2020高考数学(文)二轮专题课件：基础送分专题四 复数、算法、推理与证明

(2)程序框图的填充问题的解题方法 ①假设参数满足判断条件，执行循环体； ②运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果 相同为止； ③根据此时各变量的值，补全程序框图． 3．算法中的易错易混 (1)循环结束的条件判断不准致误．控制循环结构的是计数 变量和累加变量以及循环结束的条件，要弄清楚是满足条件时 结束，还是不满足条件时结束． (2)条件结构对条件判断不准致误．解答条件结构题时要对 判断条件仔细辨别，既不要漏掉也不要重复了端点值．
推理与证明
[题点·考法——全练]
1．(2019·重庆调研)甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只
有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获
奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”
丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，
则获奖的同学是
()
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话 都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、 乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学 是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学．从前面 推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故选 D. 答案：D
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是
A．①
Байду номын сангаас
B．②
C．④
D．⑤
()
解析： (1)同时开放①⑤两个安全出口，疏散 1 000 名乘客所需 的时间为 200 s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散 1 000 名乘 客所需的时间为 140 s，所以疏散 1 000 名乘客④比①快 60 s. (2)同时开放①⑤两个安全出口，疏散 1 000 名乘客所需的时间为 200 s，同时开放①②两个安全出口，疏散 1 000 名乘客所需的时 间为 120 s，所以疏散 1 000 名乘客②比⑤快 80 s. (3)同时开放①②两个安全出口，疏散 1 000 名乘客所需的时间为 120 s，同时开放②③两个安全出口，疏散 1 000 名乘客所需的时 间为 220 s，所以疏散 1 000 名乘客①比③快 100 s.
B．i≤5 D．i≤7
解析：初始值，S＝1，i＝1，第一次循环，S＝3，i＝2；第二次 循环，S＝7，i＝3；第三次循环，S＝15，i＝4；第四次循环，S ＝31，i＝5；第五次循环，S＝63，i＝6，此时退出循环，输出 S ＝63.结合选项知判断框中应填入的条件为 i≤5，故选 B. 答案：B
5．(2019·九江三模)2018 年 9 月 24 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料
＋(2×5－1)＋…＋(2×2 019－1)，可看作数列{2n－1}的前
2 019 项中所有奇数项的和，即首项为 1，公差为 4 的等差
数列的前 1 010 项和．
答案：D
4．(2020 届高三·湘东六校联考)执行如图所示的程序框图，为使 输出的数据为 63，则判断框中应填入的条件为 ( )
A．i≤4 C．i≤6
3．(2019·株洲二模)高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行 提供了极大的方便．某高铁换乘站设有编号为①，②，③， ④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口， 疏散 1 000 名乘客所需的时间如下：
安全出口编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤ 疏散乘客时间(s) 120 220 160 140 200
2．(2019·南昌一模)我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九 章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数 学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第 n 行的所有 数 之 和 为 2n － 1 ， 若 去 除 所 有 为 1 的 项 ， 依 次 构 成 数 列 2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前 55 项和为 ( )
29)．根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入 n 的值为 100，
则输出 k 的值应属于区间
()
A．(15,20] C．(25,30]
B．(20,25] D．(30,35]
解析：该流程图是统计 100 以内素数的个数， 由题可知小于数字 x 的素数个数大约可以表示为 n(x)≈lnxx， 则 100 以内的素数个数为 n(100)≈ln101000＝2l1n0010＝lg5010＝
s＝1＋12＋14＋18，x＝116，x<ε 不成立；
s＝1＋12＋14＋18＋116，x＝312，x<ε 不成立；
s＝1＋12＋14＋18＋116＋312，x＝614，x<ε 不成立；
s＝1＋12＋14＋18＋116＋312＋614，x＝1218，x<ε 成立，
此时输出 s＝2－216，故选 C.
基础送分专题四 复数、算法、推理与证明
复数
[题点·考法——全练]
1．(2019·全国卷Ⅰ)设 z＝13＋－2ii，则|z|＝
()
A．2
B. 3
C. 2
D．1
解析：法一：∵z＝13＋－2ii＝13＋－2ii11－－22ii＝1－5 7i，
∴|z|＝
152＋－752＝ 2.
答案：C
3．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能
是
()
A．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 019
项和
B．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 020 项和
C．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 009 项和
D．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 010 项和 解析：由程序框图得，输出的 S＝(2×1－1)＋(2×3－1)
lg e 50lg e≈22，故选 B.
答案：B
[方略·细节——谨记] 1．程序框图问题的解题策略 (1)读懂程序框图，弄清程序框图基本结构； (2)对于条件结构，明确判断框内条件是关键； (3)对于循环结构，一要弄清是“先执行，后判断”还是“先 判断，再执行”的形式；二要明确每一次执行循环前后变量值 发生的变化；三要明确循环体终止的条件是什么，即何时终止 循环．
A．4 072 C．4 096
B．2 026 D．2 048
解析：由题意，在“杨辉三角”中，令行数为 n，则nn2＋1－ (2n－1)＝55，解得 n＝12，则前 12 行的和为 1＋21＋22＋…＋ 211＝212－1，所以去除所有为 1 的项后的数列的前 55 项和为 212－2×12＝4 072，故选 A. 答案：A
法二：|z|＝13＋－2ii＝
10＝ 5
2.
