西工大与西安交大期末复习考研备考2
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2 = 2
1
+ 1
= 3 2
+ = − ′
1
=
=
34
二、控制系统的微分方程
消去中间变量 ，整理后可得到控制系统的微分方程为
′
′
+ =
+ − ′ ′
式中
2
+
+ =
2
19
一、线性元件的微分方程
[例2] 如图为弹簧—质量—阻尼器机械位移系统。试列写
质量 在外力作用 () 下位移 () 的运动方程。
解：设质量 相对于初始状态的位移、
速度、加速度分别为
() 、()/ 、 2 ()/ 2
的微分方程；3 消去中源自变量，得到输出量与输入量之间关系的微分
方程，便是元件时域的数学模型。
28
二、控制系统的微分方程
列写系统微分方程的步骤
1 分析系统的工作原理及各变量间的关系，确定出系统
的输入量和输出量；
2 根据系统各组成元件的工作原理及其在系统中的作用，
确定出各元件的输入量和输出量，并根据各自所遵循
一
般
概
念
系
统
模
型
频域法
线
性
系
统
相平面法
性
能
指
标
描述函数法
非线性系统
校正
12
2 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型
2-2 控制系统的复数域数学模型
2-3 控制系统的结构图
13
0 控制系统的数学模型
分析或设计控制系统的一般过程：
（1）建立对象和元件的数学模型；
（2）建立系统的数学模型；
35
三、非线性微分方程的线性化
对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前
面的线性项，可以得到等效的线性环节。这种线性化方法称
为切线法或小偏差法，适用于具有连续变化的非线性特性。
设连续变化非线性函数为：
= ()
如图所示，取某平衡状态 为
工作点，对应有
0
0
= ()
2
2!
若
即
Δ
很小，则
− 0 ≈
|
( − 0 )
=0
，
Δ ≈
|
Δ = Δ
=0
显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为
了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。
37
三、非线性微分方程的线性化
1 , 2
(2) 对于具有两个自变量的非线性函数,设输入量为
,
()
负
载
SM
解：电枢控制直流电动机的工作是由输入的电枢电压
在电枢回路中产生电枢电流，再由电流与激磁磁通
相互作用产生电磁转矩，从而拖动负载运动。
23
一、线性元件的微分方程
[例3]
直流电动机的运动应受到以下四个方程的约束
1 电枢回路电压平衡方程
=
系统也可以有不同的数学模型。
具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统；
相似系统揭示了不同物理系统间的相似关系。
利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模
拟相对复杂的系统，实现仿真研究。
22
一、线性元件的微分方程
[例3] 如图所示，试列写以 () 为输入量，以
为输出量的直流电动机微分方程。
+ +
2 电枢反电势方程
,
SM
=
3 电磁转矩方程
=
4 电动机轴上转矩平衡方程
+ = −
负
载
: 反电势系数
: 转动惯量
′ = ( + 1 2 3 )/( + 1 2 3 )
′ = 1 2 3 /( + 1 2 3 )
= 1 2 3 /( + 1 2 3 )
′ = /( + 1 2 3 )
工程中由于电枢回路电感较小，通常可忽略 ，上式化简为
+ = 1 − 2
= /( + ) ()
：电动机机电时间常数
1 = /( + )
：电动机传递系数
2 = /( + )
在过渡过程。
在不同的外作用下，控制系统的输出会有不同的响应
过程。
对于稳定的控制系统，过渡过程结束之后，系统就进
入了另一个稳态。
4
二、自动控制系统分类及对其的要求
2、对自动控制系统的基本要求
对控制系统提出的基本要求
稳定性的要求：系统进行工作最基本、最首要的条
件就是一定要稳定──“稳”；
动态性能的要求：系统的动态性能表现在快速性和
运算放大器Ⅱ（包括网络）：校正
被控对象：电动机
系统输出量：转速
给定输入作用：
扰动作用：负载转矩 ′
运算放
大器Ⅰ
1 运算放
2
大器Ⅱ
功率
放大器
′
电动机
测速机
33
二、控制系统的微分方程
列写各组成部分的微分方程：
运算放大器Ⅰ
运算放大器Ⅱ
功率放大器
电动机
减速器
反馈部分
1 = 1 ( − ) = 1
2
= −
−
25
一、线性元件的微分方程
[例3]
系统模型的简化之一：
2
+
+
+ +
2
= −
−
0 →0 0
() = lim
0
0
0
0
−
0
0
0
()
0
00
0
0
() = ()
( − 0 ) = ( − 0 )
10
三、自动控制系统的典型外作用
正弦函数
f ( t ) A s in ( t )
A
0
t
11
分析
时域法
复域法
0 = (0 )
当
时，有
= 0 + Δ
。0
0
36
三、非线性微分方程的线性化
(1) 设函数 = () 在点
近用泰勒级数展开为：
(0 , 0 )
连续可微，则将它在该点附
()
1 2 ()
= (0 ) +
|=0 ( − 0 ) +
|=0 ( − 0 )2 +. . .
