庐山市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

庐山市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．从1，2，3，4中任取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率为（）
A．B．C．D．
2．执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝10，则输出的i＝（）
A．4 B．5
C．6 D．7
3．经过点()
1,1
M且在两轴上截距相等的直线是（）
A．20
x y
+-=B．10
x y
+-=
C．1
x=或1
y=D．20
x y
+-=或0
x y
-=
4．设m是实数，若函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x）的性质叙述正确的是（）
A．只有减区间没有增区间 B．是f（x）的增区间
C．m=±1 D．最小值为﹣3
5．执行如图所示的一个程序框图，若f（x）在[﹣1，a]上的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）
A．（0，1] B．[1，] C．[1，2] D．[，2]
6． 双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ） A ．45
B ．90
C ．120
D ．360
8． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ ）
A ．2日和5日
B ．5日和6日
C ．6日和11日
D ．2日和11日
9． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为1S 、2S 、3S ，则（ ）
A ．123S S S <<
B ．123S S S >>
C ．213S S S <<
D ．213S S S >> 10．下列函数中哪个与函数y=x 相等（ ）
A ．y=（
）2
B ．y=
C ．y=
D ．y=
11．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A ．15
B ．21
C ．24
D ．35
12．若等式（2x ﹣1）2014=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2014x 2014
对于一切实数x 都成立，则a 0+
1+
a 2+…+a 2014=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．0
二、填空题
13．设x ，y 满足的约束条件
，则z=x+2y 的最大值为 ．
14．过点（0，1）的直线与x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为 ．
15．在区间[﹣2，3]上任取一个数a ，则函数f （x ）=x 3﹣ax 2+（a+2）x 有极值的概率为 ．
16．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ． 17．已知n S 是数列1{}2n n -的前n 项和，若不等式1|12
n n n S λ-+<+｜对一切n N *
∈恒成立，则λ的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力．
18．已知点A （﹣1，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），求向量
在
方向上的投影．
三、解答题
19．甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．
（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数ξ的数学期望；
（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．
20．A={x|x 2﹣3x+2=0}，B={x|ax ﹣2=0}，若B ⊆A ，求a ．
21．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和n S ．
22．（本小题满分12分）椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，A ，B
是C 的长轴上的两个顶点，已知|PF |＝1，k P A ·k PB ＝－1
2.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的中心O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求三角形PMN 面积的最大值，并求此时l 的方程．
23．已知函数
（a ≠0）是奇函数，并且函数f （x ）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a ，b 的值； （2）求函数f （x ）的值域．
24．（本小题满分12分）
如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，//EF
AC ，2AD =，
EA ED EF ===.
（1）求证：AD BE ⊥；
（2）若BE =-F BCD 的体积.
庐山市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：从1，2，3，4中任取两个数，有（1，2），（1，3），
（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况，
其中一个数是另一个数两倍的为（1，2），（2，4）共2个，
故所求概率为P==
故选：C
【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题．
2．【答案】
【解析】解析：选B.程序运行次序为
第一次t＝5，i＝2；
第二次t＝16，i＝3；
第三次t＝8，i＝4；
第四次t＝4，i＝5，故输出的i＝5.
3．【答案】D
【解析】
考点：直线的方程.
4．【答案】B
【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，
则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，
当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件，
作出函数f（x）的图象如图：
则函数在上为增函数，最小值为﹣2，
故正确的是B，
故选：B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．
5．【答案】B
【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，
当a＜0时，y=log2（1﹣x）+1在[﹣1，a]上为减函数，f（﹣1）=2，f（a）=0⇒1﹣a=，a=，不符合题意；当a≥0时，f′（x）=3x2﹣3＞⇒x＞1或x＜﹣1，
∴函数在[0，1]上单调递减，又f（1）=0，∴a≥1；
又函数在[1，a]上单调递增，∴f（a）=a3﹣3a+2≤2⇒a≤．
故实数a的取值范围是[1，]．
故选：B．
【点评】本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值．
6．【答案】B
【解析】解：∵双曲线标准方程为，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±x．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．
7．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，
所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．
8．【答案】C
【解析】解：由题意，1至12的和为78，
因为三人各自值班的日期之和相等，
所以三人各自值班的日期之和为26，
根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，
据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，
