3.6罗必塔法则

f ( x ) f (c ) f ′(ξ ) l ε < = < l +ε. g ( x ) g (c ) g ′(ξ )
f ( x ) f (c ) f ( x ) f (c ) g( x ) l ε < = g( x ) g(c ) < l + ε g( x ) g(c ) g( x ) g( x )
∴ 原式 = e 2
β 求证 lim f ( x ) = . x → +∞ α f ( x ) xα α x α 1 f ( x ) + x α f ′( x ) 证明： 证明： lim = lim α x → +∞ x → +∞ x α x α 1
例11. f 在(a ,+∞ )可导, 若 xlim [α f ( x ) + x f ′( x )] = β , (α > 0) → +∞
= e
,
再次强调: 再次强调
0 ∞ (1) 仅用于 , , 0 ∞
f ′( x ) ( 2) lim 不存在 , 如何处理 ? x → x 0 g ′( x )
(3) 及时化简， 及时化简， (4) 多次使用. 多次使用.
四、其它用法
n100 例9. lim n→ ∞ 100 n
以Heine定理为媒介,计算数列极限. Heine定理为媒介, 定理为媒介
§3.6 3.6
L’Hospital L Hospital 法则
一、洛必达法则1 洛必达法则
0 （0
型）
+ (以x → x0 为例 )
设 f , g在区间 ( x 0 , x 0 + δ )有定义 , g ( x ) ≠ 0, 满足
(i )
( ii )
x→ x 0
lim +
f ( x ) = 0,
1 x
= lim
x → +∞
1 2 x2 1 + x = lim =1 2 x → +∞ 1 + x 1 2 x
注意: 注意 ①
各种方法综合使用(提出常用因子, 各种方法综合使用(提出常用因子, 等价代换,变量替换) 等价代换,变量替换)
②
可多次连续使用
2e 2 x e x 3 x 1 2e 2 x e x 3 x 1 = lim 例2. lim x 2 x x →0 x →0 (e 1) e x2
= a = 1,
∴ a = 1.
x= 1 t
lim ( 3 x 3 + x 2 + x + 1 x ) 例14. x → +∞
1 1 1 3 1+ = lim x [ + 2 + 3 1] x → +∞ x x x
2
=
1+ t + t2 + t3 1 lim t →0 t
1 f ( x) ) x
ln ( 1+ f ( x) x ∴ lim 1 + = lim e x→0 x→0 x
1 x
f ( x) ln[1 + ] x = lim f ( x ) = lim f ′( x ) = lim f ′′( x ) = 2. lim x →0 x→0 x 2 x→0 2 x x→0 x 2
e x Pn ( x ) ∴ lim = 0 , k = 0,1,2, L , n k x →0 x
取k = 0 , e x Pn ( x ) → 0 e 0 a0 = 0 ∴ a0 = 1
e x Pn ( x ) e x Pn′ ( x ) 取k = 1 , lim = lim x→0 x →0 x 1
L≤ l L≥ l
说明: 说明
(1) 并未要求: lim f ( x ) = ∞ 并未要求:
x→ x + 0
( 2) 可推广到 x → x , x → x0 , x → ±∞ , x → ∞ 0
f ′( x ) ( 3) 注意 lim+ 要存在或为无穷大 ! (否则要用其它方法 ) x → x 0 g ′( x )
=e
ln x x → 0+ 1 x lim
= e 0 = 1.
例7 解 例8
求 lim x
x →1
1 1 x
.
( 1∞ )
=e .
ln x x →11 x lim
原式 = lim e
x →1
x →0
1 ln x 1 x
1 ln x
=e
1 lim x x → 1 1
= e 1 .
求 lim+ (cot x )
+ + 而当x → x 0 时, ξ → x 0 , 因此
lim
x→ x + 0
f ( x) f ′(ξ ) f ′( x ) = lim = lim = a. + g ′(ξ ) + g ′( x ) g( x ) ξ → x 0 x→ x 0
说明: 说明
x → x , x → x 0 , x → ∞ , x → ±∞也成立 . 0
1 ln x
( ∞0 )
1 ln(cot x ) ln x
解 Q (cot x )
1 1 2 1 Q lim+ ln(cot x ) = lim+ cot x sin x x → 0 ln x 1 x →0 x x = 1, = lim+ ∴ 原式 = e 1 . x → 0 cos x sin x
xα α x α 1 ( 2) lim x = lim x → +∞ e x → +∞ ex
= lim
x → +∞
设m 1 < α ≤ m
α (α 1)L(α m + 1) x α m
= lim
α (α 1)L(α m + 1)
e x
x m α
ex
x → +∞
= 0.
ex ex ( 3) lim x = lim x ln x = lim e x (1 ln x ) = 0 x → +∞ x → +∞ x x → +∞ e
例13. 解：
设 lim时, (1 + ax ) 1与 cos x 1是等价无穷小 , 求a
x →0
1 2 2
1 2 2
2ax
(1 + ax ) 1 2 1 + ax 2 = lim a x lim = lim x→0 x →0 x→0 cos x 1 sin x 1 + ax 2 sin x
= lim
x →0
4e
2x
8e e 7 e 3 = lim = x →0 2x 2 2
x 2x x
二、洛必达法则2 洛必达法则2
(i ) lim g ( x ) = ∞ ,
∞ （∞
+ (以x → x 0 为例 ) 型）
设 f , g在 ( x0 , x0 + δ )内满足 :
x→ x+ 0
( ii )
3. 0 ,1 , ∞ 型
0 0
∞
步骤: 步骤 00
0 ln0 取对数 ∞ 1 → ∞ ln1 0 ∞. 0 ln∞ 0 ∞
x x →0
例6 解
求 lim+ x .
