人教A版数学必修一必修①第三章函数的应用.docx

第20讲 §3.1.1 方程的根与函数的零点
¤学习目标：结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；掌握零点存在的判定条件.
¤知识要点：
1. 对于函数()y f x =，能使()0f x =的实数x 叫作函数()y f x =的零点，函数的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标.
2. 函数零点存在结论：若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且()()0f a f b <g ，则函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.
¤例题精讲：
【例1】函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.
A. (1, 2)
B. (2 , 3)
C. (3, 4)
D. (4, 5) 解：易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数.
∵ (1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，(3)ln366ln30f =+-=>. ∴ (2)(3)0f f <g ，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B. 【例2】利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （1）3()21f x x x =--+； （2）1()32x f x e x +=++. 解：（1）易知函数3()21f x x x =--+在定义域R 上是减函数. 用计算器或计算机作出,()x f x 的对应值表或图象.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 ()f x 34 13 4 1 -2 -11 -32
由列表或图象可知，(0)0f >，(1)0f <，即(0)(1)0f f <g ，说明函数()f x 在区间(0,1)内有
零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(0,1).
（2）易知函数1()32x f x e x +=++在定义域R 上是增函数.
用图形计算器或计算机作出图象.
由图象可知，(2)0f -<，(1)0f ->，即(2)(1)0f f --<g ，说明函数()f x 在区间(2,1)--内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(2,1)--.
【例3】求证方程231x x
x -=
+在(0,1)内必有一个实数根. 证明：设函数2()31
x x
f x x -=-+. 由函数的单调性定义，可以证出函数()f x 在(1,)-+∞是减函数.
而0(0)3210f =-=-<，115
(1)3022
f =-=>，即(0)(1)0f f <
g ，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且只
有一个. 所以方程231
x x
x -=+在(0,1)内必有一个实数根.
点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变式为研究方程231
x x
x -=
+的实根个数. 【例4】（1）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 .
（2）已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 . 解：（1）设函数2()21f x ax =-，由题意可知，函数()f x 在(0,1)内恰有一个零点.
∴ (0)(1)1(21)0f f a =-⨯-<g ， 解得12
a >
. （2）∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤g ，
∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得2
3m ≤-.
所以， 实数m 的取值范围是2
(,]3
-∞-.
点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式
第20练 §3.1.1 方程的根与函数的零点
※基础达标
1．函数2243y x x =--的零点个数（ ）.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 不能确定
2．若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ ）. A. 1a >- B. 1a <- C. 1a > D. 1a < 3．函数()23x f x =-的零点所在区间为（ ）
A. （-1，0）
B. （0，1）
C. （1，2）
D. （2，3） 4．方程lg x ＋x ＝0在下列的哪个区间内有实数解（ ）.
A. [-10，-0.1]
B. [0.1,1]
C. [1,10]
D. (,0]-∞
5．函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >g ，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）. A. 没有零点 B. 有2个零点 C. 零点个数偶数个 D. 零点个数为k ，k N ∈ 6．函数2()56f x x x =-+的零点是 . 7．函数3()231f x x x =-+零点的个数为 .
※能力提高
8．已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 f (x ) －3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
9．已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m 的取值范围.
※探究创新
10．已知2()2(1)421f x m x mx m =+++-：（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点； （2）如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数m 的取值范围.
第21讲 §3.1.2 用二分法求方程的近似解
¤学习目标：根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
¤知识要点：
给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如下：
A ．确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <g ，给定精度ε； B. 求区间(,)a b 的中点1x ；
C. 计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <g ，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <g ，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；
D. 判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤B~D ． ¤例题精讲：
【例1】借助计算器，方程ln 30x x +-=在区间（2，3）内的根是 （精确到0.1）． 解：令()ln 3f x x x =+-，则(2)0,(3)0f f <>，
又 (2.5)0,(2.25)0,(2.125)0,(2.1875)0f f f f >><<，
∴ 在区间[2.1875,2.25]内有零点，且2.25-2.1875=0.0625<0.1，所以，取近似值2.2为方程的根． 【例2】借助计算器，用二分法求出ln(26)23x x ++=在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）. 解：原方程即ln(26)320x x +-+=. 令()ln(26)32x f x x =+-+，用计算器做出如下对应值表
x
－2
－1
1
2
f(x) 2.5820 3.0530 27918 1.0794 －4.6974
观察上表，可知零点在（1，2）内. 取区间中点1x =1.5，且(1.5) 1.00f ≈-，从而，可知零点在（1，1.5）内； 再取区间中点2x =1.25，且(1.25)0.20f ≈，从而，可知零点在（1.25，1.5）内；
同理取区间中点3x =1.375，且(1.375)0f <，从而，可知零点在（1.25，1.375）内.
