拉普拉斯变换以及传递函数

2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
例2-5
求例2-2机械系统与电路系统的传递函数 Xc和(s) Uc (s)
解：
Xr (s)
U r (s)
•
•
(B1 B2 ) X c (K1 K 2 ) X c B1 X c K1 X r
(B1 B2 )SXc (s) (K1 K2 ) X c (s) B1SX r (s) K1X r (s)
性质 传递函数与微分方程之间有关系。
6
G(s) C(s) R(s)
如果将 S d 置换 传递函数 微分方程
dt
10
性质 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)
7
脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单 位脉冲输入
时的输出响应。
R(s) L[ (t)] 1
c(t) L1[C(s)] L1[C(s)R(s)]
延迟定理
L[ f (t )] es F (s)
终值定理
lim f (t) lim sF (s)
3
t
s 0
数学工具－拉普拉斯变换与反变换续
初值定理 微分定理
lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
于是，由定义得系统传递函数为：
7
G(s) C(s) b0sm b1s m1 bm1s bm M (s) R(s) a0s n a1s n1 an1s an N (s)
M (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm N (s) a0 s n a1s n1 an1s an
11
a U2 (s)S s0 1
b
10 4
1.2S(S 3847 .85)
s2.166 1.000043
10 4 c
1.2S(S 2.166 )
s3847.85 5.63 10 4
U 2 (t) 1 1.00043 e2.166t 5.63 10 4 e3847.85t
2.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响
R1C2
R2C2 )SU2 (s) U 2 (s)
U1(s)
1 S
U 2 (s)
S[R1R2C1C2S 2
1 (R1C1
R1C2
R2C2 )S
1]
1
S(1.2 10 4 S 2 0.462 S 1)
10 4
a b
c
1.2S(S 2.166 )(S 3847 .85) S S 2.166 S 3847.85
bm r (t )
式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和是与 系统结构和参数有关的常系数。
设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即 零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换， 并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程 为：
[a0 s n a1s n1 an1s an ]C(s) [b0 s m b1s m1 bm1s am ]R(s)
p1 ) r ]s p1
br 1
{ d [ B(s) ds A(s)
(s
p1 ) r ]}s p1
br j
1{d j j! ds j
[ B(s) (s A(s)
p1 )r ]}s p1
b1
(r
1
d r1
1)! { ds r 1
[
B(s) A(s)
(s
p1 ) r
]}s p1
其余各极点的留数确定方法与上同。 5
实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。
19
6 纯时间延时环节
c(t) r(t )
G(s) es
式中 － 延迟时间
特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固 定的时间间隔。
实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学
模型就包含有延迟环节。
一对电位器可组成误差检测器
20
θ1
θ2
u(t) K1[1(t) 2 (t)] K1 (t)
s pn
B(s)
[a1s a2 ]s p1
[ (s A(s)
p1 )(s
p2 )] s p1
c.F(s)含有多重极点时，可展开为
F(s)
br (s p1)r
br 1 (s p1 )r1
b1 (s p1)
ar 1
(s pr1 )
an (s pn )
br
[ B(s) (s A(s)
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
-1.33
-0.5
-2
z2 -1
z1
图2-7 传递函数的零极点图
传递函数
输出信号的拉氏变换 输入信号的拉氏变换零初始条件
C(s) R(s)
6
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
a0
dn dt n
c(t)
a1
d n1 dt n1
c(t)
an1
d dt
c(t)
a n c(t )
b0
dm dt m
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模 态所占比重越大
零点距极点的距离越近，该极点所产生的模 态所占比重越小
如果零极点重合－该极点所产生的模态为零， 因为分子分母相互抵消。
14
2.3.4典型元部件的传递函数
电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。 单个电位器用作为信号变换装置。
U (t)
U(s) U(s)
22
电枢控制直流伺服电动机
第2讲例2-3中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为
Tm
dm (t) dt
m (t)
K1U a
(t)
K 2 M c (t)
M c (t) 可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理，分别求
到 U a (t) m (t) 和 M c (t) 到 m (t) 的传递函数。
图2-8 电位器 E
U(t)
θ
(t)
-∏
∏
(b)
(a)
U (t) K1 (t)
H(s)
U(s) K1
(c)
15
E
K1
2
m
E
m
2
单位角位移，输出电压(v/rad)
E -电位器电源(v)
ma－x 电位器最大工作角(rad)
U (s) K1(s)
G(s)
U (s) (s)
K1
16
2.3.5典型环节及其传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。
② t>0时，f(t)分段连续
f (t)est dt 0