答案：C
2． z 是 z＝11＋－2ii的共轭复数，则 z 的虚部为
()
A．－12
B.12
C．－32
3 D.2
解析：z＝11＋－2ii＝11＋－2ii11＋＋ii＝－12＋3i＝－12＋32i，则 z ＝
－12－32i，所以 z 的虚部为－32，故选 C.
4．(2019·江西五校协作体联考)已知 i 是虚数单位，若 z＋1i ＝
1－i2 1＋i
020，则|z|＝
()
A．1
B. 2
C．2
D. 5
解析： 1i ＝i－－ii＝－i，11＋－ii＝1＋1i－1i－2 i＝－22i＝－i，所以
1－i2 1＋i
020＝(－i)2
答案：C
3．已知复数 z 满足(2－i)z＝i＋i2，则 z 在复平面内对应的点位
于
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： z＝i2＋－ii2＝－2－1＋i i＝－2－1＋ii2＋2＋ii＝－35＋i＝－35＋15i，则 复数 z 在复平面内对应的点为－35，15，该点位于第二象限． 答案：B
所以 V＝13S1R＋13S2R＋13S3R＋13S4R＝13SR，
所以内切球的半径 R＝3V.
答案：3SV
[方略·细节——谨记] 1．破解归纳推理题的思维 3 步骤
2．破解类比推理的三个关键
即找出两类对象之间可以确切表述的相 会定类
似特征 即用一类事物的性质去推测另一类事物 会推测 的性质，得出一个明确的猜想 即检验猜想的正确性．要将类比推理运 会检验 用于简单推理之中，在不断的推理中提 高自己的观察、归纳、类比能力
020＝i2
020＝i505×4＝1，所以由
z＋1i ＝11－＋ii2
020，
得 z－i＝1，z＝1＋i，所以|z|＝ 2，故选 B.
答案：B
[方略·细节——谨记] 1．求解与复数概念相关问题的技巧 (1)复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都 与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，
2．求解与复数运算相关问题的技巧及结论 (1)在复数的代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多 项式运算法则进行，把含有虚数单位 i 的项看作一类同类项，不 含 i 的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题 中注意要把 i 的幂化成最简形式． (2)复数运算的常用结论 ①(1±i)2＝±2i，11－＋ii＝i，11－ ＋ii＝－i. ②a＋i bi＝b－ai. ③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2
＋i4n＋3＝0(n∈N )．
3．复数中的易错易混 (1)易混淆纯虚数，虚部，共轭复数等概念，在 a＋bi(a，b ∈R )中，a 是实部，b 是虚部；只有 a＝0，b≠0 时才是纯虚数． (2)i2＝－1 是实现实数与虚数互化的桥梁，易丢掉“－”而 导致解题错误． (3)复数除法运算时，易不会分母有理化而无法计算．
得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，
这一事件引起了数学界的震动，在 1859 年，德国数学家黎曼
向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提
出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学
家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字 x 的素数个数大
约可以表示为 n(x)≈lnxx的结论(素数即质数，lg e≈0.434
半径 r＝2CS.在空间中，三棱锥的体积为 V，表面积为 S，利 用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各
个面均相切)的半径 R＝________. 解析：若三棱锥表面积为 S，体积为 V，则其内切球半径
R＝3SV.理由如下： 设三棱锥的四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4， 由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，
需先把所给复数化为 a＋bi(a，b∈R )的形式，再根据题意列方
程(组)求解． (2) 求 复 数 的 模 时 ， 直 接 根 据 复 数 的 模 的 公 式 |a ＋ bi| ＝
a2＋b2和性质| z |＝|z|，|z|2＝| z |2＝z·z ，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12|| 进行计算．
2．掌握程序框图的两类常考问题的解题技巧 (1)求解程序框图的运行结果问题 先要找出控制循环的变量及其初值、终值，然后看循环体， 若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多， 可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不 要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条 件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满 足终止条件．
程序框图
[题点·考法——全练]
1．(2019·开封定位考试)执行如图所示的程序框图，若输出的结
果为 3，则输入的 x 为
()
A．－1 C．－1 或 1
B．0 D．－1 或 0
解析：由x－<x02，＋4＝3， 得 x＝－1；由x3≥ x＋02，＝3， 得 x＝0.故 选 D. 答案：D
2．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的 ε 为
0.01，则输出 s 的值等于
()
A．2－214
B．2－215
C．2－216
D．2－217
解析：ε＝0.01，
x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝12，x<ε 不成立；
s＝1＋12，x＝14，x<ε 不成立；
s＝1＋12＋14，x＝18，x<ε 不成立；
(4)同时开放②③两个安全出口，疏散 1 000 名乘客所需的时间为 220 s，同时开放③④两个安全出口，疏散 1 000 名乘客所需的时 间为 160 s，所以疏散 1 000 名乘客④比②快 60 s. 综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是④. 答案：C
4．在平面内，三角形的面积为 S，周长为 C，则它的内切圆的