2019年重庆大路中学高三数学理月考试题含解析

2019年重庆大路中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f （x）=2﹣x，则f的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
D
【考点】3Q：函数的周期性．
【分析】首先确定函数的周期，然后结合函数的周期和函数的奇偶性整理计算即可求得最终结果．
【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（﹣2017）=f（﹣504×4﹣1）=f（1），
f=f（0），
当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣x，
故f（1）=1，f（0）=2，
故f=f（0）+f（1）=3，
故选：D．
2. （5分）若关于x的不等式的解集为{x|0＜x＜2}，则实数m的值为（）
A． 1 B．﹣2 C．﹣3 D． 3
参考答案：
A
【考点】：一元二次不等式的应用．
【专题】：计算题．
【分析】：由一元二次方程与对应不等式关系可知，一元二次不等式解集边界值，就是所对应一元二次方程两根，然后将根代入方程即可求出m的值．
解：∵不等式的解集为{x|0＜x＜2}，
∴0、2是方程﹣x2+（2﹣m）x=0的两个根，
∴将2代入方程得m=1．
∴m=1；
故答案为：1．
【点评】：本题考查一元二次不等式与所对应的二次方程关系，同时转化能力，属于基础题．
3. 如果复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，则|z|等于（）
A．3B．2C．3 D．2
参考答案：
A
【考点】复数求模．
【分析】由已知条件利用复数代数形式的乘除运算法则和复数的实部和虚部相等，求出z=3+3i，由此能求出|z|．
【解答】解：z====﹣i，
∵复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，
∴，解得b=﹣9，
∴z=3+3i，
∴|z|==3．
故选：A．
【点评】本题考查复数的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用．
4. 若存在正数使成立,则的取值范围是
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
5. 定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集为（）
A．（，）B．（﹣，）C．（0，）D．（﹣，）
参考答案：
D
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定义域R上是增函数，且g （1）=0，进而根据f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．
【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，
则g′（x）=f′（x）＞0，
∴g（x）在定义域R上是增函数，
且g（1）=f（1）=0，
∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，
令2cosx＞1，
则g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，
又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1
∴x∈（﹣，），
故选：D
6. 设集合，，现有下面四个命题：
p1：，；p2：若，则；
p3：若，则；p4：若，则．
其中所有的真命题为（）
A．p1，p4 B．p1，p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p2，p4
参考答案：
B
由题设可得，，则当时，有，所以命题正确；若时，，则，所以命题错误；若，则，所以命题正确；若时，成立.故正确答案为B.
7. 设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为
A.60
B.90
C.120
D.130
参考答案：
D
8. 从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )
A．5,10,15, 20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32
参考答案：
B
略
9. 已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
10. 定义：设A是非空实数集，若?a∈A，使得对于?x∈A，都有x≤a(x≥a)，则称a是A的最大(小)值 .若B是一个不含零的非空实数集，且a0是B的最大值，则()
A．当a0＞0时，a是集合{x－1|x∈B}的最小值
B．当a0＞0时，a是集合{x－1|x∈B}的最大值
C．当a0＜0时，－a是集合{－x－1|x∈B}的最小值
D．当a0＜0时，－a是集合{－x－1|x∈B}的最大值
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现
三维空间中球的二雄测度(表面积），三维测度(体积），观察发.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度W=
_______.
参考答案：
12. 数列满足，则= .
参考答案：
略
13. 现有五张连号的电影票分给甲、乙、丙三人，每人至少一张,其中有两人各分得两张连号的电影票，则不同的分法有种（用数字作答）.
参考答案：
14. 如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.
参考答案：
15. 若不等式对一切非零实数均成立,记实数的取值范围为.
已知集合，集合，则集合
.
参考答案：
略
16. 已知数列{a n}满足a1=0，a2=1，，则{a n}的前n项和S n= ．
参考答案：
17. 已知等差数列的公差为，项数是偶数，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则这个数列的项数为；
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知A为圆上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点P满足
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设Q为直线上一点，O为坐标原点，且，求面积的最小值. 参考答案：
（1）设，由题意得：，由，可得点是的中点，
故，所以，又因为点在圆上，所以得，
故动点的轨迹方程为.
（2）设，则，且，
当时，，此时；当时，
因为,即
故，，
，
①，
代入①
设
因为恒成立，在上是减函数，
当时有最小值，即,综上：的最小值为
19. 已知函数f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a≠0．
（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值及h（x）的单调区间；
（2）若对任意的x1，x2∈[1，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，且﹣2＜a＜0，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）对h（x）求导数，利用h′（x）=0时存在极值点，求出a的值，再利用导数讨论h（x）的单调性；
（2）设存在实数a，对任意的x1，x2∈[1，2]都有f（x1）≥g（x2）成立，等价于对任意的x1，x2∈[1，2]时，都有[f（x）]min≥[g（x）]max，
分别求出函数f（x）在区间[1，2]的最小值与g（x）在[1，2]上的最大值，列出不等式求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵h（x）=f（x）+g（x）=2x++lnx，其定义域为（0，+∞），
∴h′（x）=2﹣+；
又x=1是函数h（x）的极值点，
∴h'（1）=0，即3﹣a2=0，
∵a＞0，
∴a=；
经检验，a=时，x=1是函数h（x）的极值点，
∴a=；
又h′（x）==，
∴当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是单调减函数，
x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是单调增函数；
∴h（x）的单调减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）；
（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈[1，2]都有f（x1）≥g（x2）成立，等价于对任意的x1，x2∈[1，2]时，都有[f（x）]min≥[g（x）]max，
当x∈[1，2]时，g′（x）=1+＞0．
∴函数g（x）=x+lnx在[1，2]上是增函数．
∴[g（x）]max=g（2）=2+ln2．
∵f′（x）=1﹣=，且x∈[1，2]，﹣2＜a＜0，
①当﹣1＜a＜0且x∈[1，2]时，f′（x）=＞0，
∴函数f（x）=x+在[1，2]上是增函数．
∴[f（x）]min=f（1）=1+a2．
由1+a2≥2+ln2，得a≤﹣，又﹣1＜a＜0，
∴a≤﹣不合题意．
②当﹣＜≤a≤﹣1时，若1≤x＜﹣a，则f′（x）=＜0，
若﹣a＜x≤2，则f′（x）=＞0，
∴函数f（x）=x+在[1，﹣a）上是减函数，在（﹣a，2]上是增函数．
∴[f（x）]min=f（﹣a）=﹣2a
﹣2a≥2+ln2，得a≤﹣1﹣ln2，
∴﹣2＜a≤﹣1﹣ln2．
综上，存在实数a的取值范围为（﹣2，﹣1﹣ln2）．
20. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：
（1）确定与的值；
（2）若从科研单位A、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自科研单位A的概率.
参考答案：
21. [选修4-4：坐标系与参数方程]
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极
坐标系，判断直线l：（t为参数）与圆C：的位置关系.
参考答案：
把直线方程化为普通方程为．
将圆化为普通方程为，
即．
圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.
22. （本小题满分13分）
已知椭圆C：经过点M(－2，－1)，离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；
（Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．
参考答案：
（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得
(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
因此直线PQ的斜率为定值．……………………………………………………9分（Ⅲ）（方法一）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，
假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1．…………………………11分
若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)，
与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，
该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；
同理，若k＝－1也不合题意．
故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………13分（方法二）由（2）直线PQ的斜率为1，设其方程为
得
假设为直角，则由得………………………………11分
所以直线PQ的方程为
因为点M（-2，-1）在直线上，即点Ｐ或点Ｑ中有一点与点Ｍ重合，不符合题意．
所以不可能为直角．………………………………13分。