七年级数学相交线华东师大版知识精讲

七年级数学相交线华东师大版
【本讲教育信息】
一、教学内容：
相交线
二、知识要点
1. 知识点概要
（1）丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符号表示．
（2）借助三角尺，量角器、方格纸画垂线，探索有关垂直的一些性质．
（3）认识两角是同位角、内错角、同旁内角，并能区别出它们是哪两条直线被哪一条直线所截而得的．
（4）能用一些简单的数学语言叙述图形的某些位置关系．
2. 重点难点
（1）重点：借助三角尺，量角器、方格纸画垂线，探索有关垂直的一些性质．认识两角是同位角、内错角、同旁内角．
（2）难点：画垂线，能用一些简单的数学语言叙述图形的某些位置关系．
三、考点分析
（一）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就叫做这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．用符号“⊥”表示，如图1，直线AB与直线CD垂直，记作“AB⊥CD于O”或“CD⊥AB于O”，在图中加注“┒”符号表示两条直线垂直．由此可知：如果∠AOC＝90°，那么AB⊥CD．反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOC＝90°．两条线段垂直、两条射线垂直，都是指它们所在的直线垂直．
（二）垂线的画法：
画一条直线的垂线，通常是经过一点作已知直线的垂线，这一点可能在已知直线外，也可能在已知直线上．用量角器时，往往以已知直线为始边，作一个90°的角，用三角板时，通常有下列三步：一靠，用三角板的一直角边靠在已知直线上；二过，移动三角板让另一直角边过已知点；三画，沿三角板过已知点的边画直线．画一条线段或射线的垂线就是画它们所在直线的垂线，至于过一点画线段的垂线，其垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上．
（三）垂线的性质
（1）在同一平面内，过任意一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．如图2，设点P是直线l外一点，PA、PB、PC、PO都和直线l相交，其中PO⊥l，垂足为O，则线段PO就叫做点P到直线l的垂线段，可见直线外一点到这条直线的垂线只有一条，其余的PA、PB、PC、…都是斜线，斜线有无数条．在线段PA、PB、PC、PO中，垂线段PO最短．垂线段PO的长度也是点P到直线l的距离．
（四）垂线性质的应用
性质（1）被建筑工人用来检验所砌墙面与地面是否垂直，如图3所示：因为铅垂线和水平线是垂直的，如果铅垂线的尺面与墙面能够重合在一起，就说明墙面和地平面是垂直的．
性质（2）常被裁判员用来测量运动员的跳远成绩，或在某点与某直线间铺设最短的管道，行驶最短的路程．
（五）同位角、内错角、同旁内角的概念
如图4，直线a 、b 被第三条直线l 所截，构成八个角，简称“三线八角”．
（1）同位角
顾名思义，位置相同的两个角．它们除了顶点不同外，两角所在的方位相同：（1）同在
第三条直线的同侧；（2）同在另两条直线的同方；其特征是：两角三线呈“Ｆ”字形．图4中的同位角有：1∠与5∠，2∠与6∠，3∠与7,4∠∠与8∠．
（2）内错角
内，指的是两条直线所夹图形的内部，错，交错、错开．合起来就是指位于两条直线的内部，且被第三条直线错开（即在第三条直线的两侧）的两个角．其特征是：两角三线呈“Ｚ”字形．图4中的内错角有3∠与5∠，4∠与6∠．
（3）同旁内角
两角都在两条直线的内部（这一点与内错角相同），且都在第三条直线的同侧（这与内错角不同，但与同位角相同）．其特征是：两角三线呈“Ｕ”字形．图4中的同旁内角有4∠与5∠，3∠与6∠．
（六）注意事项
（1）点到直线的距离、垂线、垂线段、两点间距离的这些概念相近而又相异，主要表现在：①垂线与垂线段的区别是：垂线是一条直线，不可度量长度，垂线段是一条线段，可以度量长度；联系在于都具有垂直于已知直线的共同特性．②两点间的距离与点到直线的距离的区别是：两点之间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间，联系在于都是线段的长度，点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间的距离，同时都是由“最短”的特性引入的．③线段与距离的区别是：距离是线段的长度，是一个量；线段则是一种图形，它们之间是不能等同的．
（2）同位角、内错角和同旁内角是“三线八角”中的主角，这三类角具有如下共同点：都是指两个角的位置关系；都是由三条直线相交构成的，其中有一条是公共的“边”，我们称它为“第三条直线”；都没有公共的顶点．
【典型例题】
例1. 如图5，已知AB CD ，相交于点O ，OE AB ⊥，28EOC ∠=， 则∠COB ＝度．
解析：OE AB ⊥，∠BOE ＝90°，∠COB ＝∠EOB －∠COE ＝90°－28°＝62°．
例2. （2008，资阳市）如图6，CA ⊥BE 于A ，AD ⊥BF 于D ，下列说法正确的是（ ）．
A. ∠α的余角只有∠B
B. ∠α的邻补角是∠DAC
C. ∠ACF 是∠α的余角
D. ∠α与∠ACF 互补
