甘肃省会宁县第二中学2014届高三上学期12月月考数学试题
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( 理 ) 在平行四边形 ABCD 中 , E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点 , 且
uuur uuur uuur AC = l AE + mAF , 其中 l , m? R ， 则 l + m=
15. 如图（ 1），在四边形 ABCD 中， AB BD DC 4，
| AB | | BD | | BD | | DC | 4, AB BD BD DC 0 ，
(1) f(x)＝
3sinωｘcosωｘ＋
cos2ωｘ－
1 2
3
1
11
π
＝ 2 sin2ωｘ＋ 2cos2ωｘ＋ 2－ 2＝sin 2ωｘ＋6
2π
1
∵T＝2ω＝ 4π，∴ω＝ 4.
(2)∵f(x)＝ sin
1 2x＋
π 6
π ∵－2＋2kπ≤
1 2x＋
π6≤π2＋
2kπ，
k∈Z
4
2
∴－3π＋4kπ≤ x≤ 3π＋ 4kπ， k∈Z
Tn b1 b2
1 1 11
bn [(1 ) (
)
2 2 23
11
n
(
)]
m
n n 1 2(n 1) ；要使 Tn＞ 32
m
1
总成立，需 32 ＜ T1= 4 成立，即 m＜ 8 且 m∈Z ，故适合条件的 m 的最大值为 7.
1
3
21.(1)证明：∵ a· b= 3
( 1) =0 ，∴ a⊥ b
2
∴f(x) 的单调递增区间为 [－ 43π＋4kπ， 23π＋ 4kπ ]k(∈Z)．
(理)
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解 : (1)由4sin 2 B + C - cos 2A = 7 及 A + B + C = 180?, 得 :
(3)解：讨论方程 1 t(t2– 3)– k=0 的解的情况，可以看作曲线 4
f(t)= 1 t(t2– 3)与直线 y=k 4
于是 f′ (t)= 3 (t2– 1)= 3 (t +1)( t– 1).
4
4
令 f′ (t)=0,解得 t1=– 1,t2=1.当 t 变化时， f′ (t),f(t)的变化情况如下表：
1 即 (a b)
3
a (1 )tb ，…………………………………………………
则
1 ,实数 t
1
………………………………………………………………
3
2
1
（ 2） a b | a | | b | cos120
,
2
2
2
| a xb |2 a x 2 b 2x a b x 2 x 1, ……………………………
(3) 设 bn =
1 n (12-
an )
(n∈ N *), Tn=b1+b2+…… +bn(n∈N *),是否存在最大的整数
m，使
得对任意
n∈N * 均有 Tn >
m
成立？若存在
, 求出 m 的值 ; 若不存在 , 说明理由 .
32
注．：．本．题．文科生 只．做．前．（．1．）．（．2．)．，．理科生 做．（．1．）．（．2．）．（．3．）．
t
(–∞ ,– 1)
– 1 (–1,1)
1
(1,+ ∞ )
f′ (t)
+
0
–
0
+
f(t)
↗
极大值
↘
极小值
↗
1
当 t=– 1 时， f (t)有极大值， f(t)极大值 = ；
2
1Байду номын сангаас
当 t=1 时， f(t) 有极小值， f (t) 极小值=– .
2 而 f(t)= 1 (t2– 3)t=0 时，得 t=– 3 ,0, 3 .
18.( 本题 12 分 )
设 a 、 b 是两个不共线的非零向量（ t R ） 1
（ 1）记 OA a, OB tb,OC (a b), 那么当实数 t 为何值时 , A 、B、C 三点共线？ 3
（ 2）若 | a | | b | 1且 a与b夹角为 120 , 那么实数 x 为何值时 | a xb | 的值最小？
22.( 本题 12 分 )
已知 f ( x) x ln x ， g( x)
x2 mx 3 ．
(1) 求 f ( x) 在 t, t 2 (t 0) 上的最小值；
(2) 若对一切 x 0, ， 2 f (x) g( x) 成立，求实数 m 的取值范围．
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21.( 本题 12 分 )
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已知平面向量 a=( 3 – 1),b=( 1 , 3 ). 22
（ 1）证明 a⊥ b; （ 2）若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 x=a+ ( t2– 3)b，y=– ka+tb，且 x⊥ y,试求函数关 系式 k=f(t); （ 3）据 (2) 的结论 , 讨论关于 t 的方程 f(t)–k=0 的解的情况 .
