湘教版高中数学必修二第4章 向量单元检测.doc

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数学湘教版必修2第4章 向量单元检测
(时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2011浙江台州高一期末检测)下列向量是单位向量的是( )
A .a =11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
B .a =(1,1)
C .a =(1,sin α)
D .a =(cos α,sin α)
2.已知a =(-5,6),b =(-3,2),c =(x ,y ),若a -3b +2c =0,则c 等于( )
A .(-2,6)
B .(-4,0)
C .(7,6)
D .(-2,0) 3.在△ABC 中,AB =5,BC =2,∠B =60°,则AB u u u r ·
BC uuu r 的值为( ) A .53 B .5 C .53- D .-5
4.(2012山东兖州高一模拟)已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,-3),若a ∥b ,则tan θ的值等于( )
A .13-
B .
13 C .-1 D .1 5.已知D 是△ABC 所在平面内一点,AD u u u r =35AB u u u r +25AC u u u r ,则( ) A .BD u u u r =25BC uuu r B .BD u u u r =35BC uuu r C .BD u u u r =32BC uuu r D .BD u u u r =23BC uuu r 6.(2011山东潍坊高一期中检测)对于向量a ,b ,e 及实数x ,y ,x 1,x 2,λ,给出下列四个条件:①a +b =3e 且a -b =5e ;②x 1a +x 2b =0;③a =λb (b ≠0)且λ唯一;④x a +y b =0(x +y =0).其中能使a 与b 共线的是( )
A .①②
B .②④
C .①③
D .③④
7.(2011辽宁大连高一期末检测)设a =(-3,m ),b =(4,3),若a 与b 的夹角是钝角,则实数m 的取值范围是( )
A .m ≠4且94m ≠-
B .m <4且94
m ≠- C .m >4 D .m <4 8.过点M (3,0)的直线交圆
x 2+y 2-4x =0于A ,B 两点,C 为圆心,则AC u u u r ·
BC uuu r 的最大值等于( )
A .12-
B .12
C .2
D .-2 二、填空题(每小题5分,共15分)
9.(2011江苏灌云高一检测)已知向量a =(1,n ),b =(-1,n ),若2a -b 与b 垂直,则|a |=__________.
10.已知定义|a ×b |=|a ||b |·sin θ,其中θ为向量a 与b 的夹角.若|a |=2,|b |=3,a ·b =-4,则|a ×b |=__________.
11.(2011福建师大附中高一检测)如图,在正六边形ABCDEF 中,有下列三个命题:①AC u u u r +AF u u u r =2BC uuu r ;②AD u u u r =2AB u u u r +2AF u u u r ;③AC u u u r ·AD u u u r =AD u u u r ·AB u u u r .其中真命题的序号是__________.(写出所有真命题的序号)
三、解答题(每小题15分,共45分) 12.(2011山东烟台高一检测)已知向量a =(1,2),b =(-3,2). (1)求|2a -4b |; (2)若k a +2b 与2a -4b 平行,求k 的值; (3)若k a +2b 与2a -4b 的夹角是钝角,求实数k 的取值范围. 13.如图,PQ 过△OAB 的重心G ,OA u u u r =a ,OB uuu r =b ,OP uuu r =m a ,OQ uuu r =n b .求证:
113m n +=.
14.已知向量a =(1,2),b =(cos α,sin α),设m =a +t b (t 为实数).
(1)若π4
α=,求当|m |取最小值时实数t 的值; (2)若a ⊥b ,问:是否存在实数t ,使得向量a -b 和向量m 的夹角为
π4,若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1. 答案:D
解析:只有在D 项中,|a |=22cos sin αα+=1,是单位向量.
2. 答案:D
解析:依题意得c =12-
a +32
b =12-(-5,6)+32
(-3,2)=(-2,0). 3. 答案:D
解析:AB u u u r ·BC uuu r =|AB u u u r |·|BC uuu r |cos 〈AB u u u r ·BC uuu r 〉=5×2×cos 120°=-5.
