mx =-，
所以存在0x 满足0'()0f x =，即0
02x e mx =，所以00
2x e m x =，所以有0()0f x =，即
00
2
00
02x x e e x x -⋅=，求得02x =，即24e m =.
考点：应用导数研究函数.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22）、（23）、（24）题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意+∈N n ，有2
2n n n S a a =+.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2
）令n b =
{}n b 的前n 项和为n T ，求证：.1<n T
【答案】（1）+∈=N n n a n , （2）证明略. 【解析】
试题分析：第一问根据题中所给的条件，令n 取1n +时，对应的式子写出，之后两式相减，可得相邻两项的差为常数，从而得到数列为等差数列，令1n =，可得数列的首项，从而求得
数列的通项公式，第二问对式子进行分母有理化，化简可得n b =间项就消没了，从而证得结果.
试题解析：（1）由22n n n
S a a =+
可得，21112n n n S a a +++=+，两式相减得221112n n n n n
a a a a a +++=-+-，
整
18.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示. （1） 写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你
的理由；（下面的临界值表供参考）
（参考公式：)
)()()(()(22
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中d c b a n +++=）
（23名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率.
【答案】（1）列联表略； （2）
4
5
19.
棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱1DD BC 、的中点.
(1)若平面1AFB 与平面11B BCC 的交线为l ，l 与底面AC 的交点为点G ，试求AG 的长； (2)求点A 到平面EF B 1的距离 .
【答案】（1
（2）29
29
5=d 【解析】
试题分析：根据两面相交，有一条交线，且满足过平面的平行线的平面与该平面相交，交线与面的平行线是平行的，所以所对应的直接l 与直线AF 是平行的，从而根据平面几何的有关结论，求得交线的位置，从而求得G 点的位置，放在相应的三角形中，求得AG 的长，第二问根据投影，利用空间向量来解决，从而求得点到面的距离.
试题解析：（1）如图，可求得2=BG ，52
22=+=AB BG AG
5=∴AG …………5分
A
B
C
D C 1
D 1
A 1
B 1
E
F G
A B C D C 1
D 1
A 1
B 1
E
F
20.在矩形中ABCD 中，32,4==BC AB ，M 为动点，CM DM 、的延长线与AB （或其延长线）分别交于点F E 、，若.02
=+⋅→→
→
EF BF AE
（1）若以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，试求动点M 的轨迹方程；
（2）不过原点的直线l 与（1）中轨迹交于H G 、两点，若GH 的中点R 在抛物线x y 42
=上，求直线l 的斜率k 的取值范围.
【答案】（1）13
42
2=+y x （2
）60,⎛
⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】
试题分析：
第一问根据题意，建立相应的坐标系，确定出点,,,A B C D 的坐标，根据点,,D E M
及M F C 、、三点共线，求得,E F 两点的横坐标，从而求得向量的坐标，利用向量的数量积的坐标公式，得到点M 的轨迹方程，第二问设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元得到关于x 的一元二次方程，根据方程有两个不等实根，得到判别式大于零，得到2
2
43k m -+0>，根据韦达定理和中点坐标公式，确定出R 点的坐标，根据点在曲线上，得到m 关于k 的关系式，代入判别式整理出的不等式，从而求得结果.
试题解析：（1）设),(y x M ，由已知得
(-A )32,2由
M E D 、、及M F C 、、三点共线得 y
y x x y
y x x F E --=
-+=
32232,32232，
),0,(),0,(a x BF a x AE F E -=+=→
→,)(2
2
F E x x EF -=→代入.02
=+⋅→→
→EF BF AE 得
13
42
2=+y x ………6分 (2)设直线()()()1122:0,,,,l y kx m m G x y H x y =+≠，()00,R x y ．
由22
3412
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得(
)2
2
23484120k
x
kmx m +++-=
()()()2
2284344120km k m ∆=-+->即22430k m -+>
又122
834km
x x k +=-+
故2243,3434km m R k k ⎛⎫-
⎪++⎝⎭将2243,3434km m R k k ⎛⎫- ⎪
++⎝⎭
代入2
4y x =得 )0(,9
)43(162≠+-=k k k m .........10分
将（2）代入（1）得：81)43(162
2
<+k k 解得86
86<<-
k 且0k ≠．即k ∈60,⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．--12分 考点：动点的轨迹方程的求解，直线与曲线的位置关系的综合问题.