2
(2)解：∵ x⊥y,∴ x· y=0 即［ a+（ t 2–3) b］· (– ka+tb)=0 ，整理后得 – ka2+［ t– k(t2– 3)］ a· b+t(t2 – 3)· b2=0 ∵ a· b=0, a2=4, b2=1
∴上式化为– 4k+t(t2–3)=0 ，∴ k= 1 t(t2–3). 4
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数学试题答案
一．选择题答案
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
文科 C
B
A
B
C
A
B
B
C
C
D
理科 D
A
B
C
A
A
D
C
A
B
D
二．填空题答案
13.-1;
14.文： 3；理： 4 ； 15:4； 3
三．解答题答案
16：（
， 1]
17. (文 )[ 解析 ]
4π．
2
(1) 求 ω的值；
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(2) 求 f(x)的单调递增区间．
( 理 ) 在 △ABC 中 ,a、b、 c 分别为角 A、B、 C 的对边 , . (1) 求角 A 的度数 ； (2) 若 a= 3 ， b+c=3， 求 b 和 c 的值 .
7π A. 6
B.π 2
C.π 6
D .π 3
11. 已知 f (x) 是定义在 (- ? , ? ) 上的偶函数，且在 (- ? ,0] 上是增函数，设
a = f (log 4 7), b = （f log 1 3), c = f (0.2- 0.6 ) ， 则 a, b, c 的大小关系是 (
)
a4 a1 d= 4 1 =－ 2,∴ an=10－ 2n.
(2)由 an=10－ 2n≥ 0 可得 n≤ 5，当 n≤ 5 时， Sn=－ n2+9n，当 n＞ 5 时， Sn=n2－ 9n+40 ，
n2 9n
1n 5
故 Sn= n 2 9n 40 n 5
1
1
11 1
(
)
(3)bn= n(12 an) n(2n 2) 2 n n 1
2
A.a < b< c
B. c < b < a
C. c < a < b
D. b < a < c
12. 已知函数
f (x) =
ì??í??-Inx(2x++
2x, 1),
x? x>
0, 0.
若
f (x) 3 ax, 则 a 的取值范围是
(
)
A. (- ? ,0]
B. (- ? ,1]
C. [- 2,1]
D. 1385
9. 函数 f (x) = ex + x - 2 的零点所在的一个区间是（
）
A. (- 2, - 1)
B. (- 1,0)
C. (0,1)
D. (1,2)
10. 将函数 y＝ sinx－ 3cosx 的图象沿 x 轴向右平移 a(a>0)个单位长度， 所得函数的图象
关于 y 轴对称，则 a 的最小值是 ( )
4分 6分
9分
当x
1 时, | a xb | 取最小值 3 ………………………………………… 12 分
2
2
:20..解： (1）由 an+2=2an+1－ an an+2－ an+1 =an +1－ an 可知 { an }
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则 ( AB DC ) AC 的值为
16. 若 f (x)
1 x2 b ln( x 2) 在（ 1， ）上是减函数，则 b 的取值范围是 2
三. 解答题（ 6 小题共 70 分，将过程写在答题卡相应的位置上，要有必要的推演步骤）
17.( 本题 10 分 )
( 文 ) 已知函数
f ( x) = (
1 3 sin w x + cos wx)cos w x - (w > 0) 的最小正周期为
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注: 题前标 ( 文 ) 者为文科试题 , 标 ( 理 ) 者为理科试题 , 请文理科学生根据自己情况 , 做各自所 属试题 . 一．选择题（每小题 5 分共 60 分；每题只有一个正确选项）
1. 已 知 集 合 A = { x |- 2 ＃x 7} , B = { x | m + 1 < x < 2m- 1} 且 B 蛊 , 若
A.30 °
B. －150°
C.150°
D.30°或 150°
6. 已知函数
f ( x) = log a[
x-
(2a) 2 ] 对任意
1
x∈［ ,+∞］ 都有意义，则实数
a 的取
2
值范围是 ( )
1 A.(0, ]
4
1
B.(0, )
4
1 C.[ ,1 )
4
D.(
1
1
,
）
42
7. 在? ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点， 若 AD =2 DB ，CD = 1 CA 3
19.( 本题 12 分 )
设数列 { an} 的前 n 项和为 Sn, 已知 a1 1, Sn 1 4an 2 (1) 设 bn an 1 2an , 证明数列 { bn} 是等比数列 ; (2) 求数列 { an} 的通项公式 .
20.( 本题 12 分 ) 数列 { an} 中， a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1－ an,( n∈N *). (1) 求数列 { an} 的通项公式； (2) 设 Sn=｜ a1｜ +｜ a2｜+… +｜ an｜ ,求 Sn;
2
1
1
2
A.