0 = 10 , 20
，输出量为
,系统静态工作点为
。在工作点
附近展开泰勒级数得：
(1 − 10 ) +
(2 − 20 ) +
1
2
2
2
2
2
2
(1 − 10 )(2 − 20 ) +
2 (1 − 10 ) + 2
的物理规律或化学规律，从系统的输入端开始，依次
列写各组成元件的微分方程；
29
二、控制系统的微分方程
列写系统微分方程的步骤
3 在由各元件微分方程构成的微分方程组中，消去中间
变量，求取描述系统输入量和输出量之间函数关系的
微分方程；
4 将所得系统微分方程化为标准形式。即：将与系统输
出量有关的各项写在方程式的左端，与系统输入量有
15
0 控制系统的数学模型
系统数学模型的建立方法：
✓ 机理分析法
分析系统各部分的运动机理，依据它们的物理规律
或化学规律列写相应的运动方程。适用于简单系统。
✓ 实验测试法
人为给系统施加某种特定的测试信号，记录其相应
的输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统，又
称为系统辨识。
系统数学模型的基本要求：真实、合理、简单实用
二、控制系统的微分方程
[例4] 试列写图示速度控制系统的微分方程
电位器
运算放大器Ⅰ
运算放大器Ⅱ
′
电动机
功
率
放
大
器
1
2
反馈联接
负
减速器
载
测速发电机
32
二、控制系统的微分方程
系统组成：输入电位器、运算放大器Ⅰ、运算放大器Ⅱ、
功率放大器、被控对象和反馈部分
运算放大器Ⅰ：信号求差与放大
16
2 控制系统的数学模型
2.1 控制系统的时域模型
一、线性元件的微分方程
二、控制系统的微分方程
三、非线性微分方程的线性化
四、线性常微分方程的求解
五、运动的模态
17
一、线性元件的微分方程
[例1] 如图所示，试列写以
()
为输入量，以
()
为
输出量的网络微分方程。
()
()
由牛顿运动定律有：
弹簧
() 、()
/ 、
2 ()/ 2
()
阻尼器
20
一、线性元件的微分方程
其中：
阻尼系数
弹簧弹性系数
1
阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，其大
小与运动速度成比例
2 弹簧弹性力，其方向与运动方向相反，其大小与
位移成比例
整理后得该系统的微分方程为：
()
()
1
+ න + =
1
= න
18
一、线性元件的微分方程
消去中间变量，得到描述网络输入输出关系的微分方程
2
+
+ =
2
令
则：
= , =
阻尼性上──“快”；
稳态性能要求：稳态时系统输出要尽可能的复现输
入，表现在稳态误差要小──“准”。
稳定性
快速性
准确性
5
二、自动控制系统分类及对其的要求
2、对自动控制系统的基本要求
稳定性
6
二、自动控制系统分类及对其的要求
2、对自动控制系统的基本要求
快速性
7
二、自动控制系统分类及对其的要求
2、对自动控制系统的基本要求
（3）依据系统的数学模型，对系统进行分析或综合。
控制系统的数学模型：
描述系统运动过程中各物理量之间相互关系的数学表
达式或数学几何图形。是控制系统的数学抽象。
14
0 控制系统的数学模型
控制系统数学模型的种类：
时域：
微分方程
差分方程
状态空间方程
复数域：
传递函数
结构图和信号流图
频域：
频率特性（Nyquist曲线、Bode图、Nichols曲线）
: 粘性摩擦系数
: 电磁转矩
: 总负载转矩
: 电机转矩系数
24
一、线性元件的微分方程
[例3]
消去中间变量 ，得到以 () 输出量，以
为输入量的直流电动机微分方程
()
2
+
+
+ +
准确性
8
三、自动控制系统的典型外作用
阶跃函数
