高考数学压轴专题2020-2021备战高考《集合与常用逻辑用语》易错题汇编及答案解析

新高考数学《集合与常用逻辑用语》专题解析
一、选择题
1．已知集合*4
x
M x N ⎧=∈⎨⎩且*10x N ⎫∈⎬⎭，集合40x N x
Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N = B ．N M ⊆ C ．20x M N x
Z ⎧⎫
⋃=∈⎨⎬⎩⎭
D ．*40x M N x
N ⎧⎫
⋂=∈⎨⎬⎩⎭
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：集合M 表示能被20整除的正整数， 而集合N 表示能被40整除的整数，
据此可得，集合N 与集合M 的公共元素为能被40整除的正整数， 即*40x M N x
N ⎧⎫
⋂=∈⎨⎬⎩⎭
， 本题选择D 选项.
2．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立，
当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l 1∥l 2⇒322
11
m m m --=≠-， 由321m m
m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由
211
m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件，
故答案为：A 【点睛】
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
3．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()112
2
log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题
及其真假分别为（ ）
A ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真
B ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真
C ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假
D ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】
命题p 的逆否命题为“若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；
由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．下列命题是真命题的是（ ）
A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；
B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2
011x -≤；
C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；
D ．命题“若()110x
x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110x
x e -+≠”.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据面面关系判断A ；根据否定的定义判断B ；根据充分条件，必要条件的定义判断C ；根据逆否命题的定义判断D. 【详解】
若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故A 错误； 命题“p ：x R ∀∈，211x -≤”的否定为p ⌝：0x R ∃∈，2
011x ->，故B 错误；
p q ∨为真，说明,p q 至少一个为真命题，则不能推出p q ∧为真；p q ∧为真，说明,p q
都为真命题，则p q ∨为真，所以“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，故C 错误；
命题“若()110x
x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110x
x e -+≠”，故
D 正确； 故选D 【点睛】
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
5．已知命题:p “关于x 的方程240x x a -+=无实根”，若p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(1,)+∞
C ．(,1)-∞
D ．(,1]-∞
【答案】B 【解析】
【分析】
求出p 为真命题时，a 的取值，由充分不必要条件的性质，得出314m +>，即可得出答案.
【详解】
当p 为真命题时，1640a ∆=-<，即4a > 令{|4}A a a =>，{|31}B a a m =>+
因为p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，所以B A
即314m +>，解得1m > 故选：B 【点睛】
本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围，属于中档题.
6．已知集合，则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】 【分析】 由题意，集合，
，再根据集合的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合
，
，
所以，故选C.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
础题.
7．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】
222x y x y ++≥Q 且224x y
+≤ ，
224222x y x y x y ++∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，
又2x y xy +≥Q ，0,0x y >>
221xy xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤，
反过来，当1
2,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
8．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()
12
n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
必要性显然成立；由()12
n n n a a S +=
，()
111(1)2n n n a a S ---+=，得
11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，同理可得211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②，综合①，
②，得122n n n a a a --=+，充分性得证，即可得到本题答案. 【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性， 若()12
n n n a a S +=
，所以当2n …时，()111(1)2n n n a a S ---+=， 所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，
所以当3n …
时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②， ①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，即数列{}n a 是等差数列，充分性得证，所以“()
12
n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
9．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．函数1
()f x x
=
在其定义域上是减函数 B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
C ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件
D ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠” 【答案】B 【解析】 【分析】
对于选项A ：利用反比例函数的图象与性质判断即可；
对于选项B ：利用原命题与它的逆否命题同真假，判断原命题的真假即可； 对于选项C ：根据充分条件与必要条件的定义即可判断； 对于选项D ：根据原命题的否命题的定义判断即可； 【详解】
对于选项A ：由反比例函数的图象与性质知，函数1
()f x x
=在区间()(),0,0,-∞+∞上单调递减，故选项A 错误；
对于选项B ：由题意知，当x y =时，sin sin x y =显然成立，故原命题为真命题，根据原命题与其逆否命题同真假可知，其逆否命题亦为真命题，故选项B 正确；
对于选项C ：当1x =-时，有2560x x --=成立，反过来，当2560x x --=时，可得
6x =或1x =-，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故选项C 错误；
对于选项D ：根据原命题的否命题的定义知，命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若
21x ≠，则1x ≠”，故选项D 错误；
故选：B 【点睛】
本题考查反比例函数的单调性、四种命题之间的关系及真假判断和充分条件与必要条件的判断；熟练掌握四种命题之间的关系及真假判断的方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
10．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫
==+∈⎨⎬⎩⎭
，则（ ） A ．M N = B ．M N C ．N M D ．M N ⋂=∅
【答案】C 【解析】 【分析】
化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫
==∈⎨
⎬⎩⎭
，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解. 【详解】
由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==
+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫
==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，
因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数， 所以集合,M N 的关系为N M .
