图论的基本概念外文翻译

图论的基本概念-外文翻译
毕业设计论文外文资料翻译
题目: 图论的基本概念院系名称: 理学院专业班级:信息与计算科学F0801 学生姓名: 学号: 200848490110
指导教师:教师职称:副教授
起止日期: 2012-3-5~3-16 地点:
附件: 1.外文资料翻译译文;2.外文原文。

指导教师评语:签名: 年月日
附件1:外文资料翻译译文
1.6 路和联通
G的一条途径(或通道)是指一个有限非空序列W v0 e1 v1 e2 v2…ek vk ,它的项交替地为顶点和边,使得对1≤i≤k,ei的端点是vi-1 和vi 。

称W是从v0 到vk 的一条途径,或一条(v0 ,vk)途径顶点。

v0 和vk分别成为W 的起点和终点,而v1 ,v2 ,…,vk-1 称为它的内部顶点。

整数k称为W的长。

若W v0 e1 v1 …ek vk 和W’ vk ek+1 vk+1 …el vl都是途径,则W 逆转后所得的途径vk ekvk-1 …e1 v0 记为W-1,将W和W’在vk 处衔接在一起所得的途径v0 e1 v1 …el vl记为W W’。

途径W v0 e1 v1 …ek vk的节是指W
中由相继项构成的子序列vi ei+1 vi+1 …ej vj ,它也是一条途径;这一子序列又可称为W的(vi ,vj )节。

在简单图中,途径v0 e1 v1 …ek vk 由它的顶点序列v0 v1 … vk 所确定;所以简单图的途径可简单地由其顶点序列来表示。

不仅如此,即使在非简单图中,我们有时也把相继项均相邻的顶点序列看作为“途径”。

在这种场合应该理解为:所作的论述对于具有这种顶点序列的每条途径都是正确的。

若途径W 的边e 1,e2 ,… ,ek 互不相同,则W称为迹;这时W的长恰好是ε(W)。

又若途径W的顶点v0 ,v1 ,… ,vk 也互不相同,则W称为路。

图1.8 指出了一个图的途径,一条迹和一条路。

“路”一次也可用来表示其顶点和边是一条路的各项的图或子图。

途径:uavfyfvgyhwbv
?迹: wcxdyhwbvgy
?路: xcwhyeuav
G的两个顶点u和v称为连通的,如果在G中存在(u,v)路。

连通是顶点集V上的一个等价关系。

于是就存在V的一个分类,把V分成非空子集V1 ,V2 ,… ,Vw,使得两个顶点u和v是连通的当且仅当它们属于同一子集V 。

子图G[V1 ],G[V2 ],… ,G[Vw ]称为G的分支。

若G是不练通的。

G的分支个数记为w(G)。

图1.9画出了连通的和不练通的。

a
(b)
图1.9 (a)一个连通图;(b)一个有三个分支的不连通图
习题
1.6.1 证明:若在G中存在(u,v)途径,则在G中也存在(u,v)路。

1.6.2 证明:G中长为k的(vi ,vj )途径的数目就是Ak中的第(i,j)元素。

1.6.3 证明:若G是简单图且δ≥k,则G有长为k的路。

1.6.4 证明:G是连通图当且仅当对于把V分为两个非空子集V1 和V2 的每个分类,、
总存在一条边,其一个端点在V1 中而另一个端点在V2中。

1.6.5(a)证明:若G是简单图且ε ( v-21) ,则G连通。

(b)对于v1,找出一个边数ε( v-21) 的不连通简单图。

1.6.6(a)证明:若G是简单图且δ [v/2]?1,则G连通。

(b)当v是偶数时,找出一个不连通的([v/2]?1)正则简单图。

1.6.7 证明:若G 不连通,则GC连通。

1.6.8(a)证明:若e∈ E,则w(G)≤wG?e≤w(G)+1。

(b)设v∈V,证明:在上面的不等式中,一般不能用G?v代替G?e。

1.6.9证明:若G连通且G的每个顶点的度均为偶数,则对于任何v∈V,w(G?v)≤1/2 dv成立。

1.6.10 证明:在连通图中,任意两条最长路必有公共顶点。

1.6.11 若在G中顶点u和v是连通的,则u和v之间的距离dGu,v是G 中最短(u,v)路的长;若没有路连接u和v,则定义dGu,v为无穷大。

证明:对于任何三个顶点u,v和w,du,v+dv,w≥d(u,w)成立。

1.6.12G的直径是指G的两个顶点之间的最大距离。

证明:若G的直径大于3,则Gc 的直径小于3。

1.6.13 证明:若G是直径为2的简单图且Δ v?2,则ε≥2v?4。

1.6.14 证明:若G是连通简单图但不是完全图,则G有三个顶点u,v和w,使得uv,vw ∈E,而uwE。

1.7 圈
称一条途径是闭的,如果它有正的长且起点和终点相同,若一条闭迹的起点和内部顶点互不相同,则它称为圈。

与路一样,有时用术语“圈”来表示对应于一个圈的图,长为k的圈称为k圈;按k是奇数或偶数,称k圈是奇圈或偶圈。

3圈称为三角形。

图1.10给出了闭迹和圈的例子。

闭迹:ucvhxgwfwdvbu
图 1.10图: xaubvhx
利用圈的概念,可以给出偶图的一个特征。

定理1.2 一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈。

证设G是具有二分类(X,Y)的偶图,并且设Cv0 v1… vk v0 是G的一个圈。

不失一般性,可假设v0 ∈X。

因为v0 v1∈E且G是偶图,所以v1∈Y。

同理v2 ∈X。

一般说来,v2i ∈X,且v2i+1 ∈Y,又因为v0 ∈X,所以vk ∈Y。

于是对某个i,有k2i+1,由此即得C是偶图。

显然仅对连通图证明其逆命题就够了,设G是不包含奇圈的连通图。

任选一个顶点u且定义V的一个分类X,Y如下:
Xx∈V|du,x是偶数
Yy∈V|du,y是奇数
现在证明(X,Y)是G的一个二分类。

假设v和w是X的两个顶点,P是最短的(u,v)路,Q是最短的(u,w)路,以u 记P和Q的最后一个公共顶点。

因P和Q是最短路,
P和Q二者的(u,u1)节也是最短的(u,u1)路,故长相同。

现因P和Q的长都是偶数,所以P的(u1 ,v)节P1 和Q的(u1 ,w)节Q1 必有相同的奇偶性。

因此推出(v,w)路P1-1Q1 长为偶数。

若v和w相连,则P1-1Q1wv 就是一个奇圈,与假设矛盾,故X中任意两个顶点均不相邻;类似地,Y中任意两个顶点也不相邻。

习题
1.7.1 证明:若边e在G的某闭迹中,则e在G的某圈中。

1.7.2证明:若δ≥2,则G包含圈。

1.7.3证明:若G是简单图且δ≥2,则G包含至少是δ +1的圈。

1.7.4G的围长是指G中最短圈的长;若G没有圈,则定义G的围长为无穷大。

证明:(a)围长为4的k正则图至少有2k个顶点,且(在同构意义下)在2k个
顶点上恰好有一个这样的图;
(b)围长为5的k正则图至少有k2 +1个顶点。

1.7.5 证明:围长为5,直径为2的k正则图恰好有k2+1个顶点,当k2,3时找出这种图来。

(Hoffman和Singleton在1960年已证明:这种图仅当k2,3,7,可能还有57时存在。

)
1.7.6证明:
(a)若ε≥v,则G包含圈;
(b)若ε≥v+4,则G包含两个边不重的圈。

附件2:外文原文(复印件)。