2020届高考数学大二轮刷题首选卷文数文档：第二部分+选填题(八)+Word版含解析

选填题(八)
一、选择题 1．设全集
U ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
3x ≥13
，集合A ＝{x |x －1>0}，则∁U A ＝( )
A ．{－1,1}
B ．[－1,1)
C ．[－1,1]
D ．(－1,1] 答案 C
解析 因为U ＝{x |3x ≥3－1}＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |x >1}，所以∁U A ＝[－1,1]． 2．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，
则|z 1＋z 2|＝( )
A ．2
B ．3
C ．2 2
D ．33
答案 A
解析 由题图可知，OA
→＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)， ∴z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1＋z 2＝－2，∴|z 1＋z 2|＝2.故选A.
3．执行右面的程序框图，若输入a ＝5，b ＝2，则输出的i ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 答案 B
解析 执行程序框图如下： a ＝5，b ＝2，i ＝1， a ＝5＋0.5×5＝7.5， b ＝2×2＝4，a ≤b 否，i ＝2. a ＝7.5＋0.5×7.5＝11.25， b ＝2×4＝8，a ≤b 否，i ＝3. a ＝11.25＋0.5×11.25＝16.875， b ＝2×8＝16，a ≤b 否，i ＝4. a ＝16.875＋0.5×16.875＝25.3125， b ＝2×16＝32，a ≤b 是，输出i ＝4.
4．已知等差数列{a n }的前7项和为21，且a 8＝7，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
12－a n 的前10项和
为( )
A ．1024
B ．1023
C ．512
D ．511 答案 B
解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得⎩⎨
⎧
7a 1＋7×6
2
d ＝21，
a 1＋7d ＝7，
解得a 1＝0，d ＝1，
所以a n ＝0＋(n －1)×1＝n －1，
1
2－a n
＝2a n ＝2n －1.
数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12－a n 即{2n
－1}是首项为1，公比为2的等比数列，所以S 10＝
1×(1－210)1－2＝1023.
5．(2019·浙江嘉兴期中)若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( )
A ．a ＋c ≥b －c
B ．(a －b )c 2≥0
C ．ac ＞bc D.b a ＜b ＋c a ＋c
答案 B
解析 当c ＜0时，a ＋c ≥b －c 不一定成立；因为c 2≥0，a －b ＞0，所以(a －b )c 2
≥0；当c ＜0时，ac ＞bc 不成立；当c ＝0时，b a <b ＋c
a ＋c
不成立．故选B.
6．若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )
答案 D
解析 因为f (x )＝a x －a －x ＝a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a x 在R 上为减函数，所以0<a <1.函数y ＝
log a (x －1)的图象如图所示．
因为y ＝log a (|x |－1)＝⎩⎪⎨⎪⎧
log a (x －1)，x >1，
log a (－x －1)，x <－1为偶函数，所以其图象为D 项．
7．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )
A ．a ＝e ，b ＝－1
B ．a ＝e ，b ＝1
C ．a ＝e －1，b ＝1
D ．a ＝e －1，b ＝－1 答案 D
解析 ∵y ′＝a e x ＋ln x ＋1，∴k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又已知切线方程为y ＝2x ＋b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝e －1，
b ＝－1.
故选D. 8．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )
A ．217
B ．2 5
C ．3
D ．2 答案 B
解析 根据题意，圆柱的侧面展开图是长为16，宽为2的矩形DEFG ，如图．
由其三视图可知，点A 对应矩形DEFG 中的D 点，B 点为EF 上靠近E 点的四等分点，则所求的最短路径长为|AB |＝
22＋42＝2 5.
9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的半焦距为
c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，
b)的直线的距离为c
2，则椭圆的离心率为()
A.
3
2 B.
2
2 C.
1
2 D.
3
3
答案A
解析经过两点(c,0)，(0，b)的直线方程为x
c
＋y
b
＝1，即bx＋cy－bc＝0，由题
意得|－bc|
b2＋c2
＝c
2
，又b2＋c2＝a2，所以b
a
＝1
2
，离心率e＝1－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫b
a
2＝32.