由于区间（1.25，1.375）内任一值，精确到0.1后都是1.3. 故结果是1.3.
【例3】证明方程632x x -=在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确到0.1）.
证明：设函数()236x f x x =+-. ()()110,240f f =-<=>Q ， 又()f x Q 是增函数，所以函数
()236x f x x =+-在区间[1,2]有唯一的零点，则方程632x x -=在区间[1,2]有唯一一个实数解.
设该解为00,[1,2]x x ∈则，取1 1.5,(1.5)0.330,(1)(1.5)0x f f f ==><g ，∴ 0(1,1.5)x ∈. 取2 1.25,(1.15)0.1280,(1)(1.25)0x f f f ==><g ，∴ 0(1,1.25)x ∈.
取3 1.125,(1.125)0.440,(1.125)(1.25)0x f f f ==-<<g ，∴ 0(1.125,1.25)x ∈. 取4 1.1875,(1.1875)0.160,(1.1875)(1.25)0x f f f ==-<<g ，∴ 0(1.1875,1.25)x ∈. ∵ 1.25 1.18750.06250.1-=<，∴ 可取0 1.2x =，则方程的实数解为0 1.2x =.
点评：用二分法求方程实数解的思想是非常简明的，但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是较长的，有些计算不用计算工具甚至无法实施，所以需要借助科学计算器.
【例4】有一块边长为30cm 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形,然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是12003cm 的无盖盒子，那么截去的小正方形的
30
x
边长x 是多少cm (精确到0.1cm )?
解：盒子的体积y 和以x 为自变量的函数解析式为2(302)y x x =-，015x <<.
由容积是12003cm ，则2(302)1200x x -=，下面求二分法来求方程在(0,15)内的近似解.
令2()(302)1200,f x x x =--借助计算机画出函数图象.由图象可以看到,函数()f x 分别在区间(1,2)和(9,10)内各有一个零点,即方程2(302)1200x x -=分别在区间(1,2)和(9,10)内各有一个解.
取区间(1,2)的中点1 1.5x =,用计算器算得(1.5)106.50f =-<.
因为(1.5)(2)0f f <g ,所以0(1.5,2)x ∈.同理可得0(1.5,1.75)x ∈,0(1.625,1.75)x ∈,0(1.6875,1.75)x ∈.
由于|1.75 1.6875|0.06250.1-=<，此时区间(1.6875,1.75)的两个端点精确至0.1的近似值都是1.7,所以方程在区间(1,2)内精确到0.1的近似解为1.7.
同理可得方程在区间(9,10)内精确到0.1的解为9.4.
所以，如果要做成一个容积是21200cm 无盖盒子时,截去的小正方形的边长大约是1.79.4cm cm 或. 点评：用二分法求解实际问题中最关键的一步是把实际问题转化为数学模型.也需借助计算工具.
第21练 §3.1.2 用二分法求方程的近似解
※基础达标
1．函数5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是（ ）.
A. [0，1]
B. [1，2]
C. [2，3]
D. [3，4]
2．设()338x f x x =+-, 用二分法求方程3380(1,2)x x x +-=∈在内近似解的过程中, 计算得到
(1)0,(1.5)0,(1.25)0,f f f <>< 则方程的根落在区间（ ）.
A.（1,1.25）
B.（1.25,1.5）
C.（1.5,2）
D.不能确定
3．如图所示，每个函数图象都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
4．（07年山东卷.文11）设函数3y x =与21()2
x y -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）. A. (01)，
B. (12)，
C. (23)，
D. (34)，
5．已知函数()f x 的一个零点0(2,3)x ∈，在用二分法求精确度为0.01的0x 的一个值时，判断各区间中点的函数值的符号最多（ ）.
A. 5次
B. 6次
C. 7次
D. 8次
6．用“二分法”求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，取区间中点为0 2.5x =，那么下一个有根的区间是 .