4. 答案:C 解析:由a ∥b 得-3sin θ=cos θ-2sin θ,于是-sin θ=cos θ,故tan θ=sin cos θθ
=-1. 5. 答案:A 解析:由AD u u u r =35AB u u u r +25AC u u u r , 得35AD u u u r +25AD u u u r =35AB u u u r +25AC u u u r , 因此35AD u u u r -35AB u u u r =25AC u u u r -25AD u u u r , 所以35BD u u u r =25DC u u u r ,即BD u u u r =25
BC uuu r . 6. 答案:C
解析:由a +b =3e 和a -b =5e 可得a =4e ,b =-e ,显然a 与b 共线,故①正确;③显然正确,故选C .
7. 答案:B
解析:因为a 与b 的夹角是钝角,所以a ·b <0,
即3m -12<0,解得m <4,
但当a 与b 共线时,有-9=4m ,解得94m =-
,且这时a 与b 反向共线,夹角是π,不合题意,
故实数m 的取值范围是m <4且94
m ≠-. 8. 答案:D
解析:由已知得圆的半径为2,圆心坐标为(2,0), 所以AC u u u r ·
BC uuu r =CA u u u r ·CB u u u r =2×2×cos ∠ACB . 因为直线过点M (3,0),
所以当该直线与CM 垂直时,∠ACB 最小,等于120°,这时cos ∠ACB 取到最大值12
-
, 所以AC u u u r ·BC uuu r 的最大值等于2×2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭=-2. 9. 答案:2
解析:依题意2a -b =(3,n ),由于2a -b 与b 垂直,所以-3+n 2=0,解得n 2=3,于是|a |=21n +=2.
10. 答案:25
解析:由于a ·b =|a |·|b |cos θ, 所以42cos 233
θ-==-⨯. 又θ∈[0,π],于是25sin 1cos 3θθ=-=
, 故|a ×b |=|a ||b |sin θ=2×3×
53=25. 11. 答案:①② 解析:由于AC u u u r +AF u u u r =AD u u u r =2BC uuu r ,
所以①正确;
设正六边形中心为O , 则AD u u u r =2AO u u u r =2(AF u u u r +AB u u u r ), 即AD u u u r =2AF u u u r +2AF u u u r ,
所以②正确; 由于AC u u u r ·AD u u u r -AD u u u r ·AB u u u r =AD u u u r ·(AC u u u r -AB u u u r )=AD u u u r ·BC uuu r =2|BC uuu r |2>0, 所以不可能有AC u u u r ·AD u u u r =AD u u u r ·AB u u u r ,故③错误.
12.解:(1)∵2a -4b =(14,-4),
∴|2a -4b |=253.
(2)∵k a +2b =(k -6,2k +4),
且k a +2b 与2a -4b 平行,
∴14(2k +4)+4(k -6)=0,
即32k +32=0,∴k =-1.
(3)∵k a +2b 与2a -4b 的夹角是钝角,
∴(k a +2b )·(2a -4b )<0且k ≠-1,
即14(k -6)-4(2k +4)<0且k ≠-1, ∴503
k <且k ≠-1. 13. 证明:∵M 是AB 边的中点, ∴OM u u u u r =12(OA u u u r +OB uuu r )=12(a +b ). ∴OG u u u r =23OM u u u u r =23·12(a +b )=13a +13b . ∴PQ uuu r =OQ uuu r -OP uuu r =n b -m a ,
PG u u u r =OG u u u r -OP uuu r =13m ⎛⎫- ⎪⎝⎭a +13b . ∵PG u u u r ∥PQ uuu r ,∴1133
m n m -=-.
整理得mn =
13(m +n ),即113m n
+=. 14. 解:(1)因为π4α=,b =22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,a·b =322, 则22||()52t t t =+=++⋅m a b a b =2232132522t t t ⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭
, 所以当322t =-
时,|m |取到最小值,最小值为22
. (2)由条件得()()cos 45||||t t -+︒=-+a b a b a b a b , 又因为|a -b |=2()6-=a b ,
|a +t b |=22()5t t +=+a b ,
(a -b )·(a +t b )=5-t , 则有2522
65t
t -=⋅+,且t <5, 整理得t 2+5t -5=0, 所以存在5352
t -±=满足条件.。

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