21.已知函数1)(-=x e x F ，bx ax x G +=2)(，其中R b a ∈,，e 是自然对数的底数. （1）当0=a 时，)(x G y =为曲线)(x F y =的切线，求b 的值;
（2）若)()()(x G x F x f -=,0)1(=f ，且函数)(x f 在区间)1,0(内有零点，求实数a 的取值范围．
③
若
122
e
a <<，则12a e <<，于是当0ln(2)x a <<时()20x g x e a '=-<，当ln(2)1a x <<时()20x
g x e a '=->，所以函数()g x 在区间[0,ln(2))a 上单调递减，在区间(ln(2),1]a 上单调递增，则
min ()22ln(2)b 3a 2aln(2a)e 1g x a a a =--=---，令3h()ln 1(1)2x x x x e x e =
---<<，则'1h ()ln 2x x =-，由'1
h ()ln 02
x x =->可得：
x <h()x 在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以
max
h()10
x h e
==-<，即
min
()0
g x<恒成立.于是，函数)
(x
f在区间)1,0(内至少有三个单调区间等价于：
(0)20
(1)10
g e a
g a
=-+>
⎧
⎨
=-+>
⎩
即
2
1
a e
a
>-
⎧
⎨
<
⎩
，又因为
1
22
e
a
<<，所以21
e a
-<<.
综上所述，实数a的取值范围为(2,1)
e-.……12分
考点：导数的几何意义，函数的零点的问题，分类讨论思想的应用.
请考生在第22、23、24三题中任选一题
．．．．做答，如果多做，则按所做的第一题记分
22.如图，圆周角BAC
∠的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E,AD交BC于点F.
（1）求证：DE
BC//;
（2）若F
C
E
D,
,
,四点共圆，且弧AC与弧BC相等，求BAC
∠.
【答案】（1）略
（2）
2
7
π
【解析】
试题分析：第一问根据弦切角与圆周角相等，得到EDC EAD
∠=∠，根据同弧所对的圆周角是相等的，得到DCB DAB
∠=∠，根据题中的条件，DA平分EAB
∠，得到,
EDC DCB
∠=∠
根据内错角相等，两直线平行，从而得出DE
BC//，第二问根据题意，设,
CAB CBAθ
∠=∠=
再结合题中的角的关系，得出
3
,
2
EDA EDC CDAθ
∠=∠+∠=根据圆内接四边形的对角互补，从而可得
3
2
ACBθ
∠=，根据三角形的内角和得出BAC
∠的值.
试题解析：（1）DE与圆相切，DAB
DCB
EAD
EDC∠
=
∠
∠
=
∠,，DA平分EAB
∠，
,
DCB
EDC∠
=
∠
∴所以DE
BC//；
（2）设
3
,,
2
CAB CBA EDA ACD EDC CDA
θθ
∠=∠=∠=∠=∠+∠
=
1
,3,3
ACB ACD DCF ACD DAB BAC θθππ∴∠=∠-∠=∠-∠==∠=
考点：圆的性质，平行线的判定，圆内接四边形的条件.
23.已知曲线22
:149x y C +=，直线2:22x t l y t =+⎧⎨=-⎩
(t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.
2
4.已知函数()f x =⑴解不等式()()4f x f ≥；
⑵设函数()3,g x kx k k R =-∈，若不等式)()(x g x f >恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）(][),54,-∞-+∞
（2）(]1,2k ∈-。