沧州数学一元一次方程单元测试卷(含答案解析)

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）
1．如图1，已知，在内，在内，
.
（1）从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，
________ ；
（2）若图1中的平分，则从图1中的位置绕点逆时针旋转到与
重合时，旋转了多少度？
（3）从图2中的位置绕点逆时针旋转，试问：在旋转过程中的度数是否改变？若不改变，请求出它的度数；若改变，请说明理由.
【答案】（1）100
（2）解：∵平分，
∴，
设，
则，，
由，
得：，
解得：，
∴从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，旋转了12度；
（3）解：不改变
①当时，如图，
，，
∵，，
∴
；
② 时，如图，
此时，与重合，
此时，；
③当时，如图，
，，
；
综上，在旋转过程中，的度数不改变，始终等于
【解析】【解答】(1）解：由题意：∠EOF= ∠AOB+ ∠COD=80°+20°=100°
【分析】（1）根据∠EOF=∠BOE+∠BOF计算即可；（2）设，得，，再根据列方程求解即可；（3）分三种情形分别计算即可；
2．如图，数轴上有、、、四个点，分别对应，，，四个数，其中，，与互为相反数，
（1）求，的值；
（2）若线段以每秒3个单位的速度，向右匀速运动，当 ________时，点与点重合，当 ________时，点与点重合；
（3）若线段以每秒3个单位的速度向右匀速运动的同时，线段以每秒2个单位的速度向左匀速运动，则线段从开始运动到完全通过所需时间多少秒？
（4）在（3）的条件下，当点运动到点的右侧时，是否存在时间，使点与点的距离是点与点的距离的4倍？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得：
∵
∴，
∴，
（2）8；
（3）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为
∵重合
∴
解得 .
∴线段从开始运动到完全通过所需要的时间是6秒
（4）解：①当点在的左侧时
∵
∴
解得
②当点在的右侧时
∵
∴
解得：
所以当或时，
【解析】【解答】（2）若线段以每秒3个单位的速度，
则A点表示为-10+3t, B点表示为-8+3t,
点与点重合时，-10+3t=14
解得t=8
点与点重合时，-8+3t=20
解得t=
故填：8；；
【分析】（1）由与|d−20|互为相反数，求出c与d的值；（2）用含t的式子表示A，B两点，根据题意即可列出方程求解；（2）用含t的式子表示A，D两点，根据题意即可列出方程求解；（3）分两种情况，①当点在的左侧时②当点在的右侧时，然后分别表示出BC、AD的长度，建立方程，求解即可．
3．某县外出的农民工准备集体包车回家过春节，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位．
（1）求准备包车回家过春节的农民工人数；
（2）已知租用45座客车的租金为每辆车5000元，60座客车的租金为每辆车6000元，问租用哪种客车更合算？请说明理由．
【答案】（1）解：设需单独租45座客车x辆，依题意得
45x=60（x－1）－15
解这个方程，得 x=5
则45x=45×5=225
答：准备回家过春节的农民工有225人
（2）解：由（1）知，需租5辆45座客车或4辆60座客车；
而租5辆45座客车的费用为 5×5000=25000（元），
租4辆60座客车的费用为4×6000=24000（元）．
故，租4辆60座客车更合算
【解析】【分析】（1）设需单独租45座客车x辆，根据单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位列出方程解出答案即可；（2）根据（1）知，需租5辆45座客车或4辆60座客车和租用45座客车的租金为每辆车5000元，60座客车的租金为每辆车6000元，求出答案即可。

