例谈高中数学探究性学习问题提出的策略

观察（ ） １式可知 ， 等式左边为 由点 Ｐ出发 的所有 ｌ
真是太奇妙了！ 如此奇妙的规律使我们很难相信
奇数条边的立方构成 ， 右边由点 Ｐ出发的所有偶数条 Ｉ 对于正 １ １ 边形它是不成立的。至此 ， 通过试验 、 观察 、
边 的立 方构 成 ， 这是 圆 内接 正 五 边形 时 的情 况 。通 过 ： 纳 ， 归 一个 有趣 的探究 就 被提 出来 了。
《 学 与管 理 》 教
２ １ 年 ４月 １日 ０１
例谈高中数学探究性学 习问题提 出的策略
◎ 河南师 范大 学数学 与信 息科 学学院 王 跃进 牛伟 强
思 考 始 于 问题 ， 问题 才 会 去 研 究 ， 以 问题 在 观察 自然联想 到如下 问题 ： 有 所 ｛ 对于正三边形 、 四边形 正
如 图 ２ 圆内 接正 三角 形 ＡＡ Ａ， Ｐ为 ， 一 ， ２， 点 上
式不 是 调ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ查 、 验 性 活 动 ， 是 突 出 表现 在 以思 维 活 点 ， 实 而 ｌ 由于点 Ａ 、 ： 、 Ａ、 Ｐ四点共圆 ， 由托勒 密定理可知
动为 特 征 的问题 探 索或 解 难题 范 畴 。 因此 ， 何 提 出 ｌ Ａｌ ３ ２Ｐ ３ Ａ＝ Ａ ×ＡＡｌ ” 如 Ｐ ×Ａ Ａ ＋ Ａ ×Ａｌ２Ｐ ２ ３ 合适 的探 究 问 题 就 成 为 高 中 师生 在 数 学 探 究 性 学 习 Ｉ
Ｐ为劣弧 Ａ＾ 上一 点 。
求证 ： Ａｌ Ｐ ３ ｐ ｓ Ｐ ２ ｐ ４ （ ） Ｐ ３ Ａ ３ Ａ３ Ａ ３ Ａ３ １ ＋ ＋ ＝ ＋
， 点
又 由 勾 股 定 理 可 知
Ｐ ２ ＝ ０ Ａ２ ＋ 所 以 Ｐ ２Ｐ ３ Ｐ Ｅ Ｐ ￣ Ａｌ Ａ２ ＡＺ Ａ ＋ ＝ ＋
中面临 的首 要 问题 。
一
即 Ｐ ＋ Ａ＝ Ａ （ ） ＡｌＰ ３Ｐ ２ ２
Ｉ
我们对比 一下（） １式和（） 发现由 Ｐ出发的 ２式， 点．
所 有 奇数 条边 的和 等 于所 有 偶数 条 边 的和 ， 而仅 仅 次 通过 试 验 、 察 、 纳 提 出问题 就是 指 通 过 试 验 数 由 １ 观 归 变为 了 ３ 个是 圆 内接 正 三角 形 ， 一 个是 １一 另
探究性学习中起着引领方 向的作用 。 高中数学新课标 以及 正 ｎ ｌ 边形时的情况又如何呢？ 是否也有类似的等
ｌ 明确指 出数 学 探 究 课 题 的 选 择 是 完成 探 究 学 习 的关 式成 立 呢 ？
键 。 连华 等通 过研 究 认 为 ： 学 探究 学 习 的主 流形 宁 “ 数 Ｉ
、
通过 试 验 、 察 、 纳提 出探 究 问题 观 归
得 到具 体 的数 学 事实 ， 经过 仔 细查 看 ， 考分 析 ， 圆内接 正 五边 形 。１和 ３之 间有 ２ 而 正 三角形 和 正五 再 思 概 ，