故选：C．
【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
9．【答案】A
【解析】
考点：棱锥的结构特征．
10．【答案】B
【解析】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．
B．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．
C．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．
D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．
故选B．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．
11．【答案】C
【解析】【知识点】算法和程序框图
【试题解析】否，
否，否，是，
则输出S=24．
故答案为：C
12．【答案】B
【解析】解法一：∵，
∴（C为常数），
取x=1得，
再取x=0得，即得，
∴，
故选B．
解法二：∵，
∴，
∴，
故选B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．
二、填空题
13．【答案】7．
【解析】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣，
平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．
由，得，
即B（3，2），
此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
14．【答案】2
【解析】解：∵x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，
∴点（0，1）到圆心O（0，0）的距离d=1，
∴点（0，1）在圆内．
如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，
∴|AB|min=2=2．
故答案为：2．
15．【答案】．
【解析】解：在区间[﹣2，3]上任取一个数a，
则﹣2≤a≤3，对应的区间长度为3﹣（﹣2）=5，
若f（x）=x3﹣ax2+（a+2）x有极值，
则f'（x）=x2﹣2ax+（a+2）=0有两个不同的根，
即判别式△=4a2﹣4（a+2）＞0，
解得a＞2或a＜﹣1，
∴﹣2≤a＜﹣1或2＜a≤3，
则对应的区间长度为﹣1﹣（﹣2）+3﹣2=1+1=2，
∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=，
故答案为：
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a 的取值范围是解决本题的关键．
16．【答案】1－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 17．【答案】31λ-<<
【解析】由221111
1123(1)22
22n n n S n n
--=+⨯
+⨯++-⋅
+，2
111
12222
n S =⨯+⨯+…111(1)22n n n n -+-⋅+⋅，两式相减，得2111111212222222n n n n n S n -+=++++-⋅=-，所以12
42
n n n S -+=-，
于是由不等式12
|1
42
n λ-+<-｜对一切N n *∈恒成立，得|12λ+<｜，解得31λ-<<． 18．【答案】
【解析】解：∵点A （﹣1，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），
∴向量=（1+1，2﹣1）=（2，1），
=（3+2，4+1）=（5，5）；
∴向量
在方向上的投影是
=
=
．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵抽样比f==，
∴甲地区抽取人数==55人，
乙地区抽取人数==50人，
∴由频数分布表知：
解得x=6，y=7．
（Ⅱ）由频数分布表知甲地区优秀率==，
乙地区优秀率==，
现从乙地区所有学生中随机抽取3人，
抽取出的优秀学生人数ξ的可能取值为0，1，2，3，
ξ～B（3，），
∴Eξ=3×=．
（Ⅲ）从样本中优秀的学生中随机抽取3人，
抽取出的甲地区学生人数η的可能取值为0，1，2，3，
P（η=0）==，
P（η=1）==，
P（η=2）==，
P（η=3）==，
∴η的分布列为：
Eη==1．
【点评】本题考查频数分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高
考中都是必考题型．
20．【答案】
【解析】解：解：集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}
∵B⊆A，
∴（1）B=∅时，a=0
（2）当B={1}时，a=2
（3））当B={2}时，a=1
故a值为：2或1或0．
21．【答案】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由
1
1
4
n n
n n
a a
a a
+
+
-=
+
得22
1
4
n n
a a
+
-=，∴{}2n a是等差数列，公差为4，首项为4，（3分）
∴244(1)4
n
a n n
=+-=，由0
n
a>得2
n
a n
=．（6分）
（Ⅱ）∵
1
11
(1)
2
212
n n
n n
a a n n
+
==+-
+++
，（9分）
∴数列
1
1
n n
a a
+
⎧⎫
⎨⎬
+
⎩⎭
的前n项和为
1111
(21)(32)(1)(11)
2222
n n n
-+-+++-=+-．（12分）
22．【答案】
【解析】解：
（1）可设P的坐标为（c，m），
则c
2
a2＋
m2
b2＝1，
∴m＝±b
2
a
，
∵|PF|＝1 ，
即|m|＝1，∴b2＝a，①
又A，B的坐标分别为（－a，0），（a，0），
由k P A ·k PB ＝－1
2
得
b 2a
c ＋a ·b 2a c －a
＝－12，即b 2＝12a 2，②
由①②解得a ＝2，b ＝2，
∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （2，1），此时S △PMN ＝1
2
×22×2＝
2.
当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得x 24＋k 2x 22＝1，即x ＝±2
1＋2k
2
，
∴y ＝±2k
1＋2k 2
，
即M （21＋2k
2
，
2k 1＋2k
2
），N （
－21＋2k
2
，
－2k 1＋2k
2
），
∴|MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋2k 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 1＋2k 22 ＝4
1＋k 21＋2k 2
，
点P （2，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝|2k －1|k 2＋1，∴S △PMN ＝12|MN |d ＝1
2
·
4
1＋k 21＋2k 2·|2k －1|
k 2＋1
＝2·|2k －1|1＋2k 2
＝2
2k 2＋1－22k
1＋2k 2
＝2
1－22k 1＋2k 2
， 当k ＞0时，22k 1＋2k 2≤22k
22k ＝1，
此时S ≥0显然成立， 当k ＝0时，S ＝2.
当k ＜0时，－22k 1＋2k 2≤1＋2k 2
1＋2k 2
＝1，
当且仅当2k 2＝1，即k ＝－
2
2
时，取等号． 此时S ≤22，综上所述0≤S ≤2 2.
即当k ＝－22时，△PMN 的面积的最大值为22，此时l 的方程为y ＝－2
2x .
23．【答案】
【解析】解：（1）∵函数是奇函数，则f （﹣x ）=﹣f （x ）
∴
，
∵a ≠0，∴﹣x+b=﹣x ﹣b ，∴b=0（3分） 又函数f （x ）的图象经过点（1，3）， ∴f （1）=3，∴，∵b=0，
∴a=2（6分）
（2）由（1）知（7分） 当x ＞0时，，当且仅当
，
即
时取等号（10分）
当x ＜0时，，∴
当且仅当
，即
时取等号（13分）
综上可知函数f （x ）的值域为
（12分）
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．
（2）在EAD △中，EA ED =，2AD =，。