7．举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解 . ※能力提高
8．已知3()24f x x x =--+，求证此函数()f x 有且仅有一个零点，并求此零点的近似值（精确到0.1）. 9．某电器公司生产A 种型号的家庭电脑. 1996年平均每台电脑的成本5000元，并以纯利润2%标定出厂价. 1997年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低. 2000年平均每台电脑出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.
（1）求2000年的每台电脑成本； （2）以1996年的生产成本为基数，用“二分法”求1996年至2000年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）.
※探究创新
10．已知函数2()22f x x x =+-. （1）如果函数2()(2)g x f x =-，求函数()g x 的解析式； （2）借助计算器，画出函数()g x 的图象； （3）求出函数()g x 的零点（精确到0.1）.
第22讲 §3.2.1 几类不同增长的函数模型（一）
¤学习目标：利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 体验指数函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.
¤知识要点：
1．比较：幂函数(0)n y x n =>、指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)a y x a =>在区间(0,)+∞上的增长差异.
2．平均增长率的问题：可以用公式(1)x y N p =+表示. 人口问题的应用模型，还可探究英国经济学家马尔萨斯提出的自然状态下的人口增长模型0rt y y e =.
¤例题精讲：
【例1】光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a ,通过x 块玻璃后强度为y .
（1）写出y 关于x 的函数关系式；
（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的1
3
以下? ( lg30.4771)≈ 解：（1） (110%)().x y a x N *=-∈
（2）111,(110%),0.9,333x x y a a a ≤∴-≤∴≤Q
0.91lg3
log 10.4,32lg31
x -≥=≈- ∴ 11x =.
【例2】1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？
解：设x 年后人口总数超过14亿. 由题意得 12(10.0125)14x ⨯+=，即 71.01256
x =. 两边取常用对数，得lg1.0125lg7lg6x =-. ∴ lg7lg6
12.4lg1.0125
x -=≈.
所以，13年后，即2008年我们人口总数超过14亿.
【例3】某公司拟投资100万元，有两种获利的可能提供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种有利的投资比另一种投资可多得利息多少元？
解： 100万元，按单利计算，年利率10%，5年后的本利和为 100(1105)150⨯+%⨯=（万元）.
100万元，按复利计算，年利率9%，5年后的本利和为 5100(19153.86⨯+%)≈（万元）.
由此可见，按年利率9%的复利计算投资，要比年利率10%的单利计算投资更有利，5年后可多的利息3.86万元.
点评：利率问题考察的函数模型是一次函数和幂函数，要理解“单利”和“复利”的实际意义.
【例4】某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回. 设t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示()S f t =的函数关系的为（ C ）.
D.
C.
B.
A.
S
S
S
t
t
t o
o
o
o
S
t
解：当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，S vt
=，图象为一条线段；
当环岛两周时，S两次增至最大，并减少到与环岛前的距离
S；
上岛考察时，
S S
=；
返回时，'
S S vt
=-，图象为一条线段. 所以选C.
点评：根据实践问题中变量的实际意义，寻找它们之间的大概函数关系，由函数关系式确定所要选择的图象.此题的关键是分析各段行程，找出汽艇到岛的距离S与时间t的简明关系.
第22练§3.2.1 几类不同增长的函数模型（一）※基础达标
1．2
()
f x x
=,()2x
g x=,
2
()log
h x x
=,当(4,)
x∈+∞时,三个函数增长速度比较,
下列选项中正确的是（）.
A. ()
f x>()
g x>()
h x B. ()
g x>()
f x>()
h x
C. ()
g x>()
h x>()
f x D. ()
f x>()
h x>()
g x
2．如图,能使不等式2
2
log2x
x x
<<成立的自变量x的取值范围是（）.
A. 0
x> B. 2
x> C. 2
x< D. 02
x
<<
3．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20％，则第四年造林（）.
A. 14400亩
B. 172800亩
C. 17280亩
D. 20736亩
4．某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被面积可增长为原来的y倍，则函数()
y f x
=的大致图象为（）
5．某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款（）.
A. a(1+x)5元
B. a(1+x)6元
C. a(1+x5)元
D. a(1+x6)元
6．老师今年用7200元买一台笔记本. 电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一. 三年后老师这台笔记本还值.
7．某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是.
※能力提高
8．某人有资金2000元，拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目，大约经过多少年后能使现有资金翻一番？（下列数据供参考：lg2=0.3010，lg5.4=0.7324，lg5.5=0.7404，lg5.6=0.7482）.