4．对于任意有理数，我们规定 =ad-bc．例如 =1×4-2×3=-2
（1）按照这个规定，当a=3时，请你计算
（2）按照这个规定，若 =1，求x的值。

【答案】（1）解：当a=3时，
=2a×5a-3×4
=10a2-12
=10×32-12
=90-12
=78
（2）解：∵ =1
∴4(x+2)-3(2x-1)=1
去括号，可得：4x+8-6x+3=1
移项，合并同类项，可得：2x=10，
解得x=5
【解析】【分析】（1）根据规定先求出的表达式，再化简，然后把a=3代入求值即可；
（2）根据新定义的规定把=1的右式化成整式，然后去括号、移项、合并同类项，x项系数化为1即可解出x.
5．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元.
（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）按规定，甲种商品的进货不超过50件，甲、乙两种商品共100件的总利润不超过760元，请你通过计算求出该商场所有的进货方案；
（3）在“五一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额优惠措施
不超过300元不优惠
超过300元且不超过400元售价打九折
超过400元售价打八折
200元，第二天只购买乙种商
品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件？
【答案】（1）解：设：购进甲商品x件，购进乙商品（100-x）件。

由已知得15x+35（100-x）=2700
解得x=40
答：购进甲商品40件，乙商品60件。

（2）解：设：购进甲商品x件，购进乙商品（100-x）件。

利润W=5x+10（100-x）
根据题意可得5x+10（100-x）≤760和x≤50；
解得48≤x≤50，
∴进货方案有三种
①甲48件，乙52件,
②甲49件，乙51件
③甲50件，乙50件
（3）解：第一天：没有打折，故购买甲种商品：200÷20=10（件）
第二天：打折，
打九折，324÷0.9=360（元）购买乙种商品：360÷45=8（件）
打八折，324÷0.8=405（元）购买乙种商品：405÷45=9（件）
答：购买甲商品10件，乙商品8件或者9件。