B.
C. -
D. -
3
3
3
3
8. 在 { an} 中，已知前 n 项和 Sn = 7n 2 - 8n, 则 a100 （
）
CB ,则 =( )
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A. 69200
B. 1400
C. 1415
2
2
2[1-
cos(B + C)] -
2cos 2 A + 1 =
7 , 4(1+ cos A) -
4cos 2 A =
5
2
即4cos 2 A- 4cos A + 1= 0,
1 cos A = ,
2
Q 0? A < 180癨, A = 60?
(2) 由余弦定理得
b2 + c 2 - a 2 : cos A =
D. [- 2,0]
二. 填空题 ( 将你所做答案写在答题卡相应的位置上每题
5 分, 共 20 分)
{ } 13.在等差数列 an 中，若 a3 a9 a15 a17 8, 则 a11
14.( 文 ) 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30o ， | a| 2,|b| 3， 则 a 和 b 的数量积 a b =
2bc
2
2
2
Q cos A = 1 b + c - a = 1 (b + c) 2 - a2 = 3bc.
2
2bc
2
将a=
3, b + c = 3代入上式得
: bc =
2
由
祆镲镲眄镲镲铑bbc+=c
= 2
3 得:
b= c=
1 2
或
?????bc
= =
2 .
1
18.解：（1） A、 B、C 三点共线知存在实数 ,使 OC OA (1 )OB
4
所以 f(t)的图象大致如右：
于是当 k> 1 或 k<– 1 时，直线 y=k 与曲线 y=f(t)仅有
2
2
一个交点，则方程有一解；
A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既非充分条件也不是必要条件
4. 已知 { an } 是等差数列 , a1 + a2 = 4, a7 + a8 = 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于（ ）
A.64 B.100 5. 已知 △ ABC 中， 是( )
C.110
D.120
AB =a， AC =b， a· b<0， S△ABC= 15 ,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角 4
A U B = A，则 ( )
A. － 3≤m≤4
B.－ 3< m<4
C.2<m<4
D.2< m≤ 4
2. 复数 3 + 2i -
3-
2i =(
)．
2 - 3i 2 + 3i
A.0
B.2
C .－ 2i
D.2 i
3. “ a=1” 是函数 y=cos2ax－ sin2ax 的最小正周期为 “ π ” 的 ( )
uuur uuur uuur AC = l AE + mAF , 其中 l , m? R ， 则 l + m=
15. 如图（ 1），在四边形 ABCD 中， AB BD DC 4，
| AB | | BD | | BD | | DC | 4, AB BD BD DC 0 ，
(1) f(x)＝
3sinωｘcosωｘ＋
cos2ωｘ－
1 2
3
1
11
π
＝ 2 sin2ωｘ＋ 2cos2ωｘ＋ 2－ 2＝sin 2ωｘ＋6
2π
1
∵T＝2ω＝ 4π，∴ω＝ 4.
(2)∵f(x)＝ sin
1 2x＋
π 6
π ∵－2＋2kπ≤
1 2x＋
π6≤π2＋
2kπ，
k∈Z
4
2
∴－3π＋4kπ≤ x≤ 3π＋ 4kπ， k∈Z
Tn b1 b2
1 1 11
bn [(1 ) (
)
2 2 23
11
n
(
)]
m
n n 1 2(n 1) ；要使 Tn＞ 32
m
1
总成立，需 32 ＜ T1= 4 成立，即 m＜ 8 且 m∈Z ，故适合条件的 m 的最大值为 7.
1
3
21.(1)证明：∵ a· b= 3
( 1) =0 ，∴ a⊥ b
2
∴f(x) 的单调递增区间为 [－ 43π＋4kπ， 23π＋ 4kπ ]k(∈Z)．
(理)
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解 : (1)由4sin 2 B + C - cos 2A = 7 及 A + B + C = 180?, 得 :
(3)解：讨论方程 1 t(t2– 3)– k=0 的解的情况，可以看作曲线 4
f(t)= 1 t(t2– 3)与直线 y=k 4
于是 f′ (t)= 3 (t2– 1)= 3 (t +1)( t– 1).
4
4
令 f′ (t)=0,解得 t1=– 1,t2=1.当 t 变化时， f′ (t),f(t)的变化情况如下表：
1 即 (a b)
3
a (1 )tb ，…………………………………………………
则
1 ,实数 t
1
………………………………………………………………
3
2
1
（ 2） a b | a | | b | cos120
,
2
2
2
| a xb |2 a x 2 b 2x a b x 2 x 1, ……………………………
(3) 设 bn =
1 n (12-
an )
(n∈ N *), Tn=b1+b2+…… +bn(n∈N *),是否存在最大的整数
m，使
得对任意
n∈N * 均有 Tn >
m
成立？若存在
, 求出 m 的值 ; 若不存在 , 说明理由 .
