概率论与数理统计B考试大纲(带公式)讲解

概率论与数理统计 B
考试纲领
第 2 章描绘统计学
1.样本均值、样本方差、样本标准差的计算；
2.样本中位数、分位数；
先对数据按从小到大排序。

假如np 不是整数，则第[np]+1 个数据是100p%分位数。

假如np 是一个整数，那么100p%分位数取第 [np] 和第 [np]+1 个值的均匀值。

特别地，中位数是50% 分位数。

3.样真有关系数。

，
第 3 章概率论基础
1.样本空间，事件的并、交、补，文图和德摩根律；
，
2.概率的定义、补事件计算公式、并事件计算公式；
对于任何的互不订交事件序列，
3.等可能概型的计算，摆列和组合；
4.条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；
，
5.事件独立性及其概率的计算。

第 4 章随机量与数学希望
1.随机量的散布函数及其性；
2.失散型随机量的概率量函数及其性，有关概率的算；
失散型随机量：取会合有限或许是一个数列x i, i=1,2, ⋯。

概率量函数：，
3.型随机量的概率密度函数及其性，有关概率的算；型随机
量：随机量的可能的取是一个区。

概率密度函数 f (x)：随意一个数集 B 有
,
,
4二随机量的合散布函数、合量函数、合密度函数，有关概率的算；
,
,
5. 随机量的独立性，有关概率的算；
随机量X 与 Y 独立:
; 散布函数
失散型
型
6. 怎求型随机量函数的密度函数（先求散布函数，再求）；
Y=g(X)
7.数学希望（失散型，连续型），函数的数学希望（失散型，连续性）；失
散型
连续型
8.数学希望的性质
，
当X 与 Y 独即刻， E[XY]= E[X] E[Y]
9.方差和它的性质
；
；
当 X 与 Y 独立，，
10协方差、有关系数，有关性质；
Corr( X,Y)=1 或-1，当且仅当 X 和 Y 线性有关，即 P(Y=a+bX )=1 (当 b> 0, 有关系数为 1; 当 b< 0, 有关系数为 -1)
当 X 与 Y 独即刻， X 与 Y 不有关，即.
11.切比雪夫不等式，弱大数定律，概率的频次意义。

切比雪夫不等式
弱大数定律：样本均值趋势于整体均值
频次趋势于概率
第五章特别随机变量
1伯努利实验和伯努利散布，数学希望和方差；
伯努利 (Bernoulli) 试验：在一次试验中，其结果能够归为``成功 ,?和 ``失败 ,?两类。

x i 0 1 E[X]=p
p i 1-p p Var(X)=p(1-p)
2.二项散布：应用背景，概率质量函数，单一性，伯努利分解，可加性，数学希望和方差；
应用背景：伯努利试验“成功”的概率每次都为 p,这样独立进行n 次，那么“成功”的总次数X 听从参数为 (n, p)二项散布，记为X~B(n,p)。

单一性： P(X=i )当 i<( n+1) p 二项散布的伯努利分解：设的伯努利散布 . 递加，当i>(n+1)p 递减。

X～ B(n, p) ，那么, 此中X i互相独立，且为同样
可加性 : 假如 X 与 Y 独立 , 且 X～ B(n, p)，Y～ B(m,p)，那么 X+Y ～B(n+m , p) 。

3.泊松散布：应用背景，概率质量函数，单一性，数学希望和方差，可加性，二项散布的
泊松近似；
应用背景 : 依据二项散布的泊松近似，一段时间内某种随机事件发生的次数。

单一性：i < 时递加，i > 时递减。

泊松散布的可加性: 设X1和X2为互相独立的泊松随机变量，它们的均值分别为 1 和2, 那
么 X1+X2为均值是二项散布的泊松近似1+ 2 的泊松随机变量。

：设 X~B(n, p) 。

当n 很大p 很小时，其散布近似于参数为=np 的泊
松散布
4.均匀散布：应用背景，概率密度函数，数学希望和方差，二维均匀散布，有关概率的计
算；
应用背景：随机变量 X 在区间[ , ]上等可能取值
概率密度函数：
，
二维均匀散布：
5.正态散布：应用背景，概率密度函数及其对称性，数学希望和方差，标准正态散布 N(0,1) ，正态散布的标准化和概率计算，线性性质，独立和的性质，分位数及其对称性；
应用背景：依据中心极限制理，大批独立随机变量的和近似听从正态散布。

密度函数： X~ N( , 2 ),
E[X]= ,Var(X)= 2
准正散布N(0,1)：
性性：正随机量的性函数还是正散布。

X~ N( , 2), 那么随意a, b 0, Y=a+bX ~N (a+b , b2 2).
特地，，。

假互相独立，且，。

准正散布
称性：z1-
Z 的
= - z
100(1- )%( 下 )百分位数Z ：。

6.指数散布：用背景，概率密度函数，数学希望和方差，无性，有关概率的算；
用背景：假如位内“事件生”数是参数泊松散布（称泊松程），那么两次“ 生”之的隔度就是参数的指数散布。