0,
() = ቐ
,
<0
≥0
= ⋅ 1()
f (t )
R
( − 0 ) = ⋅ 1( − 0 )
斜坡函数
0
t0
t
f (t )
Rt
0,
<0
() = ቐ
, ≥ 0
0
t
9
三、自动控制系统的典型外作用
脉冲函数
1() − 1( − 0 )
小，可忽略不计，电动机微分方程还可进一步简化为
=
这时，电动机的转速
()
与电枢电压
() 成正比
27
一、线性元件的微分方程
小结：列写元件微分方程的步骤
1 根据元件的工作原理及其在控制系统中作用，确定其
输入量和输出量；
2 分析元件工作中所遵循的物理或化学规律，列出相应
关的各项放在方程式的右端；将方程式两端变量的导
数项均按降幂排列；将方程式中的各系数通过系统参
数尽量化成具有一定物理意义的系数。
30
二、控制系统的微分方程
注意事项
✓ 按工作条件，忽略一些次要因素，使各元件的微分方
程尽量简单
✓ 注意信号传送的单向性
✓ 注意前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应
31
：电动机传递系数
26
一、线性元件的微分方程
[例3]
系统模型的简化之二：
2
+
+
+ +
2
= −
−
如果电枢回路的电阻 和电动机的转动惯量 也都很
1
回 顾
一、自动控制系统基本控制方式
开环控制
闭环控制
复合控制
2
回 顾
二、自动控制系统分类及对其的要求
线性系统与非线性系统；
叠加原理
定常（时不变）系统与时变系统。
3
二、自动控制系统分类及对其的要求
2、对自动控制系统的基本要求
过渡过程和稳态过程
处于稳态的控制系统，在受到外作用时，系统输出存
2
+
+ =
2
21
一、线性元件的微分方程
例1系统的微分方程
例2系统的微分方程
2
+
+ =
2
2
+
+ =
2
不同的物理系统可以有相似的数学模型；同一个物理
1
+ 1
= 3 2
+ = − ′
1
=
=
34
二、控制系统的微分方程
消去中间变量 ，整理后可得到控制系统的微分方程为
′
′
+ =
+ − ′ ′
式中
2
+
+ =
2
19
一、线性元件的微分方程
[例2] 如图为弹簧—质量—阻尼器机械位移系统。试列写
质量 在外力作用 () 下位移 () 的运动方程。
解：设质量 相对于初始状态的位移、
速度、加速度分别为
() 、()/ 、 2 ()/ 2
的微分方程；3 消去中源自变量，得到输出量与输入量之间关系的微分
方程，便是元件时域的数学模型。
28
二、控制系统的微分方程
列写系统微分方程的步骤
1 分析系统的工作原理及各变量间的关系，确定出系统
的输入量和输出量；
2 根据系统各组成元件的工作原理及其在系统中的作用，
确定出各元件的输入量和输出量，并根据各自所遵循
一
般
概
念
系
统
模
型
频域法
线
性
系
统
相平面法
性
能
指
标
描述函数法
非线性系统
校正
12
2 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型
2-2 控制系统的复数域数学模型
2-3 控制系统的结构图
13
0 控制系统的数学模型
分析或设计控制系统的一般过程：
（1）建立对象和元件的数学模型；
（2）建立系统的数学模型；
35
三、非线性微分方程的线性化
对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前
面的线性项，可以得到等效的线性环节。这种线性化方法称
为切线法或小偏差法，适用于具有连续变化的非线性特性。
设连续变化非线性函数为：
= ()
如图所示，取某平衡状态 为
工作点，对应有
0
0
= ()
2
2!