32
注．：．本．题．文科生 只．做．前．（．1．）．（．2．)．，．理科生 做．（．1．）．（．2．）．（．3．）．
t
(–∞ ,– 1)
– 1 (–1,1)
1
(1,+ ∞ )
f′ (t)
+
0
–
0
+
f(t)
↗
极大值
↘
极小值
↗
1
当 t=– 1 时， f (t)有极大值， f(t)极大值 = ；
2
1Байду номын сангаас
当 t=1 时， f(t) 有极小值， f (t) 极小值=– .
2 而 f(t)= 1 (t2– 3)t=0 时，得 t=– 3 ,0, 3 .
18.( 本题 12 分 )
设 a 、 b 是两个不共线的非零向量（ t R ） 1
（ 1）记 OA a, OB tb,OC (a b), 那么当实数 t 为何值时 , A 、B、C 三点共线？ 3
（ 2）若 | a | | b | 1且 a与b夹角为 120 , 那么实数 x 为何值时 | a xb | 的值最小？
22.( 本题 12 分 )
已知 f ( x) x ln x ， g( x)
x2 mx 3 ．
(1) 求 f ( x) 在 t, t 2 (t 0) 上的最小值；
(2) 若对一切 x 0, ， 2 f (x) g( x) 成立，求实数 m 的取值范围．
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21.( 本题 12 分 )
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已知平面向量 a=( 3 – 1),b=( 1 , 3 ). 22
（ 1）证明 a⊥ b; （ 2）若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 x=a+ ( t2– 3)b，y=– ka+tb，且 x⊥ y,试求函数关 系式 k=f(t); （ 3）据 (2) 的结论 , 讨论关于 t 的方程 f(t)–k=0 的解的情况 .
2
(2)解：∵ x⊥y,∴ x· y=0 即［ a+（ t 2–3) b］· (– ka+tb)=0 ，整理后得 – ka2+［ t– k(t2– 3)］ a· b+t(t2 – 3)· b2=0 ∵ a· b=0, a2=4, b2=1
∴上式化为– 4k+t(t2–3)=0 ，∴ k= 1 t(t2–3). 4
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数学试题答案
一．选择题答案
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
文科 C
B
A
B
C
A
B
B
C
C
D
理科 D
A
B
C
A
A
D
C
A
B
D
二．填空题答案
13.-1;
14.文： 3；理： 4 ； 15:4； 3
三．解答题答案
16：（
， 1]
17. (文 )[ 解析 ]
4π．
2
(1) 求 ω的值；
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(2) 求 f(x)的单调递增区间．
( 理 ) 在 △ABC 中 ,a、b、 c 分别为角 A、B、 C 的对边 , . (1) 求角 A 的度数 ； (2) 若 a= 3 ， b+c=3， 求 b 和 c 的值 .
7π A. 6
B.π 2
C.π 6
D .π 3
11. 已知 f (x) 是定义在 (- ? , ? ) 上的偶函数，且在 (- ? ,0] 上是增函数，设
a = f (log 4 7), b = （f log 1 3), c = f (0.2- 0.6 ) ， 则 a, b, c 的大小关系是 (
)
a4 a1 d= 4 1 =－ 2,∴ an=10－ 2n.
(2)由 an=10－ 2n≥ 0 可得 n≤ 5，当 n≤ 5 时， Sn=－ n2+9n，当 n＞ 5 时， Sn=n2－ 9n+40 ，
n2 9n
1n 5
故 Sn= n 2 9n 40 n 5
1
1
11 1
(
)
(3)bn= n(12 an) n(2n 2) 2 n n 1
2
A.a < b< c
B. c < b < a
C. c < a < b
D. b < a < c
12. 已知函数
f (x) =
ì??í??-Inx(2x++
2x, 1),
x? x>
0, 0.