( 00 )
x ln x
原式 = lim+ e
x →0
=e
x →0+
lim
1 x 1 x2
=e
x →0+
lim x ln x
→ +∞
ex e = lim = +∞ . 解 原式 = lim x → +∞ 2 x → +∞ 2 x
x
2. ∞ ∞ 型
1 1 00 步骤: 步骤 ∞ ∞ . 0 0 0 0
1 1 例5 求 lim( ). x → 0 sin x x
解
( ∞∞ )
x sin x 原式 = lim x → 0 x sin x 1 cos x = lim = 0. x → 0 sin x + x cos x
f , g在 ( x 0 , x 0 + δ )可导, 且 g ′( x ) ≠ 0,
f ( x) f ′( x ) 则 lim = lim =l x → x g( x ) x → x g ′( x )
+ 0 + 0
f ′( x ) ( iii ) lim+ = l (有限或无穷 ). x → x 0 g ′( x )
固定 c , 令x → x + , 有 0
f ( x) ≤ l +ε x→ x g( x ) f ( x) 同理 : lim inf ≥ l +ε x→ x g( x ) f ( x) ∴ lim =l x→ x g( x ) 有: lim sup
+ 0 0
+ 0
由ε 任意性 , 由ε 任意性 ,
x 100 100 x 99 100! 1 lim 解： →∞ 100 x = xlim 100 x ln 100 = L = (ln 100)100 xlim 100 x = 0 x → +∞ → +∞
n100 0 ∴ 原式 = lim n = n → ∞ 100
f ( x) = 0 , f ′′(0) = 4, 例10. 设 f ∈ C , 且 lim x →0 x
1 cos x sin x 1 例1. lim x 2 = lim 2 x = 2 x →0 x →0
lim x sin x x x
x= y
x→0
+
=
y sin y 1 cos y 1 lim = lim = 3 2 y→0 y→0 y 3y 6
+ +
x → +∞
lim
π arctan x 2
= e 0 Pn′ (0) = 1 a1 ,
∴ a1 = 1
e x Pn ( x ) e x Pn′ ( x ) 取k = 2 , lim = lim 2 x→0 x→0 2x x ′ 1 e x Pn′( x ) ∴ a2 = = lim = 0. x→0 2! 2
1 LL ∴ a k = , k = 0,1,2,L , n. k! x2 xn ∴ex = 1+ x + + L+ + o( x n ) 2! n!
ห้องสมุดไป่ตู้
证明： 证明： 补充定义 : f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 ,
x ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) , f , g在 [ x 0 , x ] 连续 .
由Cauchy中值定理 : ξ ∈ ( x 0 , x ), 使得
f ( x ) f ( x ) f (a ) f ′(ξ ) . = = g ( x ) g ( x ) g (a ) g ′(ξ )
f ′( x ) = l 有限 证明： 证明： 设 xlim → x g ′( x )
+ 0
ε > 0 , 0 < δ 1 < δ ,当x ∈ ( x0 , x0 + δ 1 )时 :
f ′( x ) l < ε, g ′( x )
f ′( x ) l ε < < l +ε. g ′( x )
对 ( x , c ) ( x0 , x 0 + δ 1 ), 必存在ξ ∈ ( x , c ), 使得
x + sin x 1 + cos x lim = lim 不存在 , 不能用洛必达 ! x→∞ x→∞ x 1 sin x lim 1 + =1 x→∞ x
α x x 例3. x → +∞ 时, ln x << x (α > 0) << e << x . 1 ln x x = lim 1 = 0 (1) lim α = lim x → +∞ α x α 1 x → +∞ α x α x → +∞ x
α f ( x ) + x f ′( x ) β = lim = x → +∞ α α
例12. 求n 次多项式 Pn ( x ) = a 0 + a1 x + L + a n x n ,
使 e x = Pn ( x ) + o( x n ).
解： Q e x Pn ( x ) = o( x n )
三、其它不定型 0 ∞ , ∞ ∞ ,0 ,1 , ∞ 型
0 0
∞
关键: 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
0 ∞ ( ), ( ) 的类型 0 ∞
.
1. 0 ∞ 型
1 1 步骤: 步骤 0 ∞ ∞, 或 0 ∞ 0 . 0 ∞ 求 lim x 2e x . ( 0 ∞ ) 例4 x → +∞
2
f ( x) 求 lim 1 + x →0 x
1 x
(1∞ )
f ( x) f ( x) = 0 , 知 lim f ( x ) = lim x = 0, 解：由 lim x→0 x→0 x→0 x x
∴ f ( 0 ) = 0,
lim
x→0
f ( x) = f ′(0) = 0. x
x→ x+ 0
lim g( x ) = 0;
f , g在区间 ( x 0 , x 0 + δ )可导 , 且 g ′( x ) ≠ 0;
f ′( x ) ( iii ) lim+ = a , (有限或无穷大 ). x → x 0 g ′( x )
f ( x) f ′( x ) 则有 lim+ = lim+ = a. x → x 0 g( x ) x → x 0 g ′( x )