9．家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式
400
t
Q Q e-
=，其中
Q是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？
※探究创新
10．袁隆平－中国杂交水稻之父.他带领的杂交水稻研究小组经过30多年的不懈研究，于1973年使水稻亩产达到623千克，亩产比一般常规水稻增产20％左右，2000年亩产达到700千克，2004年亩产又达到800千克. （1）根据这样的研究速度，你能猜想中国于2010年杂交水稻的亩产为多少千克？为什么？
（2）根据你的推算，2010年我国杂交水稻的亩产比1973年常规水稻的亩产增长率为多少？
第23讲 §3.2.1 几类不同增长的函数模型（二）
¤学习目标：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 体验二次函数函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.
¤知识要点：
1. 模型优选：解答数学建模等应用问题时，往往并不确定所给出的数学模型，需要我们根据所得的数据，分析出其数字特征，选用适合的函数模型来解决实际问题.
2. 二次函数：应用二次函数的有关知识，可解决生产、生活实际中的最大（小）值的问题. 解答时需遵循的基本步骤是：（1）反复阅读理解，认真审清题意；（2）依据数量关系，建立数学模型；（3）利用数学方法，求解数学问题；（4）检验所得结果，译成实际答案. 关键之处是第2步正确得到二次函数的模型，然后才能在第3步中利用二次函数的性质解决问题.
¤例题精讲：
【例1】有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p 万元和q 万元，它们与投入的资金x 万元的关系有经验公式：p =
110x ，q =2
5
x . 现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？
解：设对乙商品投入x 万元，则对甲商品投入9－x 万元.
设利润为y 万元，[]0,9x ∈.
∴y =
12(9)105x x -+=1(49)10x x -++=21((2)13)10x --+， ∴ 当x =2,即x =4时，y max =1.3.
所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元.
【例2】某商店按每件80元的价格，购进时令商品（卖不出去的商品将成为废品）1000件；市场调研推知：当每件售价为100元时，恰好全部售完；当售价每提高1元时，销售量就减少5件；为获得最大利润，商店决定提高售价x 元，请将获得总利润y 元表示为x 的函数，并确定合理售价，求出最大利润.
解：设比100元的售价高x 元，总利润为y 元；则
22(100)(10005)8010005500200005(50)32500y x x x x x =+--⨯=-++=--+. 显然，当50x =即售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元.
【例3】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t)；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？ 解：（1）当0≤t ≤1时，y =4t ；当t ≥1时，1
()2t a y -=，此时(1,4)M 在曲线上， ∴114(),32a a -==，这时31()2
t y -=.
所以34(01)1()()(1)2t t t y f x t -≤≤⎧⎪==⎨≥⎪⎩.（2）∵ 340.251()0.25,()0.252t t f t -≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩即， 解得1
165t t ⎧⎪≥⎨≤⎪⎩ ，∴ 1516t ≤≤. ∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为115
541616
-=个小时.
点评：生活中有许多实际问题，常作为函数模型的应用背景. 我们需依据四步曲“读题理解→建模转化→求解
问题→检验作答”求解，从冗长的文字语言中精炼出数学语言，选择合适的数学模型来研究.
【例4】某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，（024t ≤≤）.从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?
解：设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则400601206y t t =+-.
令6t ＝x ，则26x t =，即240010120y x x =+-210(6)40,[0,12]x x =-+∈. ∴ 当6x =，即6t =时，min 40y =，
所以，从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨.
点评：运用二次函数的模型，常解决一些最大（小）值的问题，对生产生活等问题进行优化.
第23练 §3.2.1 几类不同增长的函数模型（二）
※基础达标
1．某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（ ）. A. p B. 12p C. (1+p )12 D. (1+p )12－1
2．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）. A.
30.5
100
⨯克 B. (1－0.5%)3克 C. 0.925克 D. 100
0.125克
3．1980年我国工农业总产值为a 亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（ ）.
A. 120
4－1 B. 120
2－1 C. 121
4－1 D. 121
2－1
4．某商品2002年零售价比2001年上涨25％，欲控制2003年比2001年只上涨10％，则2003年应比2002年降价（ ）.
A. 15％
B. 12％
C. 10％
D. 8％
5．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）.
6．计算机成本不断降低,若每隔三年计算机价格降低
1
3
，则现在价格为8100元的计算机9年后价格可降为 元. 7．某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是 元.