括提出其中蕴含的＿般原理， 最后归结为猜想或问题 边形 之 间有 正 四边 形 ， 促 使我 们 提 出如下 猜想 。 这
那么上述猜想是否成立 呢？答案是肯定的 ， 下面
我们 给 出一 个严 格 的证 明 ！ 连 接 Ａ 和 ＡＡ ，因 为 ＡＡＡ 为 圆 内接 正 四 。 ２ ２ 边 形 ， 所 以 ＡＡ 、 均 为 此 圆 的 直 径 ，于 是 ３ Ａ
Ａｌ ＝ Ａ４ Ａ３ Ａ２
现事物之中存在的规律 ， 提出真正有价值 的问题 。 例， 已知 ： 如图 １ 圆内接正五边形 ＡＡＡ ， ２
・
６Ｓ ・
王跃进 牛伟强 ： 例谈高中数学探究性学习问题提出的策略
猜 想 设 ＡＡ Ａ 圆内接正 ｎ ｎ ） 山Ａ 为 （ ≥３ 边形 ， ｌ 点
Ｐ为 劣弧 ＡＡ 上 一点 ， 求证 ：
Ｐ ￣ ＋ Ａ３ ２ ｐ ． ＋ ＝ Ａ２ ａ Ｐ ￣ ＋ ＰＡ ＋ Ａｌ ２ ｐ ￣ ＋ Ａ５ Ｚ Ｌ Ｐ ｎ ＋ Ａ４－ Ｌ＋ Ｌ － － ａ
问题 ６ 三棱锥的旁切球 的半径与其六条棱 的长
三角形的旁切圆是其两个外角平分线的交点 ， 通
未 知数 学对 象和 已知数 学 对象作 比较 ， 而 根据 已知 有 什么关 系 呢 ？ 进 数 学对 象 的性质 推测未 知数 学对 象 的性 质 的方 法 。 ｌ 我 国著 名数 学家徐 利 治教授 认 为 ：只有在 思维 方式 ｌ “ 过把三角形的旁切圆和三棱锥 的旁切球类 比， 我们可 上 善于 融会 贯通 ， 一反 三 ， 举 既有 广泛 的联 想能 力 ， ： 又 以提 出如 下 问题 。 有 对不 同数 学领域 之 间 内在联 系 的敏锐 洞察力 ， 才有 Ｉ
问题 ５三棱锥的外接球 的球心是否也是某个特 ｆ 殊的点呢？
ｌ 我们知道三角形存在旁切圆， 类比可知三棱锥存 Ｊ 在旁切球 ，把三角形 的旁切圆和三棱锥的旁切球类
二、 通过 联想 、 比、 测提 出探 究 问题 类 猜
Ｉ 我们可以提出如下问题。 比，
通 过联 想 、 比 、 测提 出 问题就 是要 把类 似 的 ｌ 类 猜
： Ａ
Ｐ ｌ Ｐ ３ ＡＡ２ Ａ２ Ａ２ ３ ＋ ＿ ，
对 比 （ ） 、２ 式 和 （ ） ， 以发 现 由点 Ｐ出发 １式 （ ） ３式 可
的所有奇数条边的和等于所有偶数条边 的和， 而仅仅
次 数 由 １ 为 ２再变 为 ３ 对 应 着 正三 角 形 变 为 正 四 变 ， 图Ｉ 图２ 图３ ｌ 形再 变 为正 五边 形 ， ３ １ ４ ２ ５ ３ ２ 边 而 － ＝ — ＝ — ＝ １
的活动 。 用此 策 略提 出 问题 需要 以对大 量 数学 实例 应 的仔 细 观察 和试 验为 基 础 ，需 要 有一 双 尖 锐 的眼 睛 ， 大 胆 的想象 和 不怕 辛 苦 的顽 强 毅力 ， 有 这样 才 能发 只 如 图 ３ 圆 内接 正 四边 形 ＡＡＡ ，点 Ｐ为劣 弧 ， ： 五上 一 点 ， 有下 式 成立 Ｐ 。 Ｐ ３ Ｐ ２Ｐ ４ （ ） 则 Ａ２ Ａ２ Ａ２ Ａ２ ３ ＋ 一 ＋