若
f (x) 3 ax, 则 a 的取值范围是
(
)
A. (- ? ,0]
B. (- ? ,1]
C. [- 2,1]
D. 1385
9. 函数 f (x) = ex + x - 2 的零点所在的一个区间是（
）
A. (- 2, - 1)
B. (- 1,0)
C. (0,1)
D. (1,2)
10. 将函数 y＝ sinx－ 3cosx 的图象沿 x 轴向右平移 a(a>0)个单位长度， 所得函数的图象
关于 y 轴对称，则 a 的最小值是 ( )
4分 6分
9分
当x
1 时, | a xb | 取最小值 3 ………………………………………… 12 分
2
2
:20..解： (1）由 an+2=2an+1－ an an+2－ an+1 =an +1－ an 可知 { an }
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则 ( AB DC ) AC 的值为
16. 若 f (x)
1 x2 b ln( x 2) 在（ 1， ）上是减函数，则 b 的取值范围是 2
三. 解答题（ 6 小题共 70 分，将过程写在答题卡相应的位置上，要有必要的推演步骤）
17.( 本题 10 分 )
( 文 ) 已知函数
f ( x) = (
1 3 sin w x + cos wx)cos w x - (w > 0) 的最小正周期为
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注: 题前标 ( 文 ) 者为文科试题 , 标 ( 理 ) 者为理科试题 , 请文理科学生根据自己情况 , 做各自所 属试题 . 一．选择题（每小题 5 分共 60 分；每题只有一个正确选项）
1. 已 知 集 合 A = { x |- 2 ＃x 7} , B = { x | m + 1 < x < 2m- 1} 且 B 蛊 , 若
A.30 °
B. －150°
C.150°
D.30°或 150°
6. 已知函数
f ( x) = log a[
x-
(2a) 2 ] 对任意
1
x∈［ ,+∞］ 都有意义，则实数
a 的取
2
值范围是 ( )
1 A.(0, ]
4
1
B.(0, )
4
1 C.[ ,1 )
4
D.(
1
1
,
）
42
7. 在? ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点， 若 AD =2 DB ，CD = 1 CA 3
19.( 本题 12 分 )
设数列 { an} 的前 n 项和为 Sn, 已知 a1 1, Sn 1 4an 2 (1) 设 bn an 1 2an , 证明数列 { bn} 是等比数列 ; (2) 求数列 { an} 的通项公式 .
20.( 本题 12 分 ) 数列 { an} 中， a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1－ an,( n∈N *). (1) 求数列 { an} 的通项公式； (2) 设 Sn=｜ a1｜ +｜ a2｜+… +｜ an｜ ,求 Sn;
2
1
1
2
A.
B.
C. -
D. -
3
3
3
3
8. 在 { an} 中，已知前 n 项和 Sn = 7n 2 - 8n, 则 a100 （
）
CB ,则 =( )
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A. 69200
B. 1400
C. 1415
2
2
2[1-
cos(B + C)] -
2cos 2 A + 1 =
7 , 4(1+ cos A) -
4cos 2 A =
5
2
即4cos 2 A- 4cos A + 1= 0,
1 cos A = ,
2
Q 0? A < 180癨, A = 60?
(2) 由余弦定理得
b2 + c 2 - a 2 : cos A =
D. [- 2,0]
二. 填空题 ( 将你所做答案写在答题卡相应的位置上每题
5 分, 共 20 分)
{ } 13.在等差数列 an 中，若 a3 a9 a15 a17 8, 则 a11
14.( 文 ) 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30o ， | a| 2,|b| 3， 则 a 和 b 的数量积 a b =
2bc
2
2
2
Q cos A = 1 b + c - a = 1 (b + c) 2 - a2 = 3bc.
2
2bc
2
将a=
3, b + c = 3代入上式得
: bc =
2
由
祆镲镲眄镲镲铑bbc+=c
= 2
3 得:
b= c=
1 2
或
?????bc
= =
2 .
1
18.解：（1） A、 B、C 三点共线知存在实数 ,使 OC OA (1 )OB
4
所以 f(t)的图象大致如右：
于是当 k> 1 或 k<– 1 时，直线 y=k 与曲线 y=f(t)仅有
2
2
一个交点，则方程有一解；
A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既非充分条件也不是必要条件
4. 已知 { an } 是等差数列 , a1 + a2 = 4, a7 + a8 = 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于（ ）
A.64 B.100 5. 已知 △ ABC 中， 是( )
C.110
D.120
AB =a， AC =b， a· b<0， S△ABC= 15 ,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角 4
A U B = A，则 ( )
A. － 3≤m≤4
B.－ 3< m<4
C.2<m<4
D.2< m≤ 4
2. 复数 3 + 2i -
3-
2i =(
)．
2 - 3i 2 + 3i
A.0
B.2
C .－ 2i
D.2 i
3. “ a=1” 是函数 y=cos2ax－ sin2ax 的最小正周期为 “ π ” 的 ( )