2022届高中物理新教材同步必修第二册 第5章 抛体运动专题强化 关联速度模型

关联速度模型
[学习目标] 1.能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题.2.建立常见的绳关联模型和杆关联模型的解法．
导学探究如图1所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连．
图1
(1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？
(2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？
(3)从运动的合成和分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？
(4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？
答案(1)不相等．船的位移x船大于车的位移x车＝l1－l2.
(2)不相等，船的速度大于车的速度．
(3)P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度．
(4)由v＝v船cos α得
v船＝v
cos α
知识深化
1．两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上，两物体的速度是关联的．(下面为了方便，统一说“绳”)．
2．处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度．物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向．
3．常见的速度分解模型
情景图示定量结论
v＝v 物cos θ
v物′＝v∥＝v物cos θ
v∥＝v∥′即v物cos θ＝v物′cos α
v∥＝v∥′即v物cos α＝v物′cos β
如图2所示，物体A套在竖直杆上，经细绳通过光滑轻质定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则()
图2
A．绳与杆的夹角为α时，B的速率为v sin α
B．绳与杆的夹角为α时，B的速率为v cos α
C．物体B也做匀速直线运动
D．物体B做匀加速直线运动
答案 B
解析如图所示，将物体A的速度按图示两个方向分解，绳子速率v绳＝v∥＝v cos α；而绳子速率等于物体B的速率，则物体B的速率v B＝v绳＝v cos α，故A错误，B正确；因物体A向下运动的过程中α减小，则cos α增大，v B增大，物体B做加速直线运动，但不是匀加速直线运动，故C、D错误．
如图3所示， 一根长直轻杆AB 在墙角沿竖直墙和水平地面滑动．当AB 杆和墙的
夹角为θ时，杆的A 端沿墙下滑的速度大小为v 1，B 端沿地面滑动的速度大小为v 2，则v 1、v 2的关系是( )
图3
A ．v 1＝v 2
B ．v 1＝v 2cos θ
C ．v 1＝v 2tan θ
D ．v 1＝v 2sin θ
答案 C
解析 将A 端的速度沿杆方向和垂直于杆的方向分解，沿杆方向的分速度大小为v 1∥＝v 1cos θ，将B 端的速度沿杆方向和垂直于杆方向分解，沿杆方向的分速度大小v 2∥＝v 2sin θ.由于v 1∥＝v 2∥.所以v 1＝v 2tan θ，故C 正确，A 、B 、D 错误．
针对训练 如图4所示，人用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A ，人以速度v 0向左匀速拉绳，某一时刻，定滑轮右侧绳与竖直杆的夹角为θ，左侧绳与水平面的夹角为α，此时物块A 的速度v 1为( )
图4
A ．v 0sin αcos θ B.v 0sin α
sin θ C ．v 0cos αcos θ
D.v 0cos αcos θ
答案 D
解析 将人、物块的速度分别分解，如图所示，人和A 沿绳方向的分速度大小相等，可得v 0cos α＝v 1cos θ
所以v 1＝v 0cos α
cos θ
，D 正确．
1.(多选)如图1所示，一人以恒定速度v 0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动，当运动到绳与水平方向成45°角时( )
图1
A ．小车运动的速度为12v 0
B ．小车运动的速度为2v 0
C ．小车在水平面上做加速运动
D ．小车在水平面上做减速运动 答案 BC
解析 将小车速度沿绳方向与垂直绳方向进行分解，如图所示
人拉绳的速度与小车沿绳方向的分速度大小是相等的，有v cos 45°＝v 0，则v ＝
v 0
cos 45°
＝2v 0，B 正确，A 错误；随着小车向左运动，绳与水平方向的夹角越来越大，设夹角为α，由v ＝v 0
cos α
知，v 越来越大，则小车在水平面上做加速运动，C 正确，D 错误．
2.人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A ，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v 0匀速地拉绳使物体A 到达如图2所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A 实际运动的速度大小是( )
图2
A ．v 0sin θ B.v 0 sin θ C ．v 0cos θ D.v 0 cos θ
答案 D
解析 由运动的合成与分解可知，物体A 参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动．而物体A 的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A 的合运动，它们之间的关系如图所示．由几何关系可得v ＝v 0