【解析】【分析】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品（100-x）件，根据总进价为2700元，列方程求解即可；（2）甲种商品的进货不超过50件，甲、乙两种商品共100件的总利润不超过760元，列出不等式求出x的取值即可（3）根据购买甲种商品付款200元可求出甲商品的个数，根据乙商品打九折或八折付款324元，求出乙商品的个数即可
6．某航空公司开展网络购机票优惠活动：凡购机票每张不超过2000元的一律八折优惠；超过2000元的，其中2000元按八折算，超过2000的部分按七折算．
（1）甲旅客购买了一张机票的原价为1500元，需付款________元；
（2）乙旅客购买了一张机票的原价为x（x＞2000）元，需付款________元（用含x的代数式表示）；
（3）丙旅客因出差购买了两张机票，第一张机票实际付款1440元，第二张机票享受了七折优惠，他査看了所买机票的原价，发现两张票共节约了910元，求丙旅客第二张机票的原价和实际付款各多少元？
【答案】（1）1200
（2）0.7x+200
（3）解：第一张机票的原价为1440÷0.8=1800（元）．
设丙旅客第二张机票的原价为y元，则购买两种票实际付款（1800+y-910）元，
根据题意得：1440+0.7y+200=1800+y-910，
解得：y=2500，
∴1800+y-910-1440=1950．
答：丙旅客第二张机票的原价为2500元，实际付款1950元
【解析】【解答】解：（1）1500×0.8=1200（元）．
故答案为：1200．（2）根据题意得：需付款=2000×0.8+（x-2000）×0.7=0.7x+200（元）．故答案为：（0.7x+200）．
【分析】（1）利用需付款=原价×0.8，即可求出结论；（2）根据需付款=2000×0.8+0.7×超出2000元部分，即可求出结论；（3）根据原价=需付款÷0.8可求出第一张机票的原价，设丙旅客第二张机票的原价为y元，则购买两种票实际付款（1800+y-910）元，根据（2）的结论，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
7．阅读下列例题，并按要求回答问题：
例：解方程．
解：①当时，，解得；
②当时，，解得．
所以原方程的解是或．
（1）以上解方程的方法采用的数学思想是________．
（2）请你模仿上面例题的解法，解方程：．
【答案】（1）分类讨论
（2）解：①当时，，
解得，
②当时，，
解得，
∴原方程的解是或．
【解析】【分析】（1）材料中是分①、②两种情况来解答题目，明确的体现了“分类讨论”的数学思想；（2）模仿例题，分两种情况分别求解即可．
8．已知线段AB＝60cm．
（1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以4厘米/秒运动，问经过几秒后P、Q相遇?
（2）在（1）的条件下，几秒钟后，P、Q相距12cm？
（3）如图2，AO＝PO＝10厘米，∠POB＝40°，点P绕着点O以10度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点Q沿线段BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q 运动的速度．
【答案】（1）解：设经过t秒后P、Q相遇，
由题意得：2t＋4t＝60，
解得t＝10，
答：经过10秒钟后P、Q相遇
（2）解：设经过x秒P、Q相距12cm，
当相遇前相距12cm时，
由题意得：2x＋4x＋12＝60，
解得：x＝8，
当相遇后相距12cm时，
由题意得：2x＋4x－12＝60，
解得：x＝12，
答：经过8秒钟或12秒钟后，P、Q相距12cm
（3）解：设点Q运动的速度为ycm/s，
∵点P，Q只能在直线AB上相遇，
∴点P第一次旋转到直线AB上的时间为：40÷10＝4s，
若此时相遇，则4y＝60－20，
解得：y＝10，
点P第二次旋转到直线AB上的时间为：（40＋180）÷10＝22s，
若此时相遇，则22y＝60，
解得：y＝，
答：点Q运动的速度为10cm/s或 cm/s．
【解析】【分析】（1）根据相遇问题中的等量关系列方程求解即可；（2）分相遇前相距12cm和相遇后相距12cm，分别列方程求解即可；（3）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，所以可先求出点P两次旋转到直线AB上的时间，然后分别列出方程求解即可.
9．阅读理解：一部分同学围在一起做“传数”游戏, 我们把某同学传给后面的同学的数称为该同学的“传数”.游戏规则是: 同学1心里先想好一个数, 将这个数乘以2再加1后传给同学
2，同学2把同学1告诉他的数除以2再减后传给同学3，同学3把同学2传给他的数乘
以2再加1后传给同学4，同学4把同学3告诉他的数除以2再减后传给同学5，同学5把同学4传给他的数乘以2再加1后传给同学6，……，按照上述规律，序号排在前面的同
学继续依次传数给后面的同学，直到传数给同学1为止.
（1）若只有同学1，同学2，同学3做“传数”游戏.
①同学1心里想好的数是2, 则同学3的“传数”是________；
②这三个同学的“传数”之和为17，则同学1心里先想好的数是________.
（2）若有个同学（n为大于1的偶数）做“传数”游戏，这个同学的“传数”之和为，求同学1心里先想好的数是多少.
【答案】（1）5；3
（2）解：设同学1心里先想好的数为x，由题意得：
同学1的“传数”是2x+1
同学2的“传数”是
同学3的“传数”是2x+1
同学4的“传数”是x
……
同学n（n为大于1的偶数）的“传数”是x