分析：由CA ⊥BE 于A ，AD ⊥BF 于D ，可得∠ADB ＝∠CAE ＝∠BAC ＝90°，则∠α的余角有∠B 、∠CAD ，∠α＝∠ACB ，∠α与∠DAE 互为邻补角，∠ACB 与∠ACF 互为邻补角．则∠α与∠ACF 互补．答案选D ．
例3. 如图7，已知直线a 、b 的位置，用语言叙述你得到的结论．
分析：从图上可以清楚地看清两线之间的关系，考查这一题的关键不在于识图，而在于说图，而说图中尤其要注意的就是垂线与垂直这两个概念的区别．
解：从图形我们得到：（1）两条直线相交成直角；（2）a、b两条直线互相垂直，即a⊥b；（3）直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线）．
例4. 如图8，∠1的内错角是，它们是直线被直线所截得的．
分析：根据内错角的概念：在两条直线的内部，且被第三条直线错开（即在第三条直线的两侧）的两个角．可以找到∠AEC和∠B都是∠1的内错角，再根据三线中的公共线是截线，即可找出直线AB是截线，则其余直线是被截线．
解：∠AEC和∠B，DF、DC（DF、BC）、AB．
OD ，D是垂足，连结OB，下列说法中：
例5. 已知，如图9，BC
①线段OB是O、B两点的距离；②线段OB的长度是O、B两点的距离；
③线段OD是O点到直线BC的距离；④线段OD的长度是O点到直线BC的距离．
其中正确的个数有（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
解析：两点间的距离是指连结两点的线段的长度，而不是线段；点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段．由此可知②、④是正确的．答案选B．
例6.指出图10中所标名称中互相垂直的线段（图中的每一个小方格都是正方形）．
分析：图中标有名称的有四条线段，其中有些线段是可以一下子就可以看出它们不互相垂直的，比如AB与HG，也有些看上去好像垂直的，如CD与EF，甚至是CD与AB．这就需要我们认真的度量与观察．
解：通过度量或观察知CD⊥EF．
例7. 如图11，图中的同位角共有（）．
A. 6对
B. 8对
C. 10对
D. 12对
解析：两条直线被第三条直线所截，同位角有四对，图中有三组两条直线被第三条直线所截，均共有同位角4×3＝12对．如图12所示，答案选D．
例8. 如图13，一个人从A地到河边某处挑水，问这人沿着什么方向走路最近？画图说明为什么．
分析：A地到河边的路径相当于点到直线的连线，其中最短的路径是点A到河边的距离．
解：过点A向河岸作垂线，交河岸于点D，如图14，则沿着AD方向走最近．理由是“垂线段最短”．
例9.如图15，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（）．
A. ①、②、③
B. ①、②、④
C. ②、③、④
D. ①、②、③、④
分析：可将涉及的一对角从整个图形中分离出来，单独观察．如图16，这样可排除图中其它线的干扰，便于确定两角的相对位置．易知①、②、③正确．答案选A．
例10. 如图17，点P是∠AOB内一点．
（1）作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D；
（2）量出PC、PD的长（精确到1mm）；
（3）点P到OA、OB的距离中，点P离谁最近？
（4）量出∠CPD的度数；
（5）∠AOB与∠CPD有什么数量关系？
（6）由此可得到什么规律？
分析：先动手画出点P到OA、OB的垂线段．然后再用刻度尺和量角器来测量，并进行比较．
解：（1）如图18所示；（2）PC＝0.9㎝，PD＝0.5㎝；（3）点P离OB最近；（4）140°；（5）∠AOB＋∠CPD＝180°；（6）在一个角内任取一点，作两边的垂线，则两垂线与这个点的夹角加上这个角的度数和为180°．
例11. 一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校，如图19．
（1）汽车在公路行驶时，会对两个学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图上标出来．
（2）当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？对M 学校的影响逐渐减小，而对N学校影响逐渐增大？
分析：根据生活经验可知，汽车与学校距离越近，对学校的影响越大，距离学校越远，对学校的影响越小．在汽车行驶的过程中，当汽车位于学校与路垂直的位置时，与学校的距离最近．其影响最大．
解：（1）如图20，作MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，根据“垂直的线段最短”，所以在C处对M学校的影响最大，在D处对学校N的影响最大．
（2）由A向C行驶，对两个学校影响逐渐增大，由D向B行驶时，对两个学校的影响逐渐减小，由C向D行驶时，对M学校的影响减小，对N学校的影响增大．
例12. 如图21，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数．
分析：由垂直定义可知∠BOF，∠DOE均为90°，可先求∠BOD，再求∠BOE，利用“对顶角相等”这条性质可得∠AOC与∠BOD相等．