※能力提高
8．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x (0<x <1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x ，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x ，已知日利润=（出厂价—成本）×日销售量，且设增加成本后的日利为y . （1）写出y 与x 的关系式； （2）为使日利润最大，问x 应取何值？
9．某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
※探究创新
10．（2007年上海卷.文理18）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达
到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
第24讲 §3.2.2 函数模型的应用举例（一）
¤学习目标：收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用. 体会解决实际问题中建立函数模型的过程，进一步加深对这些函数的理解与应用.
¤知识要点：
1. 分段函数模型：结合分类讨论的数学思想方法，根据实际情况，正确得到分段函数模型，并合理选用某段解析式和数学方法来解决实际问题.
2. 常见的指数型函数模型如下：（1）放射性元素衰变的数学模型为：0t m m e λ-=，其中t 表示经过的时间，0m 表示初始质量，衰减后的质量为m ，λ为正的常数.
（2）1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus ，1766-1834）提出自然状态下的人口增长模型：0rt y y e =，其中t 表示经过的时间，0y 表示0t =时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.（教材P 115例4）
（3）英国物理学家和数学家牛顿（Issac Newton ，1643-1727年）曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型：
010()kt
e θθθθ-=+-g ，其中t 表示经过的时间，1θ表示物体的初始温度，0θ表示环境稳定，k 为正的常数. （教材P 123 实习作业）
¤例题精讲：
【例1】1650年世界人口为5亿，当时的年增长率为3‰，用指数增长模型计算什么时候世界人口达到10亿（实际上1850年前已超过10亿）. 1970年世界人口为36亿，年增长率为2.1‰，用指数增长模型预测什么时候世界人口会翻一番？
解：由1650年世界人口数据，把05y =，0.003r =代入马尔萨斯人口模型，得0.0035t y e =.
解不等式0.003510t y e =≥，得ln 2
2310.003
t ≥
≈ 所以，由马尔萨斯人口模型估算，经过231年后，即1881年世界人口达到10亿.
由1970年世界人口数据，把036y =，0.0021r =代入马尔萨斯人口模型，得0.002136t y e =. 解不等式0.00213672t y e =≥，得ln 2
3300.0021
t ≥
≈.
所以，由马尔萨斯人口模型估算，经过330年后，即2300年世界人口达到72亿. 【例2】“依法纳税是每个公民应尽的义务”. 国家征收个人所得税是分段计算,总收入不超过800元,免征个人所得税，超过800元部分需征税. 设全月纳税所得额为x ，x =全月总收入－800元，税率见下表：
级 数 全月纳税所得额 税 率 1 不超过500元部分 5% 2 超过500元至2000元部分 10% 3 超过2000元至5000元部分 15% … … … 9 超过10000元部分 45%
（1）若应纳税额为f （x ），试用分段函数表示1~3级纳税额f （x ）的计算公式；
（2）某人2005年10月总收入3000元，试求该人此月份应缴纳个人所得税多少元； （3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于 A .800~900元 B.900~1200元 C.1200~1500元 D.1500~2800元 解：（1）依税率表，有：第一段：x ·5%，0＜x ≤500； 第二段：（x －500）×10%+500×5%，500＜x ≤2000； 第三段：（x －2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000＜x ≤5000，
即f （x ）=0.050.1(500)250.15(2000)175
x x x ⎧⎪
⨯-+⎨-+⎪⎩ (0500)(5002000)(20005000)x x x <≤<≤<≤.（2）这个人10月份应纳税所得额x =3000－800=2200，
f （2200）=0.15×（2200－2000）+175=205.所以，这个人10月份应缴纳个人所得税205元. （3）解法一：（估算法）由500×5%=25元，100×10%=10元，故某人当月工资应在1300~1400元之间，故选C.
解法二：（逆推验证法）设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400×5%=20（元），500×5%+200×10%=45（元）.可排除A 、B 、D ，故选C.
点评：关系国民经济发展的纳税问题，与分段函数密切相关，我们需注意各级税率的正确理解，超过部分按此税率，并非一个税率来计算纳税.
第24练 §3.2.2 函数模型的应用举例（一）
※基础达标
1．在本埠投寄平信，每封信不超过20g 时付邮资0.80元，超过20g 而不超过40g 付邮资1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮资0.80元（信重在100g 以内）．如果某人所寄一封信的质量为82.5g ，那么他应付邮资 （ ）.