则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
F (s) L[ f (t)] f (t)est dt 0
⑵拉氏变换基本定理
线性定理
L[a1 f1(t) a2 f2 (t)] a1F1 (s) a2 F2 (s)
位移定理
L[eat f (t)] F (s a)
(1 C1
1 C2
)
性质1
--》电系统的传递函数
传递函数是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所具 有复变量函数的所有性质。
性质2
G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的 形式（幅度与大小）无关。
R(s)
G(s)
C(s)
图2-6
9
性质3
G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的 物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
3 微分环节
理想微分 G(s) KS 一阶微分 G(s) S 1 二阶微分 G(s) 2S 2 2S 1
特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入 信号的变化趋势。
实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数
即为微分环节。
18
4 积分环节
G(s) 1 S
特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消
s2F(s)
sf
(0)
f
' (0)
积分定理
L[ f (t)dt] F (s) f 1(0)
s
s
L[
f (t)dt]
F (s) s2
f
1 (0) s2
f
2 (0) s
⑶ 拉氏反变换
F(s)化成下列因式分解形式：
F(s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
m
G(s)
M (s)
K*
(S Zi )
i 1
N (s)
n
(S Pj )
Z i (i 1,2,为,m)传递函数的零点 Pj ( j 1,2,为,n)传递函数的极点
j 1
极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系
统自由运动的模态。
12
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
失，输出具有记忆功能。
实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计 算机中的积分器等。
5 振荡环节
式中 ξ－阻尼比
G(s)
n 2
1
S 2 2n S n2 T 2S 2 2TS 1
(0 1)
T 1
n
-自n 然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其 输出出现振荡。
K12
K11
U(t)
图2-9 电位器
K1是单个电位器的传递系统， (t) 1(t) 2 (t) 是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。 U (s) K1 电位器的负载效应，一般要求
(s)
Rl 10 R p
21
测速发电机－测量角速度并将它转换成电压量的装置
直流测速发电机
交流测速发电机 ω
ω
U(t)
典型环节通常分为以下六种：
1 比例环节
G(s) K
式中 K-增益 特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式 变送器等。
2 惯性环节
G(s) 1
TS 1
17
式中 T-时间常数 特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出 不能立即复现，输出无振荡。 实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机的 传递函数也包含这一环节。
第3讲
程向红
传递函数及其性质 典型元部件的传递函数
1
上讲回顾
模型的概念
建立系统微分方程模 型
实例：电枢控制直流伺 服电动机模型
电枢回路电压平衡方程 电磁转距方程 电动机轴上的转距平衡
方程
非线性系数学工具－拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0
TG
永磁铁
激磁绕组～
TG
～
输出绕组、相互垂直
(a)
U (t)
K t (t )
Kt
d (t)
dt
图2-10 测速发电机
(t) 转子角速度（rad/s）
Kt 输出斜率（v/rad/s）
G(s)
U (s) (s)
Kt
S
U (s) G(s) (s) Kt
Ω(s)
H (s)
（b) U(t)
Kt SKt 图2-11
性质4 性质5
如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用 下的输出响应。
如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研 究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出 该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。
传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量微 分方程的运算模型（operational mode）
Xc Xr
(s) (s)
(B1
BB21)ss--K》K11 机 K械2 系统传递函数
(R1
R2
•
)U
c
(1 C1
1 C2
)U
c
R1
•
U
r
1 C1
U
r
8
(R1
R2 )SUc (s)
(1 C1
1 C2
)U c (s)
R1SU r
(s)
1 C1
U r (s)
Uc (s)
R1S
1 C1
Ur (s)
(R1R2 )S
t
r(t)g(t )d
t
r(t )g( )d
0
0
例2-在6 例1-1中，设当
R1 20K, R2 3K,C1 0.1F,C2 20F
输入为 U单1(t)位阶跃函数,即 时U1(,t求) 输(t) 出
U 2 (t)
解： 根据例1得到的微分方程。
R1R2C1C2 S 2U 2 (s) (R1C1
a. F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F (s) a1 a2 an
s p1 s p2
s pn
B(s)
ak
[ (s A(s)
pk )]s pk
4
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
F (s) a1s a2 a3 an
(s p1 )(s p2 ) s p3