高考数学一轮复习第2章 第10节 函数模型及其应用 (2)

函数模型及其应用
[考试要求]
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
1．常见的7种函数模型
(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝k
x(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
提醒：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
2．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝a x(a＞1)y＝log a x(a＞1)y＝x n(n＞0) 在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增单调递增单调递增
增长速度越来越快越来越慢相对平稳
图象的变化随x的增大，逐
渐表现为与y轴
平行
随x的增大，逐
渐表现为与x轴
平行
随n值变化而各
有不同
值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x [常用结论]
形如f(x)＝x＋a
x(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)内单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a，
当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()
(2)不存在x0，使a x0＜x n0＜log a x0.()
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a＞1)的增长速度．()
(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b＞0，且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()
(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．()
[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×
二、教材习题衍生
1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如表所示：
x 0.500.99 2.01 3.98
y －0.990.010.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是()
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
D[在直角坐标系中，描点连线画出图象(图略)，观察图象知选D.]
2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()
(注：结余＝收入－支出)
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
D[由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由
题图可知，前6个月的平均收入为1
6×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错
误．]
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x
万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
18 [利润L (x )＝20x －C (x )＝－12
(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．] 4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ；如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价．则客运票价y (元)与行程数x (km)之间的函数关系式是________．
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ，0＜x≤1000.4x ＋10，x ＞100 [由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
0.5x ，0＜x≤100，0.4x ＋10，x ＞100.
]
考点一 用函数图象刻画变化过程
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
1．(2020·新高考全国卷Ⅱ改编)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )
①这11天复工指数和复产指数均逐日增加；
②这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；
③第3天至第11天复工复产指数均超过80%；
④第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量．
A．①③④B．②③④
C．③④D．①④
C[对于①，由折线图知这11天的复工复产指数有增有减，故①错．
对于②，由第1天和第11天复工和复产指数位置可知，复产指数的增量小于复工指数的增量，故②错．
对于③，由折线图知，第3天至第11天复工、复产指数均超过80%，故③正确．对于④，由折线图知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故④正确．]
2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D[根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行
驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．]
3．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0＜a＜12)．不考虑树的粗细，现用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是()
A B C D
B[设AD的长为x m，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为x(16－x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a)．画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选B.]
点评：明确横纵坐标所表示的量，正确理解所给的图象是解题的关键．
考点二已知函数模型解决实际问题
已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
[典例1](1)(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累
计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A ．1.2天
B ．1.8天
C ．2.5天
D ．3.5天
(2)某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝错误!已知某家庭2020年前三个月的煤气费如下表：
A ．11.5元
B ．11元
C ．10.5元
D ．10元
(1)B (2)A [(1)∵R 0＝1＋rT ，∴3.28＝1＋6r ，∴r ＝0.38.
若错误!则e0.38(t 2－t 1)＝2,0.38(t 2－t 1)＝ln 2≈0.69，t 2－t 1≈1.8，选B.
(2)根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝1
2
，C ＝4，所以f (x )＝错误!所以f (20)＝4＋错误!(20－5)＝11.5，故选A.]
[跟进训练]
1．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K (单位：万元)是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．
2 500 [由已知得L (Q )＝K (Q )－10Q －2 000＝⎝
⎛⎭⎪⎪⎫40Q －120Q2－10Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500，
所以当Q ＝300时，L (Q )max ＝2 500(万元)．]
2．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
16 [当t ＝0时，y ＝a ，当
t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝1
2，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －b t ＝18a ，e －b t ＝18
＝(e －8 b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.]
考点三 构建函数模型解决实际问题
构建函数模型解决实际问题的步骤 构建一次函数、二次函数模型
[典例2－1] 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为120
6t 吨(0≤t ≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．
[解] (1)设t 小时后蓄水池中的存水量为y 吨，则y ＝400＋60t －120
6t ， 令6t ＝x ，则x 2＝6t ，即t ＝x26
，所以y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40， 所以当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨．
(2)由(1)及题意得400＋10x 2－120x ＜80，
即x 2－12x ＋32＜0，
解得4＜x ＜8，即4＜6t ＜8，83＜t ＜323
. 因为323－83
＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象． 点评：二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
构建指数函数、对数函数模型
[典例2－2] (1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A ．2018年
B ．2019年
C ．2020年
D ．2021年
(2)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据：lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( )
A ．1.5%
B ．1.6%
C ．1.7%
D ．1.8%
(1)C (2)C [(1)设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 根据题意得130(1＋12%)n －1＞200，
即1.12n －1＞2013
， 两边取常用对数得n －1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12
，
解得n ＞245
， 又n ∈N *，∴n ≥5，因此该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年，故选C.
(2)设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则
40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240
≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ≈1.017，所以x ≈1.7%.故选C.]
构建y ＝x ＋a x
(a ＞0)函数模型 [典例2－3] 某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
[解] 设该养殖场x (x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 元． 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )(元)．
从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥2300x
·3x＋357＝417，
当且仅当300x
＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
点评：利用模型f (x )＝ax ＋b x
求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时
等号成立的条件．
构建分段函数模型
[典例2－4] “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x ≤4时，v 的值为2千克/年；当4＜x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x ≥20时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．
(1)当0＜x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；
(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？求出最大值．
[解] (1)由题意得当0＜x ≤4时，v ＝2；
当4＜x ≤20时，设v ＝ax ＋b (a ≠0)，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－18，b ＝52，
所以v ＝－18x ＋52. 故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，0＜x≤4，－18x ＋52，4＜x≤20.
(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，
依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0＜x≤4，－18x2＋52x ，4＜x≤20. 当0＜x ≤4时， f (x )为增函数，
故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8； 当4＜x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x －10)2＋252
，f (x )max ＝f (10)＝12.5. 所以当0＜x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
点评：求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小求出分段函数的最值．
[跟进训练]
1.(2020·南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面
为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤的坚固性及
石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.
23 [由题意可得93＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC ＋BC ＋2·x 2·32x ，得BC ＝18x －x 2
，
∴y ＝18x ＋3x 2
≥218x ×3x 2＝63，当且仅当18x ＝3x 2(2≤x ＜6)，即x ＝23时等
号成立．] 2．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
[解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，
令50x －115＞0，解得x ＞2.3，
∵x 为正整数，∴3≤x ≤6，x ∈N *.
当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.
令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈N *. ∴y ＝错误!
(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，
显然当x ＝6时，y max ＝185；
对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈N *)，当x ＝11时，y max ＝270.
∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．。