若
即
Δ
很小，则
− 0 ≈
|
( − 0 )
=0
，
Δ ≈
|
Δ = Δ
=0
显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为
了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。
37
三、非线性微分方程的线性化
1 , 2
(2) 对于具有两个自变量的非线性函数,设输入量为
,
()
负
载
SM
解：电枢控制直流电动机的工作是由输入的电枢电压
在电枢回路中产生电枢电流，再由电流与激磁磁通
相互作用产生电磁转矩，从而拖动负载运动。
23
一、线性元件的微分方程
[例3]
直流电动机的运动应受到以下四个方程的约束
1 电枢回路电压平衡方程
=
系统也可以有不同的数学模型。
具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统；
相似系统揭示了不同物理系统间的相似关系。
利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模
拟相对复杂的系统，实现仿真研究。
22
一、线性元件的微分方程
[例3] 如图所示，试列写以 () 为输入量，以
为输出量的直流电动机微分方程。
+ +
2 电枢反电势方程
,
SM
=
3 电磁转矩方程
=
4 电动机轴上转矩平衡方程
+ = −
负
载
: 反电势系数
: 转动惯量
′ = ( + 1 2 3 )/( + 1 2 3 )
′ = 1 2 3 /( + 1 2 3 )
= 1 2 3 /( + 1 2 3 )
′ = /( + 1 2 3 )
工程中由于电枢回路电感较小，通常可忽略 ，上式化简为
+ = 1 − 2
= /( + ) ()
：电动机机电时间常数
1 = /( + )
：电动机传递系数
2 = /( + )
在过渡过程。
在不同的外作用下，控制系统的输出会有不同的响应
过程。
对于稳定的控制系统，过渡过程结束之后，系统就进
入了另一个稳态。
4
二、自动控制系统分类及对其的要求
2、对自动控制系统的基本要求
对控制系统提出的基本要求
稳定性的要求：系统进行工作最基本、最首要的条
件就是一定要稳定──“稳”；
动态性能的要求：系统的动态性能表现在快速性和
运算放大器Ⅱ（包括网络）：校正
被控对象：电动机
系统输出量：转速
给定输入作用：
扰动作用：负载转矩 ′
运算放
大器Ⅰ
1 运算放
2
大器Ⅱ
功率
放大器
′
电动机
测速机
33
二、控制系统的微分方程
列写各组成部分的微分方程：
运算放大器Ⅰ
运算放大器Ⅱ
功率放大器
电动机
减速器
反馈部分
1 = 1 ( − ) = 1
2
= −
−
25
一、线性元件的微分方程
[例3]
系统模型的简化之一：
2
+
+
+ +
2
= −
−
0 →0 0
() = lim
0
0
0
0
−
0
0
0
()
0
00
0
0
() = ()
( − 0 ) = ( − 0 )
10
三、自动控制系统的典型外作用
正弦函数
f ( t ) A s in ( t )
A
0
t
11
分析
时域法
复域法
0 = (0 )
当
时，有
= 0 + Δ
。0
0
36
三、非线性微分方程的线性化
(1) 设函数 = () 在点
近用泰勒级数展开为：
(0 , 0 )
连续可微，则将它在该点附
()
1 2 ()
= (0 ) +
|=0 ( − 0 ) +
|=0 ( − 0 )2 +. . .
0 = 10 , 20
，输出量为
,系统静态工作点为
。在工作点
附近展开泰勒级数得：
(1 − 10 ) +
(2 − 20 ) +
1
2
2
2
2
2
2
(1 − 10 )(2 − 20 ) +
2 (1 − 10 ) + 2
的物理规律或化学规律，从系统的输入端开始，依次
列写各组成元件的微分方程；
29
二、控制系统的微分方程
列写系统微分方程的步骤
3 在由各元件微分方程构成的微分方程组中，消去中间
变量，求取描述系统输入量和输出量之间函数关系的
微分方程；
4 将所得系统微分方程化为标准形式。即：将与系统输
出量有关的各项写在方程式的左端，与系统输入量有
15
0 控制系统的数学模型
系统数学模型的建立方法：
✓ 机理分析法
分析系统各部分的运动机理，依据它们的物理规律
或化学规律列写相应的运动方程。适用于简单系统。
✓ 实验测试法
人为给系统施加某种特定的测试信号，记录其相应
的输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统，又