10．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()
A．8 B．6 2 C．8 2 D．83
答案C
解析如图所示，∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，所以∠AC1B＝30°，又因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，
在Rt△ABC1中，BC1＝AB
tan30°
＝23，
在Rt△BC1B1中，
BB1＝BC21－B1C21＝(23)2－22＝22，
所以该长方体的体积V＝2×2×22＝8 2.
11．设函数f(x)＝－x2＋
6
2＋|x|
，则不等式f(2x－3)<f(1)成立的x的取值范围是
()
A．(1,2) B．(－∞，2) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 C
解析 因为f (x )＝－x 2＋
6
2＋|x |
是偶函数． 当x >0时，f (x )＝－x 2
＋6
2＋x
，
y ＝－x 2在(0，＋∞)上为减函数， y ＝
6
2＋x
在(－2，＋∞)上为减函数， 所以f (x )＝－x 2＋
6
2＋|x |
在(0，＋∞)上为减函数， 所以f (2x －3)<f (1)⇔f (|2x －3|)<f (1)⇔|2x －3|>1，解得x <1或x >2.
12．函数y ＝2cos x (0<x <π)和函数y ＝3tan x 的图象相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )
A.3π2
B.3π3
C.2π2
D.2π3 答案 A
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2cos x ，y ＝3tan x ，得2cos x ＝3sin x
cos x ，
所以2cos 2x ＝3sin x ，即2－2sin 2x ＝3sin x ， 解得sin x ＝1
2或sin x ＝－2(舍去)． 又0<x <π，所以x ＝π6或5π
6， 不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π6，－3.
记C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，0，易知A ，B ，C 三点共线，
S △OAB ＝S △OAC ＋S △OBC
＝12×|OC |×|y A |＋1
2×|OC |×|y B | ＝12×π2×3＋12×π
2×3 ＝3π2. 二、填空题
13．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y
满足约束条件⎩⎨⎧
2x ＋3y －6≥0，
x ＋y －3≤0，
y －2≤0，
则z ＝3x
－y 的最大值是________．
答案 9
解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝0，
即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9.
14．(2019·山东四市4月联考)若双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到右焦点的距离为4，则点P 到左焦点的距离是________．
答案 10
解析 设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意得|PF 2|＝4，当点P 在双
曲线的左支上时，则有|PF2|－|PF1|＝6，不符合题意．当点P在双曲线的右支上时，则有|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝|PF2|＋6＝10，符合题意．故答案为10.
15．已知AB
→
与AC
→
的夹角为90°，|AB
→
|＝2，|AC
→
|＝1，AM
→
＝λAB
→
＋μAC
→
(λ，μ∈R)，且AM
→
·BC
→
＝0，则
λ
μ的值为________．
答案
1
4
解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，2)，C(1,0)，所以AB→＝(0,2)，AC→＝(1,0)，BC→＝(1，－2)．设M(x，y)，则AM→＝(x，y)，所以AM→·BC→＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又AM→＝λAB→＋μAC→，即(x，y)＝λ(0,2)
＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以λ
μ
＝
1
2y
x
＝1
4.
16．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1＝2，对任意p，q∈N*，都有a p＋q ＝a p·a q，则f(n)＝
S n－1·(S n－1＋2)＋256
a n(n∈N
*)的最小值为________．答案30
解析当q＝1时，a p＋1＝a p·a1＝2a p，
∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a n＝2n，S n＝
2(2n－1)
2－1
＝2n＋1－2，
∴S n－1＝2n－2，S n－1·(S n－1＋2)＝(2n－2)·2n，
∴f(n)＝
(2n－2)2n＋256
2n
＝2n－2＋256
2n≥2256－2＝30，
当且仅当2n＝16，即n＝4时，等号成立，f(n)min＝30.。