概率密度函数：
无性
7.卡方散布：定，可加性，分位数；
定：若 Z1 2 ⋯Z, n 互相独立,且都听从N(0,1) ，称其平方和
, Z ,
听从自由度 n 的2（卡方）散布。

可加性：当 X 1和 X 2分自由度n1和 n2的 2 随机量且互相独立，X 1+X 2听从自由度 n1+n2的 2 散布 .
100(1- )% 百分位数2
,n：
8. t-散布：定，称性，与N(0,1) 的关系，分位数；
Z～ N(0,1), X～ 2 n，Z 和X 独立，称随机量听从自由度n 的t-散布。

当n ， T n N(0,1)
，
9.F 散布：定，分位数 , 倒数性。

X 和 Y 分听从自由度n 和 m 的 2 散布，且互相独立，称听从自由度n 和 m 的 F-散布。

，
第六章抽的散布
1.体、本及其、量；
本：若 X 1, X 2,⋯, X n是独立随机量, 且拥有同样的散布一个本 . n 称本容量。

本的数据称本
量：不含未知参数的本函数。

F, 称它组成来自散布
x1, x2,⋯x,n。

F 的
2.本均：定，数学希望和方差；
体 X( 不必定是正散布 ), E[X]= , Var(X)= 2。

本 X , ⋯ , X。

1, X 2 n
本均，，
3.中心极限制理：基本定理，二散布的正近似，本均的近似散布；
基本定理：X 1, X 2, ⋯ , X n独立同散布的随机量序列, 并均拥有均和方差2(无
散布型是什么), 充足大的n （ 30 以上）， X 1+X 2+⋯+ X n 近似听从正散布
N(n ,n 2 )。

二散布的正近似： X~B(n,p), 充足大的 n（30 以上） , X 近似听从正散布 N( np,
np( 1-p))
2。

本 X
本均的近似散布: 体X(不必定是正散布), E[X]= , Var(X)=
1, X 2 , ⋯ , X n。

当 n 充足大（ 30 以上），近似有
4.本方差：定，数学希望；
本方差,
本准差
5.正体：本均按 N(0,1)（方差已知）或 t-散布（方差未知），本方差按卡方散布，本均与本方差
独立 .
定理 : 体X~N( , 2)。

本X 1, X 2, ⋯ , X n。

(1) , (2) , (3) 与 S2独立，(4) 。

第七章参数估
1. 估量与估
参数估：体散布 F ，此中未知参数。

本X 1, X 2, ⋯ , X n ，独立且与体同分布。

需要估。

估量：用来估未知参数的量，
估：估量的察
无偏估量：
2.极大似然估：定，似然函数，数似然方程；
似然函数：若体的密度函数（或量函数) f(x| ), 其合概率函数(称似然函数 )
极大似然估 :求使得
数似然方程
3.伯努利散布、泊松散布、正散布的极大似然估；努里散
布： p 的极大似然估是数中成功的比率。

泊松散布极大似然估。

正散布 N( , 2)的极大似然估：
正态散布方差 2 的无偏预计
4.置信区间的定义；
参数的 100(1- )% 置信区间知足
5. 正态整体均值的两侧置信区间（方差已知）；
6. 正态整体方差的两侧置信区间.
第八章假定查验
1.假定查验的基本观点：原假定与备择假定，拒绝域结构原理，明显性水平，两类错误；原假定 H0, 备择假定 H1 ；
明显性查验： H1 能否明显，以致于能够拒绝H0 ；
第一类错误——拒绝了正确的假定，第二类错误——接受了错误的假定；
明显性水平=P(样本观察值落入拒绝域|H0 真 )=犯第一类错误的概率。

2. 方差已知时正态整体均值的Z 查验 (两侧，右边，左边);
两侧查验 ( 临界值法或p 值法 )
左边查验 ( 临界值法或p 值法 )右边查验(临界值法或p 值法 )
3.置信区间与拒绝域的关系；
若原假定落在未知参数的100(1- )%的置信区间内，则在明显性水平下，接受H0 ，不然拒绝 H0。

4. 方差已知时两个正态整体均值相等的Z 查验 (两侧 );
5. 方差未知但相等时两个正态整体均值相等的t 查验 (两侧 );
6.成对样本均值相等的 t 查验 (两侧 )；
令 W i=Y i -X i化为对于 W i的单样本查验 : H0: = 0 , H1:0,( 0=0)
7. 两个正态整体方差相等的查验。