称为系统辨识。
系统数学模型的基本要求：真实、合理、简单实用
二、控制系统的微分方程
[例4] 试列写图示速度控制系统的微分方程
电位器
运算放大器Ⅰ
运算放大器Ⅱ
′
电动机
功
率
放
大
器
1
2
反馈联接
负
减速器
载
测速发电机
32
二、控制系统的微分方程
系统组成：输入电位器、运算放大器Ⅰ、运算放大器Ⅱ、
功率放大器、被控对象和反馈部分
运算放大器Ⅰ：信号求差与放大
16
2 控制系统的数学模型
2.1 控制系统的时域模型
一、线性元件的微分方程
二、控制系统的微分方程
三、非线性微分方程的线性化
四、线性常微分方程的求解
五、运动的模态
17
一、线性元件的微分方程
[例1] 如图所示，试列写以
()
为输入量，以
()
为
输出量的网络微分方程。
()
()
由牛顿运动定律有：
弹簧
() 、()
/ 、
2 ()/ 2
()
阻尼器
20
一、线性元件的微分方程
其中：
阻尼系数
弹簧弹性系数
1
阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，其大
小与运动速度成比例
2 弹簧弹性力，其方向与运动方向相反，其大小与
位移成比例
整理后得该系统的微分方程为：
()
()
1
+ න + =
1
= න
18
一、线性元件的微分方程
消去中间变量，得到描述网络输入输出关系的微分方程
2
+
+ =
2
令
则：
= , =
阻尼性上──“快”；
稳态性能要求：稳态时系统输出要尽可能的复现输
入，表现在稳态误差要小──“准”。
稳定性
快速性
准确性
5
二、自动控制系统分类及对其的要求
2、对自动控制系统的基本要求
稳定性
6
二、自动控制系统分类及对其的要求
2、对自动控制系统的基本要求
快速性
7
二、自动控制系统分类及对其的要求
2、对自动控制系统的基本要求
（3）依据系统的数学模型，对系统进行分析或综合。
控制系统的数学模型：
描述系统运动过程中各物理量之间相互关系的数学表
达式或数学几何图形。是控制系统的数学抽象。
14
0 控制系统的数学模型
控制系统数学模型的种类：
时域：
微分方程
差分方程
状态空间方程
复数域：
传递函数
结构图和信号流图
频域：
频率特性（Nyquist曲线、Bode图、Nichols曲线）
: 粘性摩擦系数
: 电磁转矩
: 总负载转矩
: 电机转矩系数
24
一、线性元件的微分方程
[例3]
消去中间变量 ，得到以 () 输出量，以
为输入量的直流电动机微分方程
()
2
+
+
+ +
准确性
8
三、自动控制系统的典型外作用
阶跃函数
0,
() = ቐ
,
<0
≥0
= ⋅ 1()
f (t )
R
( − 0 ) = ⋅ 1( − 0 )
斜坡函数
0
t0
t
f (t )
Rt
0,
<0
() = ቐ
, ≥ 0
0
t
9
三、自动控制系统的典型外作用
脉冲函数
1() − 1( − 0 )
小，可忽略不计，电动机微分方程还可进一步简化为
=
这时，电动机的转速
()
与电枢电压
() 成正比
27
一、线性元件的微分方程
小结：列写元件微分方程的步骤
1 根据元件的工作原理及其在控制系统中作用，确定其
输入量和输出量；
2 分析元件工作中所遵循的物理或化学规律，列出相应
关的各项放在方程式的右端；将方程式两端变量的导
数项均按降幂排列；将方程式中的各系数通过系统参
数尽量化成具有一定物理意义的系数。
30
二、控制系统的微分方程
注意事项
✓ 按工作条件，忽略一些次要因素，使各元件的微分方
程尽量简单
✓ 注意信号传送的单向性
✓ 注意前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应
31
：电动机传递系数
26
一、线性元件的微分方程
[例3]
系统模型的简化之二：
2
+
+
+ +
2
= −
−
如果电枢回路的电阻 和电动机的转动惯量 也都很
1
回 顾
一、自动控制系统基本控制方式
开环控制
闭环控制
复合控制
2
回 顾
二、自动控制系统分类及对其的要求
线性系统与非线性系统；
叠加原理
定常（时不变）系统与时变系统。
3
二、自动控制系统分类及对其的要求
2、对自动控制系统的基本要求
过渡过程和稳态过程
处于稳态的控制系统，在受到外作用时，系统输出存
2
+
+ =
2
21
一、线性元件的微分方程
例1系统的微分方程
例2系统的微分方程
2
+
+ =
2
2
+
+ =
2
不同的物理系统可以有相似的数学模型；同一个物理