于是
∵n为大于1的偶数
∴n≠0
∴
解得：
故同学1心里先想好的数是13.
【解析】【解答】解：（1）①由题意得：
故同学3的“传数”是5；②设同学1想好的数是a，则
解得：
故答案为：3
【分析】（1）根据题意分别计算出同学1和同学2、同学3的传数即可；（2）设同学1
想好的数是a，由题意列出方程，再解方程求得a的值即可；（3）设同学1心里先想好的数为x，根据题意分别表示同学2、同学3、同学4的传数，找出规律，即可知同学n（n
为大于1的偶数）的“传数”是x，得，化简得，根据n为大于1的偶数，即可得出答案.
10．在数轴上,把表示数1的点称为基准点,记为 .对于两个不同的点和 ,若点 ,点到点的距离相等,则称点与点互为基准变换点.例如:在图1中,点表示数 ,点表示数 ,它们与基准点都是2个单位长度, 点与点互为基准变换点.
（1）已知点表示数 ,点表示数 ,点与点互为基准变换点.
若 ,则 ________；若 ,则 ________；
（2）对点进行如下操作:先把点表示的数乘以2,再把所得数表示的点沿数轴向左移动2个单位长度得到点 .若点与互为基准变换点,求点表示的数，并说明理由.
（3）点在点的左边, 点与点之间的距离为8个单位长度.对点 , 两点做如下操作:点沿数轴向右移动k(k>0)个单位长度得到 , 为的基准变换点,点沿数轴向右移动k个单位长度得到 , 为的基准变换点,…,以此类推,得到 , ,…, . 为的基准变换点,将数轴沿原点对折后的落点为 , 为的基准变换点,将数轴沿原点对折后
的落点为,…,以此类推，得到 , ,…, .若无论k的值, 与两点之间的距离都是4,则 ________.
【答案】（1）0；4
（2）解：点表示的数是，理由如下：
设点表示的数是，则点表示的数是
则由题意
解得
（3）或
【解析】【解答】（1）∵由题意得a-1=1-b,
∴当a=2, 则2-1=1-b, 解得b=0；
当a=-2，则-2-1=1-b, 解得b=4.
（3）解：设点表示的数是，则点表示的数是
则由题意表示的数是，表示的数是，
表示的数是，表示的数是，…
又表示的数是，表示的数是，
表示的数是，表示的数是=m+8-4×1 ，…
，
，即，
解得
【分析】（1）由题意得出互为基准点a、b的关系式，分别把a=2，a=-2, 代入关系式求解即可；
（2）设点A表示的数为x, 根据题意得出点A表示的数经过乘以2，向左移动2个单位后得到的点B所表示的数，因为A、B为互为基准变换点，代入互为基准点关系式求出x即可；
（3）根据点P n与点Q n的变化找出变化规律，“P4n=m、Q4n=m+8-4n”，再根据两点间的距离公式即可得出关于n的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
11．郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包的价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典.
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?
（2）郑老师有1000元，他计划为全班40位同学每人购买一件学习用品（一个书包或一本词典）后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品，共有哪几种购买书包和词典的方案？
【答案】（1）解：设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为（x－8）元.根据题意，得
3x＋2（x－8）＝124.
解得x＝28.
∴x－8＝20.
答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元.
（2）解：设购买书包y个，则购买词典（40－y）本.根据题意，得
解得10≤y≤12.5.
因为y取整数，所以y的值为10或11或12.
所以有三种购买方案，分别是：
①书包10个，词典30本；
②书包11个，词典29本；
③书包12个，词典28本.
【解析】【分析】（1）设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为（x－8）元，由“用124元恰好可以买到3个书包和2本词典”可列方程求解即可；（2）设购买书包y 个，则购买词典（40－y）本，根据“ 余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品”可列不等式组，求解不等式组的正整数解集即可。

12．已知关于m的方程 (m－16)＝－5的解也是关于x的方程2 (x－3)－n＝3的解．（1）求m、n的值；
（2）已知线段AB＝m，在射线AB上取一点P，恰好使＝n，点Q为线段PB的中点，求AQ的长．
【答案】（1）解：，
，
，
关于m的方程的解也是关于x的方程的解．，
将，代入方程得：
，
解得：，
故
（2）解：由知：，
当点P在线段AB上时，如图所示：
，
，
点Q为PB的中点，
，
；
当点P在线段AB的延长线上时，如图所示：
，
，
点Q为PB的中点，
，
．
故或
【解析】【分析】（1）解方程 (m－16)＝－5 求出m的值，根据关于m的方程 (m－16)＝－5的解也是关于x的方程2 (x－3)－n＝3的解得出x=m=6,从而将x=6代入方程
即可算出n的值；
（2）由知：，当点P在线段AB上时，如图所示：即可求出
AP,BP的长，根据线段中点的定义得出，最后根据即可算出答案；当点P在线段AB的延长线上时，如图所示：首先算出PB的长，根据线段
中点的定义得出，根据即可算出答案，综上所述即可得出答案。