2019届高考数学一轮总复习 6.2一元二次不等式及其解法练习.doc

2019届高考数学一轮总复习 6.2一元二次不等式及其解法练习
一、选择题
1．(2014·大纲全国卷)不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
x x ＋
，
|x |<1
的解集为( )
A ．{x |－2<x <－1}
B ．{x |－1<x <0}
C ．{x |0<x <1}
D ．{x |x >1}
解析 ⎩⎪⎨
⎪
⎧
x x ＋， ①|x |<1， ②
由①得，x <－2或x >0， 由②得，－1<x <1，
因此原不等式组的解集为{x |0<x <1}，故选C. 答案 C
2．已知集合A ＝{x ∈R ||lg|x ||≤1}，B ＝{x ∈Z |x 2
－2x －8<0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2，－110)∪(1
10，4)
B ．(－2,0)∪(0,4)
C ．{－1,1,2,3}
D ．{－1,0,1,2,3}
解析 －1<lg|x |<1，1
10<|x |<10，
∴－10<x <－110或1
10
<x <10.
A ＝{x |－10<x <－1
10，或110
<x <10} B ＝{x |－2<x <4，x ∈Z }＝{－1,0,1,2,3} A ∩B ＝{－1,1,2,3}，选C.
答案 C
3．已知不等式ax 2
－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12
，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )
A ．(2,3)
B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意，知－12，－13
是方程ax 2
－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系，得－
12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2
－5x ＋6＜0，解集为(2,3)，故选A.
答案 A
4．若函数f (x )＝(a 2
＋4a －5)x 2
－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )
A ．[1,19]
B ．(1,19)
C ．[1,19)
D ．(1,19]
解析 函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2
＋4a －5)x 2
－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．
(1)当a 2
＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．
(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有
⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 2
＋4a －5>0，a －2－a 2
＋4a －
解得1<a <19.
答案 C
5．不等式f (x )＝ax 2
－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中的( )
A B C D
解析 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a
＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x
2＋x ＋2的图象开口向下，由－x 2
＋x ＋2＝0，得两根分别为－1和2.
答案 B
6．已知函数f (x )＝－x 2
＋ax ＋b 2
－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )
A ．－1<b <0
B ．b >2
C ．b <－1或b >2
D ．不能确定
解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的对称轴为直线x ＝1，则有a
2＝1，故a ＝2.
又f (x )的图象开口向下，
∴f (x )在[－1,1]上为增函数．
∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2
－b ＋1＝b 2
－b －2， ∴b 2
－b －2>0， 解得b <－1或b >2. 答案 C 二、填空题
7．如果函数f (x )＝(x ＋1)(1－|x |)的图象恒在x 轴上方，则x 的取值集合为________．
解析 由题意可将问题转化为解不等式(x ＋1)(1－|x |)>0，由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1>0，1－|x |>0或
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1<0，1－|x |<0，
解得－1<x <1或x <－1.
答案 {x |x <－1或－1<x <1}
8．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，x <2，
x 2
，x ≥2，则满足不等式f (x 2
－4)≤f (3x )的x 的取值范围
是________．
解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，x <2，
x 2
，x ≥2，
的图象知，函数f (x )在R 上是增函数，则由
f (x 2－4)≤f (3x )可得x 2－4≤3x ，解得－1≤x ≤4.
答案 [－1,4]
9．已知函数f (x )与g (x )的图象关于直线x ＝2对称，若f (x )＝4x －15，则不等式g x
x 2－1
≥0的解集是________．
解析 若f (x )＝4x －15，
则g (x )＝f (4－x )＝4×(4－x )－15＝1－4x ， 故不等式
g x x 2－1≥0等价于1－4x
x 2－1
≥0， 即(x －1)(x ＋1)(4x －1)≤0(x ≠1，且x ≠－1) 解得x <－1或1
4
≤x <1.
答案 (－∞，－1)∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，1 三、解答题
10．(2015·湖北黄州月考)已知函数f (x )＝x 2－2x
9－x
2
的定义域为A ， (1)求A ；
(2)若B ＝{x |x 2－2x ＋1－k 2
≥0}，且A ∩B ≠∅，求实数k 的取值范围．
解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x >0，
9－x 2
>0，
解得－3<x <0或2<x <3，∴A ＝(－3,0)∪(2,3)． (2)x 2
－2x ＋1－k 2
≥0，
∴当k ≥0时，x ≥1＋k 或x ≤1－k ， 当k <0时，x ≥1－k 或x ≤1＋k ， ∵A ∩B ≠∅，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
k ≥0，
1－k ≥－3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ≥0，1＋k ≤3
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
k <0，1＋k ≥－3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
k <0，1－k ≤3，
∴k ∈[－4,4]．
11．已知抛物线y ＝(m －1)x 2
＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？
(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．
解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0， 即Δ＝(m －2)2
－4(m －1)(－1)>0， 得m 2
>0，所以m ≠1且m ≠0.
(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝m －2
1－m
，x 1x 2
＝1
1－m ，
因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2
x 1x 2
＝m －2，
所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2
＝(m －2)2＋2(m －1)≤2.
得m 2
－2m ≤0，所以0≤m ≤2.
所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．
培 优 演 练
1．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )
A ．{x |x >2或x <－2}
B ．{x |－2<x <2}
C ．{x |x <0或x >4}
D ．{x |0<x <4}
解析 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C.
答案 C
2．若不等式x 2
＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－235，1
C ．(1，＋∞)
D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－235
解析 由Δ＝a 2
＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－23
5
，故a
的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－235，＋∞. 答案 A
3．关于x 的不等式ax 2
－|x ＋1|＋3a ≥0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．
解析 由题意得a ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫|x ＋1|x 2＋3max
.令y ＝|x ＋1|x 2＋3，
则当x ≥－1时，y ＝x ＋1
x 2＋3
. 由y ′＝
－
x ＋x －
x 2
＋2
＝0，得x ＝1，所以当－1≤x <1时，y ′>0，y <1
2
，当x >1
时，y ′<0，y <12，因此当x ≥－1时，y max ＝1
2
.
同理，当x <－1时，y ＝－
x ＋1x 2＋3.由y ′＝x ＋x －
x 2＋2
＝0，得x ＝－3，所以当－
3<x <－1时，y ′<0，y <16，当x <－3时，y ′>0，y <16，因此当x <－1时，y max ＝1
6
.
综上，当x ∈R 时，y max ＝f (1)＝12，即a ≥1
2
.
答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞
4．已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2
＋2bx －4，若对任意x 1∈(0,2)，x 2
∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数b 的取值范围．
解 问题等价于f (x )min ≥g (x )max .因为f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，所以f ′(x )＝1x －14－3
4x 2
＝4x －x 2
－34x 2
，由f ′(x )>0，得x 2
－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是[1,3]，单调递减区间是(0,1]和[3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12
.由于函数g (x )＝－x 2
＋2bx －4，
x ∈[1,2]，当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2
时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8.
故问题等价于⎩⎪⎨⎪
⎧
b <1，－1
2
≥2b －5，
或⎩⎪⎨⎪
⎧
1≤b ≤2，－12
≥b 2
－4或⎩⎪⎨⎪
⎧
b >2，－1
2
≥4b －8.
解第一个不等式组，得b <1，解第二个不等式组，得1≤b ≤14
2
，第三个不等式组无解． 综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，
142.。