故选：C . 【点睛】
本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
11．下面说法正确的是（ ）
A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题
B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件
C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”也为假命题
D ．命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”
【答案】A 【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】
A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；
B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以该选项错误；
C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题，所以该选项错误；
D. 命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++<”，所以该
选项错误. 故选：A 【点睛】
本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．已知实数a b 、满足0ab >，则“11
a b
<成立”是“a b >成立”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 由
11b a a b ab
--=， 0ab >Q ，∴若
11
a b
< 成立, 则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >， 0ab >Q ，110b a a b ab
-∴
-=<， 即
11
a b
<成立， ∴“
11
a b <成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试
,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直
观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
13．若集合()(){}
130M x x x =+-<，集合{}
1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-
C ．()1,1-
D ．()3,1-
【答案】C 【解析】 【分析】
解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】
由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
14．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
15．已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（ ）． A ．{|20}x x -<< B ．{|20}x x -≤≤ C ．{|20}x x x <->或 D ．{|20}x x x ≤-≥或
【答案】C 【解析】 【分析】
解二次不等式求出集合M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．
【详解】
∵全集U=R ，2
{|2}={|20}M x x x x x =-≥-≤≤∴∁U M={x|x<-2或x>0}， 故选C ． 【点睛】
本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．
16．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的
（ ）条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
17．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）
A ．3(3,)2
-- B ．3(3,)2
-
C ．3(1,)2
D ．3(,3)2
【答案】D 【解析】
试题分析：集合()(){}
{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合
，所以
3|32A B x x ⎧⎫
⋂=<<⎨⎬⎩⎭
,故选D.
考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.
18．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞- B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)-+∞
【答案】B 【解析】
由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[
)2,+∞ 本题选择B 选项.
19．已知命题:p 函数()
2
0.5log 2y x x a =++的定义域为R ，命题:q 函数()
52x
y a =--是减函数.若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．12a <<
C ．2a <
D ．1a ≤或2a ≥
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意知p 为假命题，q 为真命题.
由p 为假命题，即：220x x a ++>不恒成立，故4401a a ∆=-≥⇒≤ .
q 为真命题，即： 5212a a ->⇒<.由此便可得出答案.
【详解】
由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，得p 为假命题，q 为真命题. 由p ：函数(
)
2
0.5log 2y x x a =++为假命题得，220x x a ++>在R 上不恒成立.即
4401a a ∆=-≥⇒≤.
由:q 函数()52x
y a =--是减函数，即：()52x
y a =-是增函数，即5212a a ->⇒<. 两者取交集得：1a ≤. 故选：A 【点睛】
本题主要考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”，属于中档题目.
20．已知命题0:(0,)p x ∃∈+∞2
0x >；命题1
:,2q x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭
，122x x -+>下列命题中是真命题的为（ ）
A ．q ⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∧
D ．()()p q ⌝∨⌝
【答案】C
【解析】
【分析】 分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案.
【详解】
取012x =212⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故命题p 为真；
因为122x x -+≥=12x =时等号成立，故命题q 为真； 故p q ∧为真，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.。