解：因为OE⊥CD，OF⊥AB，所以∠BOF＝∠DOE＝90°，所以∠BOD＝90°－65°＝25°，所以∠BOE＝90°－25°＝65°，所以∠AOC＝∠BOD＝25°（对顶角相等）．五、本讲数学思想方法的学习
1. 将数与形有机结合，可以快速解决与图形有关的数量关系问题．本章节中通过图形的位置关系，可以寻找角与角之间的数量关系．
2. 当题目所给条件不明确时，根据条件呈现的所有情况进行分类，可以达到解题的目的；在理解三线夹角位置关系时，我们同样也需要应用分类的数学思想．
3. 运用方程来解决几何中的问题，是解决与几何图形有关的计算问题的常用手段．
4. 学会触类旁通．长期坚持一题多解、一题多变的探索，不仅可以训练同学们思维的灵活性，而且对锻炼同学们良好的思维品质，培养创新意识和提高探索能力大有裨益．课本中的例题、习题都具有基础性、典型性、可变性和延伸性等特点．在学习数学的过程中，要注重对例、习题的研究和探索，从而达到由此及彼、触类旁通的效果．
5. 要学会从复杂图形中分拆基本图形．当图形较复杂时，常给识别同位角、内错角、同旁内角带来困难，为了克服多条直线的干扰，准确地识别，我们可以将复杂图形分拆成基本图形，从而排除与之无关的线，来判断相应的两角的位置关系．
【模拟试题】（答题时间：90分钟）
一、细心选一选（每题2分，共20分）
1. 下列正确的是（）
A. 把一个角的一边反向延长，可得到这个角的邻补角
B. 平面内两条不平行的线段
．．必相交
C. 如果直线a⊥b，b⊥c，那么a⊥c
D. 对顶角相等，但不互补；邻补角互补，但不相等
2. 如图1，直线AB、CD、EF相交于点O，则图中有（）对对顶角．
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
3. 如图2，∠1＝15º，∠AOC＝90º，点B、O、D在同一直线上，则∠2的度数为（）
A. 75º
B. 15º
C. 105º
D. 165º
4. 如图3，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB ＝150º，那么∠COD等于（）
A. 30º
B. 40º
C. 50º
D. 60º
5. 如图4，∠C＝90°，则正确的是（）
A. 线段CB的长度是表示点C到点B的距离
B. 线段AC是点A到直线BC的距离
C. 在AB、BC、CA中AC最长
D. 线段CB的长是点C到AB的距离
6. 将一X长方形纸如图所示对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系有（）
A. 平行
B. 垂直
C. 平行或垂直
D. 无法确定
*7. 在下图中，∠1与∠2是同位角的有（）
A. ②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
1
2
①1
2
②
1
2
③
1
2
④
*8. 下列说法正确的是（）
A. 两点之间的距离是两点间的线段
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线相交
C. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 与同一条直线垂直的两条直线也垂直.
*9. 图中直线PQ、射线AB、线段MN能相交的是（）.
**10. 下列说法正确的有（）
①两条直线相交，有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角；
②如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点；
③邻补角的两条角平分线构成一个直角；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、仔细填一填：（每题2分，共20分）
11. 如图，要将角钢（图①）弯成
145（图②）的钢架，在角钢上截去的缺口（图①中的虚线）应为度．
12. 如图1，AC是点A到直线BC的垂线段，则点B到AC的距离是线段的长．
13. 如图2，OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOD＝146°，则∠BOC＝度．
*14. 如图3，直线AB、CD相交于点O，∠1＝∠2．则∠1的对顶角是_____，∠4的邻补角是______．∠2的补角是_________．
15. 如图4，直线AB和CD相交于点O，OE是∠DOB的平分线，若∠AOC＝76°，则∠EOB＝_______．
16. 如图5，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝______．
*17. 在下述四个说法中：○1相等的两个角是对顶角，○2有公共顶点的两个角是对顶角，○3一条直线只有一条垂线，○4过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线．正确的个数是__________个．
*18. 如图6，OA⊥OB，OC⊥OD，垂足均为O．则∠BOC＋∠AOD等于________．