A. 2.4元
B. 2.8元
C. 3.2元
D. 4元
2．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，已知甲骑自行车比乙骑自行车快，若每人离开甲地的距离s 与所用时间t 的函数用图象表示，则甲、乙两人的图像分别是（ ）.
A. 甲是(1), 乙是(2)
B. 甲是(1), 乙是(4)
C. 甲是(3), 乙是(2)
D. 甲是(3), 乙是(4)
3．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线nt y ae =. 假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有
8
a
，则m 的值为（ ）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4．由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）.
A. 5.83元
B. 5.25元
C. 5.56元
D. 5.04元
5．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数式是（ ）.
A. x =60t
B. x =60t +50t
C. x ={
60,(0 2.5)
15050,( 3.5)
t t t t ≤≤-> D. x =60,(0 2.5)150,(2.5 3.5)15050( 3.5),(3.5 6.5)
t t t t t ≤≤⎧⎪<≤⎨--<≤⎪⎩
6．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过节20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重(040)x x <≤克的函数，其表达式为()f x = .
7．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24％，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则()y f x =的函数解析式为 .
※能力提高
8．某冬晨，警局接到报案，在街头发现一位流浪者的尸体，早上六点测量其体温13℃，到早上七点时，其体温下降到11℃. 若假设室外温度约维持在10℃，且人体正常体温为37℃，运用牛顿冷却模型可以判定流浪汉已死亡多久？
9．某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为2
1()52
R x x x =-
（万元）（0≤x ≤5），其中x 是产品售出的数量（单位：百台）. （1）把利润L (x )表示为年产量x 的函数； （2）年产量是多少时，工厂所得的利润最大?
※探究创新
10．通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间. 讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散. 分析结果和实验表明，用()f x 表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出和讲授概念的时间（单位分）
可以使用公式：20.1 2.643,(010)()59,(1016)3107,(1630)
x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪
=<≤⎨-+<≤⎪⎩. （1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长
时间？ （2）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ （3）如果每隔5分钟测量一下学生的接受能力，在计算平均值
(5)(10) (30)
6
f f f M +++=
，它能高于45吗？
第25讲 §3.2.2 函数模型的应用举例（二）
¤学习目标：收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例，了解函数模型的广泛应用. 体会解决实际问题中建立函数模型的过程，进一步加深对这些函数的理解与应用.
¤知识要点：
1. 图表分析：从给出的统计数据表中发现数学规律，寻找存在的数学模型，并用之解决实际问题.
2. 函数图象：把实际中存在的规律用图象直观形象的表示出来，通过图象来求解函数模型. ¤例题精讲：
【例1】某商场经销一批进货单价为40元的商品,销售单价与日均销售量的关系如下表：
销售单价/元 50 51 52 53 54 55 56 日均销售量/个
48
46
44
42
40
38
36
为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？
解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.
设销售单价定为x 元，则每个利润为（x －40）元，日均销量为[482(50)]x --个. 由于400x ->，且482(50)0x -->，得4074x <<.
则日均销售利润为2(40)[482(50)]22285920y x x x x =---=-+-，4074x <<. 易知，当228
572(2)
x =-
=⨯-，y 有最大值.
所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.
点评：从表格中发现存在的变化规律，是课标教材中对提价后销量减少一类应用问题相比大纲教材的改进. 这种表格背景更符合实际，规律都是从样本数据中发现，而不是直接生硬地得到，同时也提高了读表分析这一数学阅读理解能力.
【例2】某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，每一批产品A 上市销售40天内全部售完. 该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）.
（1）分别写出国内市场的日销售量()f t 、国外市场的日销售量()g t 与第一批产品A 的上市时间t 的关系式；
（2）第一批产品A 上市后，求日销售利润()Q t 的解析式.
解：（1）当030t ≤≤时，设()f t kt =，由6030k =解得k =2，则()2f t t =. 当3040t <≤时，设()f t at b =+，由{6030040a b a b =+=+解得
{6240
a b =-=，则()6240f t t =-+.所以，国内市场的日销
售量{
2(030)
()6240(3040)t t f t t t ≤≤=
-+<≤.设()(40)g t at t =-，由6020(2040)a =-解得320
a =-.
所以，国外市场的日销售量2
3()620
g t t t =-
+（040t ≤≤）. （2）设每件产品A 的销售利润为()q t ，由图易得{
3(020)
()60(2040)
t t q t t ≤≤=<≤，从而这家公司的日销售利润()Q t 的。