cos θ
，所以D 正确．
3.(多选)如图3所示，人在岸上用跨过光滑轻质定滑轮的绳子拉船，已知船的质量为m ，水的阻力恒为F f ，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v ，人的拉力大小为F ，则此时( )
图3
A ．人水平拉绳行走的速度大小为v cos θ
B ．人水平拉绳行走的速度大小为v cos θ
C ．船的加速度大小为F cos θ－F f
m
D ．船的加速度大小为F －F f
m
答案 AC
解析 将船的速度按如图所示(沿绳方向与垂直于绳方向)方式进行分解，人拉绳行走的速度大小v 人＝v ∥＝v cos θ，选项A 正确，B 错误；绳对船的拉力大小等于人拉绳的力的大小，即绳的拉力大小为F ，与水平方向成θ角，因此F cos θ－F f ＝ma ，解得a ＝F cos θ－F f
m ，选
项C 正确，D 错误．
4.(2021·凯里市第三中学高一月考)如图4所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是()
图4
A．绳的拉力等于M的重力
B．绳的拉力大于M的重力
C．物体M向上做匀速运动
D．物体M向上做匀加速运动
答案 B
解析汽车匀速向左运动，其速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的分速度v′＝v cos θ
汽车在匀速向左运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以v′增大，即物体M向上做加速运动，又因为v′变化不均匀，所以不是匀加速运动，选项C、D错误；
由于物体M向上做加速运动，由F－mg＝ma可知，绳子的拉力大于M的重力，选项A错误，B正确．
5.(多选)如图5所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L.由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度v A和v B的关系，下列说法正确的是()
图5
A．若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等
B．若θ＝45°，则A、B两球的速度大小相等
C．v A＝v B tan θ
D．v A＝v B sin θ
答案BC
解析 当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度大小相等，v A cos θ＝v B sin θ，即v A ＝v B tan θ.当θ＝45°时，v A ＝v B ，故选B 、C.
6．如图6所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A 和B ，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O 的不可伸长的轻绳相连接，物体A 以速率v A ＝10 m/s 匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B 的速度大小v B 为( )
图6
A ．5 m/s B.533 m/s
C ．20 m/s D.2033
m/s
答案 D
解析 物体B 的速度可分解为如图所示的两个分速度，由图可知v B ∥＝v B cos 30°，由于绳不可伸长，有v B ∥＝v A ，故v A ＝v B cos 30°，所以v B ＝v A cos 30°＝2033
m/s ，选项D 正确．
7.A 、B 两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A 以v 1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图7所示，物体B 的运动速度v B 为(绳始终有拉力)( )
图7
A.v 1sin αsin β
B.v 1cos αsin β
C.v 1sin αcos β
D.v 1cos αcos β
答案 D
解析 v B 为物体B 合运动的速度，根据它的实际运动效果，两分运动分别为沿绳方向的分运动(设其速度为v 绳B )和垂直绳方向的分运动，速度分解如图甲所示，则有v B ＝v 绳B
cos β.物体A
的合运动对应的速度为v 1，它也产生两个分运动效果，分别是沿绳方向的分运动(设其速度为v 绳A )和垂直绳方向的分运动，它的速度分解如图乙所示，则有v 绳A ＝v 1cos α，由于对应同一根绳，故v 绳B ＝v 绳A ，解得v B ＝v 1cos α
cos β
，选项D 正确．
8.(2021·重庆万州外国语学校天子湖校区高一期中)如图8所示，水平固定的光滑细长杆上套有一物块Q ，跨过悬挂于O 点的轻小光滑圆环的细线一端连接Q ，另一端悬挂一物块P .设细线的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小，现将P 、Q 由静止同时释放，关于P 、Q 以后的运动，下列说法正确的是( )
图8
A ．当θ＝90°时，Q 的速度为零
B ．当θ＝90°时，P 的速度为零
C ．当θ＝60°时，P 、Q 的速度之比是3∶2
D ．在θ向90°增大的过程中，P 一直处于失重状态 答案 B
解析 当θ＝90°时，P 的速度为0，位置最低，即为Q 到达O 点正下方时，此时Q 的速度最大，P 的速度最小，为零，故A 错误，B 正确；由题可知，P 、Q 用同一根绳连接，则Q 沿绳子方向的速度与P 的速度相等，则当θ＝60°时，v Q cos 60°＝v P ，解得v P ∶v Q ＝1∶2，故C 错误；P 从开始运动到到达最低点的过程中，先向下做加速运动，加速度向下，处于失重状态，然后又减速向下运动，加速度向上，处于超重状态，故D 错误．。