19. 如图7，OA⊥OB，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝．
20. 如图8，OA⊥OB，直线CD过点O，且∠AOC＝50°，则∠DOB＝°．
三、认真画一画：（每题10分，共20分）
21. 如图，方格中有一个∠ ．
（1）画出∠a的一个余角∠β；
（2）画出∠a的两个补角；
（3）∠a的两个补角相等吗？说明你的理由．
22. 如图，已知∠AOB，完成下列各题：
（1）画∠AOB的平分线OC．
（2）在OC上任取两点P、Q（与点O不重合），分别过P、Q画PD⊥OA，PE⊥OB，QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分别为点D、E、F、G．
（3）度量线段PE、PD、QF、QG的长，则PD____PE、QF____QG（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（4）从上面的实践，你发现了什么？请用简洁的语句将你的发现的结论反映出来．___________________________________．
四、努力解一解：（每题10分，共40分）
23. 如图，OA⊥OB，CO⊥DO．
（1）∠AOC与∠BOD是否相等？说明理由？
（2）若∠AOD＝52°，求∠BOC的度数．
*24. 如图，AOB为一条直线，∠1＋∠2＝90º，∠COD是直角．
（1）请写出图中相等的角，并说明理由；
（2）请分别写出图中互余的角和互补的角．
*25. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OP 是∠BOC 的平分线，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ．如果∠AOD ＝40°．那么： （1）根据，可得∠BOC ＝度．
（2）因为OP 是∠BOC 的平分线，所以∠C OP ＝2
1
∠＝． （3）求∠BOF 的度数．
O P F
E
D
C
B
A
**26. 如图，已知∠AOB 是直角，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ． （1）求∠EOF 的度数；
（2）如果∠AOC ＋∠EOF ＝156º．则∠BOC 是多少度？
试题答案
一、细心选一选：
1. A （提示：两直线互相垂直时，对顶角相等且互补，邻补角互补且相等）
2. C
3. C
4. A
5. A
6. C
7. C
8. C
9. D 10. C
二、仔细填一填：
11. 35° 12. BC 13. 34°
14.∠3，∠1与∠3，∠BOE 或∠4．（提示：注意补角和邻补角的区别，前者只要求满足数量关系，即两角和为180°，而后者既要求满足数量关系又要求满足位置关系，即互补相
15. 38°16. 36°17. 1
18. 180°（提示：延长BO到E，因为OA⊥OB，所以OA⊥OE.又OC⊥OD，所以∠AOC ＋∠COE＝∠AOC＋∠AOD＝90°．由同角的余角相等知：∠COE＝∠AOD．∴∠BOC＋∠AOD＝∠BOC＋∠COE＝180°．）
19. 30°20. 140°
三、认真画一画：
21. 如图所示：（1）∠a的一个余角为∠β；（2）∠a的两个补角是∠COD、∠AOB；（3）∠COD＝∠AOB，因为∠COD＋∠a＝180°，∠AOB＋∠a＝180°，所以∠COD＝∠AOB．即同角的补角相等．
22.（1）（2）如图所示：
（3）PD＝PE、QF＝QG
（4）角平分线上的点到角的两边的距离相等．
四、努力解一解：
23. （1）∠AOC＝∠BOD，因为OA⊥OB，CO⊥DO，所以∠AOB＝∠COD＝90°，则
∠AOB＋∠AOD ＝∠COD ＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD．
（2）∠BOC＝1周角－∠BOA－∠AOD－∠DOC＝360°－90°－90°－52°＝
24. （1） ①∠AOC ＝∠1，理由是：因为∠COD 是直角，所以∠COD ＝90 º，所以∠AOC ＋∠2＝180º－90º＝90º，又因为∠1＋∠2＝90º，所以∠AOC ＝∠1． ②∠EOB ＝∠COB ，理由是：∠EOB 与∠COB 分别是∠1、∠AOC 的补角，又∠AOC ＝∠1，根据等角的补角相等，可得∠EOB ＝∠COB ．
（2）互余的角有∠1与∠2，∠AOC 与∠2，互补的角有∠1与∠EOB ，∠AOC 与∠COB ，∠2与∠AOD ，∠AOC 与∠EOB ，∠1与∠COB ．
25. （1）对顶角相等，40º，（2） ∠COB 20º，（3） 因为OF ⊥CD ，所以 ∠DOF ＝90º，∠BOF ＝∠AOB －∠AOD －∠DOF ＝180º－90º－40º＝50º． 26. （1）∠EOF ＝∠EOC －∠COF ＝21∠AOC －21∠BOC ＝21（∠AOC －∠BOC ）＝2
1
∠AOB ＝
2
1
×90º＝45º． （2）由（1）知，∠EOF ＝2
1
∠AOB ．因为∠AOC ＋∠EOF ＝156º，所以∠AOB ＋∠BOC ＋21∠AOB ＝156 º又∠AOB ＝90º，则90º＋∠BOC ＋2
1
×90º＝156º，所以∠BOC
＝21º．。